专题07 阅读理解
一、选择题（共8小题）
1．（2023秋 滑县期末）在同一平面直角坐标系中，已知两点坐标满足横纵坐标互反，如：和，．若一个函数的图象恰好经过这样的两点，我们称这个函数是在上的“函数”．下列函数是在上的“函数”的有
①
②
③
④
A．② B．①③ C．②③ D．②④
2．（2023秋 芝罘区期末）对于有理数、，定义运算，则的值为
A． B．2 C．3 D．4
3．（2023秋 南平期末）定义一种新运算“※”的计算规则是：※（其中，都是有理数）．例如3※．下列等式成立的个数是
①※※
②※※※※
③※※※
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2023秋 江陵县期末）规定运算：，例如．则的值为
A． B． C． D．
5．（2023秋 北碚区期末）已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；
；
以此类推．
下列说法：
①当时，；
②；
③为自然数）．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2023秋 大足区期末）定义：如果代数式，，，是常数）与，，，是常数），满足，，，则称这两个代数式与互为“平衡式”，对于上述“平衡式” 、，下列三个结论正确的个数为
①若，，则的值为1；
②无论取何值时，“平衡式” 、的值始终个性化为相反数；
③若，为常数，有最小值，且最小值为1，则的最小值为．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2023秋 沈丘县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※．则※结果为
A． B． C． D．
8．（2023秋 江津区期末）在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为（当为常数时，，则称分式为次分式．例如：，，均为四次分式．
①，，均为三次分式：
②已知，，则、化简后均为二次分式；
③已知，（其中，为常数），与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，则．
上述结论中，正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共6小题）
9．（2022春 温江区校级期中）阅读以下材料，并解决相应问题．
材料一：对于个位数字非零的任意三位数，将个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”， 表示一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商，如：325的“倒序数”为523，；
材料二：任意三位数满足：且，称这个数为“登高数”．如：138为“登高数”，若为“登高数”，且，则的最大值为 ．
10．（2022春 雁峰区校级期末）先阅读，再解答：对于三个数、、中，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数，规定，，表示这三个数中最小的数，，，表示这三个数中最大的数，例如：，2，，，2，；若，，，，，则的值为 ．
11．（2021秋 埇桥区期末）阅读下列材料：
若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521．
（1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，则这个“倍尾数”为 ；
（2）若一个“倍尾数”的百位数字是十位数字的2倍，且各位数字之和是14，则这个“倍尾数”为 ．
12．（2022秋 锡山区校级期中）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序 可以使 ， ，如果1 ，那么2020 ．
13．（2022春 鄄城县期中）阅读材料：如果两个正数、，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小值问题的有力工具．根据上述材料，若，则的最小值为 ．
14．（2021春 沙坪坝区期中）请阅读下面材料，现规定一种运算：，例如，按照这种运算的规定，当 时，．
三、解答题（共14小题）
15．（2023秋 芙蓉区校级期末）【阅读理解】
已知射线是内部的一条射线，若射线与射线的夹角，则我们称射线是射线的“双语线”．
例如，如图1，、，则，称射线是射线的双语线；同时，由于，称射线是射线的双语线．
【知识运用】
（1）如图2，，射线是射线的双语线，则 ；
（2）如图3，．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻（秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线、、中有一条射线是另一条射线的双语线？（直接写出答案）
16．（2023秋 抚州期末）【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为．
例如：两点，表示的数分别为3，，那么．
（1）若，则的值为 ．
（2）当 是整数）时，式子成立．
（3）在数轴上，点表示数，点表示数．
我们定义：当时，点叫点的1倍伴随点，
当时，点叫点的2倍伴随点，
当时，点叫点的倍伴随点．
试探究下列问题：
若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
17．（2023秋 双流区期末）【阅读理解】规定符号表示，这两个数中较小的一个数．规定符号表示，这两个数中较大的一个数．例如，．
【尝试应用】请计算的值．
【拓展探究】若，，，求代数式的值．
18．（2023秋 兴宾区期末）【阅读与理解】
求若于个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如：，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“ 的四次商”，一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．
（1）直接写出结果： ；
（2）运算转换有理数的除方运算转化为乘方运算，例：．
仿照上面的算式，将下列的运算结果直接写出乘方（幂的形式 ； ．
（3）计算：．
19．（2023秋 翔安区期末）阅读材料：定义：使等式的成立的一对有理数，叫做“亲密数对”，记为．如：因为，，所以数对，都是“亲密数对”．
（1）若是“亲密数对”，则也是亲密数对吗？请判断并说明理由．
（2）小明同学在做题的过程中发现“亲密数对”的两个数，之间有一定的数量关系，请写出这个关系式，并运用这个关系解决问题：已知数轴上两个动点，分别表示数，，且点，的运动速度相同，在运动过程中点，能否相遇？若能，请求出相遇点表示的数；若不能，请说明理由．
20．（2023秋 永定区期末）阅读材料，并解决问题．
阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式．如：，
再如：．
这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式．
解决问题：
（1）判断：是真分式还是假分式？ （填“真分式”或“假分式” ；
（2）将“假分式” 化成带分式的形式；
（3）思考：当取什么整数时，分式的值为整数？
21．（2023秋 酒泉期末）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
22．（2022秋 丹阳市期末）【阅读】
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
【理解】
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为： ；
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．则所求方程为： ；
【运用】
（3）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
①若，则关于的方程的两根分别是 （用含有、的代数式表示）；
②一元二次方程 的两个根分别是，；
（4）方程，，的两个根与方程 的两个根互为倒数．
【延伸】
（5）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，那么关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ．
23．（2023秋 鄞州区期中）阅读材料：
地球行星防御理事会截获了来自半人马座三体星系的信息，得知了这个异星世界的数学知识中有被称为“圈”的图形．有好几种人类已知的图形符合“圈”的定义，抛物线就是其中之一如果把抛物线看作“圈”，它将满足以下基本事实：对抛物线上的任意一个定点，在它内部必定有一定点，过的任意直线交抛物线于，两点（都不同于点，使得始终为直角，并把称为所对的“圈心”；其中，满足如下关系：它们的横坐标的和为抛物线顶点横坐标的2倍，与的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数．（节选自《三体罗辑前传》
根据材料提供的基本事实，解答下列问题：
（1）点是抛物线上一点，直接写出所对的“圈心” 的坐标；
（2）点是抛物线上的点，它的横坐标是2，求所对的“圈心”坐标；
（3）点是抛物线上不同于原点的任意一点，轴于，作交轴于点，求证：点所对的“圈心”是点．
24．（2023秋 长沙期中）阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题．
今年7月8日日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，个相同的因数相乘记为．如，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为（8）（即（8）．一般地，若且，，为正整数），则叫做关于的“绿色发展数”，记为（b）（即（b）．
（1）计算以下列“绿色发展数”的值：
（3） ， ， ．
（2）观察（1）中（3）、、三数及其计算结果，猜想与且，，之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如果我们将题目中的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为，且．用含的式子表示．
25．（2023秋 哈尔滨期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．
容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）计算： ；
（2）对于，的正对值的取值范围是 ．
（3）如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值．
26．（2023秋 崂山区期中）阅读理解：
如图1，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形中，，，，，，四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形的边上存在强相似点，则 ；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．
27．（2023春 南丹县期末）阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题，还是假命题？
（2）在中，两边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（3）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值．
28．（2023秋 仪征市期末）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“ ”．并按照此运算写出了一些式子：2 ， ，2 ， ， ，2 ，2 ， ，
（1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：
同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ；
（2）根据法则计算： ； ；
（3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：
① ；
② ．
一、选择题（共8小题）
1．【答案】
【解答】解：由题知，
将代入函数得，
，
则点在此函数图象上，
将代入函数得，
，
则点不在此函数图象上，
故①不是在上的“函数”．
将代入函数得，
，
则点在此函数图象上，
将代入函数得，
，
则点在此函数图象上，
故②是在上的“函数”．
将代入函数得，
，
则点不在此函数图象上，
故③不是在上的“函数”．
将代入函数得，
，
则点在此函数图象上，
将代入函数得，
，
则点在此函数图象上，
故④是在上的“函数”．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：由题意得：
，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：※，
※，※，
※※，故①正确，符合题意；
※※
※
，
※※
※
，
※※※※，故②正确，符合题意；
※
，
※※
，
※※※，故③错误，不符合题意；
故选：．
4．【答案】
【解答】解：，
．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：由题意得：
；
，
，；
；
；
；
；
；
；
；
，
当时，
，
①的说法正确；
由以上计算可知：，
②的说法正确；
；
；
；
③的说法正确，
综上可知：正确的个数为3个，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：由平衡式的定义，我们有，，
，
的值显然不为1，所以结论①是错误的，
由平衡式的定义，我们有，
无论取何值，、的值始终为相反数，所以结论②是正确的，
由平衡式的定义，我们有，
，
有最小值，且最小值为1，
的最小值为，所以结论③是正确的，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：原式
，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：①的分母次数为3，分子次数为0，，故为三次分式；
的分母次数为5，分子次数为2，，故为三次分式；
的分母次数为4，分子次数为1，，故为三次分式；
故①正确；
②，
分母次数为2，分子次数为0，，故为二次分式；
，
分母次数为2，分子次数为1，，故为一次分式，不是二次分式，
故②错误；
③，
与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
，或，
解得，或，
或，
故③错误；
综上，正确的个数为1个，
故选：．
二、填空题（共6小题）
9．
【解答】解：设这个三位数为，则．且．
，
，
，
整理得，，
，
，即．
，
，解得．
，
，
，
，解得．
取整数，故可取2，3，4，5
又取偶数，
取奇数，故只能取3，5．
当时，，，此时；
当时，，，此时
求的最大值，
最大值是659．
故答案为：659．
10．【答案】
【解答】解：根据题意可知：，，或，，，，
分两种情况考虑：
当时，解得：，满足题意；
当时，解得：，满足题意，
则的值为．
故答案为：．
11．【答案】（1）763；（2）842．
【解答】解：（1）设这个“倍尾数”的个位数是，则十位数是，百位数是，
由题意得：，
，
，，
这个“倍尾数”是763，
故答案为：763．
（2）设这个“倍尾数”的个位数是，则十位数是，百位数是，
由题意得：，
，
，，
这个“倍尾数”是842．
故答案为：842．
12．【答案】．
【解答】解：由 ， 可得出，
， ，
因为1 ，
所以 ，
即2020 ．
又因为2020 ，
所以2020 ．
故答案为：．
13．【答案】
【解答】解：由得，．
，即，
的最小值为．
故答案为：．
14．
【解答】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：．
故答案为：
三、解答题（共14小题）
15．【答案】（1）40；
（2）①当为28秒或44秒时，的度数为；
②当或30或或或45或或40时，射线、、中有一条射线是另一条射线的双语线．
【解答】（1）解：射线是射线的双语线，
，
故答案为：40；
（2）由射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，且当射线与射线重合时，运动停止，
得运动时间为（秒，
①在、相遇前，
依题意得，
解得；
在、相遇后，
依题意得，
解得，
综上所述，当为28秒或44秒时，的度数为；
②在与相遇前，
是的双语线，
则有或，
得或，
解得或；
是的双语线，
则有，
得，
解得；
是的双语线，
则有，
得，
解得；
在与相遇后，
是的双语线，
则有，
得，
解得；
是的双语线，
则有，
得，
解得；
是的双语线，
则有或，
得或，
解得或；
综上所述，当或30或或或45或或40时，射线、、中有一条射线是另一条射线的双语线．
16．【答案】（1）1或5；
（2）或或0或1；
（3）存在，此时的长为1或3．
【解答】解：（1），表示到表示数的点到表示数3的点的距离为2，
当表示数的点在表示数3的点的左侧时，；
当表示数的点在表示数3的点的右侧时，；
故答案为：1或5；
（2）表示的是表示数的点到表示数1的点的距离和表示数的点的距离之和，
分下列三种情况：①当表示数的点在到1之间时，如图1，
此时成立；
满足条件的的整数为，，0，1；
②当表示数的点在左侧时，如图2，
此时，不存在这样的点；
③表示数的点在1右侧时，如图3，
此时，不存在这样的点；
故答案为：或或0或1；
（3）存在，理由如下：
设点所表示的数位，点所表示的数为，点所表示的数为，
点和重合，
点所表示的数为，
点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，
，，
，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上，存在，此时的长为1或3．
17．【答案】【尝试应用】；
【拓展探究】8．
【解答】解：【尝试应用】，，
根据题意，的；
【拓展探究】，，
根据题意，，，，
即，
整理得：，
，
代数式的值为8．
18．【答案】（1）；
（2），；
（3）．
【解答】解：（1）由题知，
．
故答案为：．
（2）；
；
故答案为：，．
（3）原式
．
19．【答案】（1）若是“亲密数对”，则也是亲密数对；
（2），能相遇，相遇点表示的数是1．
【解答】证明：（1）若是“亲密数对”，
则，
解得：，
，
若是“亲密数对”，则也是亲密数对；
（2）数量关系是，，能相遇，相遇点表示的数为1，
理由如下：
、是亲密数对，
，
，
当，相向运动时，，能够相遇，相遇时，
，
，能相遇，相遇点表示的数是1．
20．【答案】（1）假分式；
（2）原式；
（3）当时，原式为整数．
【解答】解：（1）分子，分母的次数相等，
故答案为：假分式；
（2）原式；
（3）原式，
当时，原式为整数．
21．【答案】（1），5；
（2）30；
（3）．
【解答】解：（1），
由①②得：，
①②得：，
，
故答案为：，5；
（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
由题意得：，
由①②得：，
，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：，
由①②可得：，
．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）①、，
②；
（4）；
（5）2023、2018．
【解答】解：（1）设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，
故答案为：；
（2）设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，
故答案为：；
（3）①设关于的方程的根为，
把代入关于的方程，得，
设关于的一元二次方程的根为，
把代入关于的一元二次方程，得，
由此可见，
已知关于的一元二次方程有两个实数根，，
关于的方程的两根分别是、，
故答案为：、，
②由题意得，该一个一元二次方程，它的根分别是已知方程根的2倍，
设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，
即，
故答案为：；
（4）由题意得，该一个一元二次方程，它的根分别与已知方程根互为倒数，
设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，
即，
故答案为：；
（5），
化简，得，
根据（4）可得，关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为2023和2018，
故答案为：2023、2018．
23．【答案】（1）所对的“圈心” 的坐标为；
（2）点所对的“圈心”坐标为；
（3）证明过程见解答部分．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为；
设“圈心” 的坐标为，，
，，
解得，，
所对的“圈心” 的坐标为；
解：（2）点是抛物线上的点，它的横坐标是2，
的坐标为，顶点横坐标为3，
设“圈心”坐标为，
，，
解得，，
点所对的“圈心”坐标为；
证明：（3）点所对的圈心坐标为；
设点的横坐标为，则，
，，
如图，由题意可知，，
，
，
，即，
，
，即点所对的“圈心”是点．
24．【答案】（1）1；3；4；
（2）证明见解析；
（3）．
【解答】（1）解：，，，
（3），，，
故答案为：1；3；4；
（2）证明：设，，
，，
，
，
；
（3）关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为，
，，即，
，，
，
，，
，，
，
，
即．
25．【答案】（1）1；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，
则．
故答案为：1；
（2）当接近时，接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近于腰的倍，故接近，
的取值范围是．
故答案为：；
（3）如图2所示，为直角三角形．
设，，则，
，
在上取点，使，连接，作于点，
则，，
，
，
由正对的定义可得：．
26．【答案】（1）是，理由见解析；（2）或；（3）．
【解答】解：（1）是，理由如下：
，，
，
又，
，
点是否是四边形的边上的相似点；
（2）如图，
故或．
故答案为：或；
（3）点恰好是四边形的边上的一个强相似点，
，
，
，
，
，
即．
27．
【解答】解：（1）设等边三角形的边长为，
，
等边三角形一定是奇异三角形，
“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题；
（2）①当为斜边时，不是奇异三角形；
②当为斜边时，是奇异三角形；理由如下：
分两种情况：
①当为斜边时，，
，
（或，
不是奇异三角形．
②当为斜边时，，
是奇异三角形．
（3）在中，，
，，
是奇异三角形，
，
，
，
，
．
28．【答案】（1）正，负，相加，这个数．
（2）；．
（3）①15；②．
【解答】解：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数，
故答案为：正，负，相加，这个数．
（2） ；
，
故答案为：；．
（3）①
；
②
．
