2024年中考数学难题突破：一次函数与反比例函数
1．如图1，直线l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和直线l的解析式；
(2)若直线l在反比例函数的图象上方，请直接写出x的取值范围；
(3)点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标；
(4)如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹），过点E作于F，连结，求的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴相交于点C．
(1)求m和n的值；
(2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是 ；（直接写出答案）
(3)以为边在右侧作菱形．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交于点F，连接，则的面积为 ．（直接写出答案）
3．如图，菱形的边在轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图像上，直线经过点，与轴交于点，连接．
(1)求的值．
(2)求的面积．
(3)已知点在反比例函数的图像上，点的横坐标为．若，则的取值范围为___________．
4．如图1，在平面直角坐标系中，将锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正半轴重合，角的另一边交函数的图象（记为曲线l）于点A．在射线的右侧构造矩形，对角线和交于点E．满足轴，，作射线．
(1)若点，点，求k的值；
(2)求证：点D在直线上；
(3)如图2，当时，射线交曲线l于点F，以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点H．求证：轴．
5．在平面直角坐标系中，函数的图像与一次函数的图像交于点．
(1)求a，k的值；
(2)点P是射线OA上一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交函数的图像于点B，C．将线段PB，PC和函数的图像在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．利用函数图像解决下列问题：
①若点P的横坐标是2，则区域W内整点的坐标为______；______；
②若区域W内恰有5个整点，则点P的横坐标的取值范围为______．
6．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点的坐标为，一次函数的图象经过点，，反比例函数图象也经过点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出当时，的解集；
(3)点是平面直角坐标系上任意一点，点是轴上一动点，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第一象限交于点，点是反比例函数上一点，连接并延长交轴于点．
(1)求的值；
(2)连接，若点是线段上一动点，连接．当时，求点的坐标；
(3)若点是轴上一动点，点为平面内一点，在（2）的条件下，是否存在以、、、四点的菱形 请直接写出点N的坐标．
8．如图，已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点A和点B，与轴交于点C，与轴交于点D；
(1)如图1，当点A坐标为时，求直线的解析式和反比例函数关系式；
(2)将沿射线方向平移得到，若点O，B的对应点，同时落在函数上，
①求n的值；
②平移过程中扫过的面积是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，求点的横坐标；
(3)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
11．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数（），的图象经过的中点D，且与交于点E，连接．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)点F是边上一点，若，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点P是反比例函数的图象上的一点，若的面积恰好等于矩形的面积，求P点的坐标．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标．
13．如图，直线与函数的图像相交于点，与x轴交于点．
(1)求m的值及直线的解析式；
(2)若D是线段上一点，将线段绕点O逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点D的坐标；
(3)直线在直线的上方，满足，求直线的解析式．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，，分别落在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．
(1)求k的值；
(2)若点P在坐标轴上运动，求动点P的坐标，使．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)，
(2)或
(3)或或
(4)图见解析，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）设，，根据题意分四边形或四边形为菱形两种情况讨论，然后根据菱形的性质列方程求解即可；
（4）首先尺规做出的平分线，画出图形，连结，首先求出，然后利用题意得到为直角三角形，然后结合角平分线的概念得到，然后得到，最后代入求解即可．
【详解】（1）∵直线l与反比例函数的图象交于，两点
∴将代入得，，解得
∴反比例函数；
将代入得，
∴
∴设直线l的解析式为，
将，代入
得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）∵，
∴由图象可得，
当或时，
直线l在反比例函数的图象上方；
（3）∵，，设，
∴，
如图所示，当四边形是菱形时，
∴
∴由菱形的性质可得，
∴
∴解得或
∴，
如图所示，当四边形是菱形时，
∴，
∴由菱形的性质可得，
∴
∴解得
∴；
综上所述，点N的坐标为或或；
（4）如图所示，连结，
∵直线l的解析式为：，
∴点D坐标为，
∴，
∵点E与点A关于原点对称，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数以及几何综合题，坐标与图形，直角三角形的性质，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式．
2．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据待定系数法由条件可知，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将所给坐标代入函数解析式中，求出m,n的值；
（2）点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得，所以有两种情况,，结合反比例函数的性质，再根据e的取值得出f的取值范围；
（3）画出图形， 由条件算出相应点的坐标，再利用勾股定理求出菱形的边长，根据菱形面积公式等于底×高， 再通过，即可计算出．
【详解】（1）解：∵函数（）的图像过，
∴，解得m＝12．
又∵也在反比例函数图像上，
∴，解得：；
（2）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
当时，，
∵，
故每个分支y随x增大而减小，
故当时，或；
（3）解：把，代入得：，解得：，
即直线的解析式为，
令，则，
∴，
根据题意画图形如下：
，
由题意得：，
过A点作，
∵，，
∴，，
∴在中，，由勾股定理得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数综合问题，涉及到勾股定理、菱形的性质等，灵活运用所学知识是关键．
3．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）过点作轴，垂足为，如图所示，由菱形的性质及勾股定理可知，；将点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；
（2）求出直线与轴和轴的交点，利用平面直角坐标系中三角形面积的求法即可求出的面积；
（3）求出直线的表达式，并得到直线与轴和轴的交点，即可求出的面积，利用面积相等列方程求解，在由点的变化，根据求出范围即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作轴，垂足为，如图所示：
点的坐标为，点，
，，，
，
由勾股定理可得，
四边形是菱形，
，
，，
点在反比例函数的图像上，
，
将点代入，
；
（2）解：由（2）得，
对于，令，则，
，
令，则，
直线与轴交点为，
；
（3）解：点在反比例函数的图像上，点的横坐标为，如图所示：
，
，
设直线的表达式为，则，解得，
直线的表达式为，
直线与轴交点为，
由图可知，（为动点到直线的距离），分两种情况分析：
①若点在直线右侧，随着点沿着图像向上运动而减小；随着点沿着图像向下运动而增大，
当时，，即，根据十字相乘法对因式分解得到，
，
，
根据两个数（式）相乘结果为，若其中一个不等于，则另一个数（式）必定为，则，解得；
，
若，则的取值范围为；
②若点在直线左侧，随着点沿着图像向上运动而增大，
当时，，即，配方得到，则，直接开平方得或，
，
舍弃，取
若，则的取值范围为；
综上所述，若，则的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图像及性质，菱形的性质，平面直角坐标系中三角形面积求法，因式分解，配方及开平方运算等知识，能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．
4．(1)；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质，得出点是的中点，根据中点坐标公式求出点B的坐标，即可求出A、C两点的坐标，即可得出答案；
（2）设，求出直线的解析式为，表示出，，得出，把点D坐标代入即可得出答案；
（3）先求出，，设，则，得出，求出，过点B作于点G，直线的解析式为：，联立，得：，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，互相平分，
点是的中点，
，，
，
，，
；
（2）解：设，设直线的解析式为，
则，
解得：
∴直线的解析式为，
矩形，轴，
∵点A、C在反比例函数图象上，
∴，，
∴，
代入得：右边左边，
点D在直线上；
（3）解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴设，则，
∴，
在中，，
，
，
，
即，
过点B作于点G，
则，
∵，
∴，
在中，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，得：，
则，
，
轴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数和几何图形综合，勾股定理，求一次函数解析式，中点坐标公式，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．
5．(1)，
(2)①，②
【分析】（1）先根据直线的解析式可求的值，从而可得点的坐标，再将点坐标代入反比例函数的解析式可得的值；
（2）①先求出点坐标，再根据反比例函数的解析式求出点、坐标，然后结合函数图像、整点的定义即可得，利用面积公式求出即可；②由图可知点不可能在点下方，故点在点上方，结合函数图像列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：函数的图像与一次函数的图像交于点，
，即，
，
将代入反比例函数中，解得：，
∴，；
（2）①由（1）可知反比例函数解析式为，
点是射线上一点，的横坐标是，
，
，
将代入，得，
将代入，得，
点与 轴，轴的垂线交函数的图像于点，，
，，
如图：
结合函数图像可知，区域内有个整数点为；
；
故答案为：，；
②区域内恰有个整点，由图可知点只能位于的上方如图：
如图，当的纵坐标为时，横坐标为，
结合图像可知，当时，区域内有个整数点．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质，正确画出函数图像是解题关键．
6．(1)，
(2)
(3)点坐标为或或或
【分析】（1）过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质和点坐标可得，，推得点的坐标为，代入即可求得反比例函数的解析式；将，代入即可求得一次函数解析式；
（2）根据图象和点的坐标，即可求得当时，的解集；
（3）根据勾股定理求得，①当时，即，可得点的坐标为或；②当时，即点与点关于轴对称，故，可得点的坐标为；③当时，即点在的垂直平分线上，过点作交与点，则，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得，，可得点的坐标为．
【详解】（1）解：过点作轴于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∴点的坐标为，
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：，
故可得反比例函数解析式为；
点，点代入一次函数解析式可得：
，
解得：，
故可得一次函数解析式为：；
（2）结合点的坐标及图象，可得：
当时，的解集为：；
（3）解：在中，，
①当时，即，如图：
故点的坐标为或；
②当时，即点与点关于轴对称，故，如图：
故点的坐标为；
③当时，即点在的垂直平分线上，过点作交与点，则，如图：
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
故点的坐标为；
综上，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，求反比例函数的解析式，求一次函数解析式，根据图象交点求不等式的解集，勾股定理，相似三角形的判定和性质，菱形的性质的等，构造全等三角形求出点的坐标是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）根据题意，将代入直线求得，将代入反比例函数求得，将代入反比例函数即可求解；
（2）过点作轴交于点，根据题意求得，，待定系数法求得直线的解析式为：，求得，待定系数法求得直线的解析式为：，设，，推得，根据割补法求得，求得，即可求得点的坐标；
（3）解：根据两点间距离公式可得，分类讨论：
①当四边形为菱形，点在点右侧，点与点关于对称，根据菱形的性质即可求得；
②当四边形为菱形，点在点右侧，根据菱形的性质即可求得；
③当四边形为菱形，点在点左侧，根据菱形的性质即可求得；
④当四边形为菱形，点在的垂直平分线上，待定系数法求得直线的解析式为：，根据中点坐标求得的中点坐标，即可求得直线的解析式为：，根据菱形的性质可得点的纵坐标为3，即可求得．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数在第一象限交于点，
将代入直线得：，解得：，
∴，
将代入反比例函数得：，解得，
∴反比例函数的解析式为：，
∵点在反比例函数上，
将代入反比例函数得：，
故．
（2）解：过点作轴交于点，如图：
∵直线与坐标轴分别交于A、B两点，
将代入直线，解得，
将代入直线，解得，
故，，
由（1）可得点，点，
设直线的解析式为：，
将，代入得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵点是直线与轴的交点，
将代入得：，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得
，
解得，
∴直线的解析式：，
设，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得：，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
如图：
①当四边形为菱形，点在点右侧，点与点关于对称，
∵，点和点是轴上，
∴，
②当四边形为菱形，点在点右侧，
且，，
∵，，
∴，
③当四边形为菱形，点在点左侧，
且，，
∵，，
∴，
④当四边形为菱形，点在的垂直平分线上，
设直线的解析式为：，
将，代入得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
的中点坐标为，即
设直线的解析式为：，
∵直线与直线垂直，
即，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴点的纵坐标为3，
将代入，
解得，
∴，
综上，点坐标为，，，．
【点睛】本题考查了求一次函数的因变量，求反比例函数解析式，求反比例函数的因变量，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，两点间距离公式，菱形的性质，中点坐标公式等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．(1)；
(2)①；②10
【分析】（1）由点坐标与解析式的关系，将已知点坐标代入解析式，求得，进而确定直线解析式，反比例函数解析式；
（2）①过作轴，垂足为H，联立解析式求得，由平移知,设平移的距离为，则，求得直线与x轴交于，与y轴交于，所以是等腰直角三角形，,于是，，，代入反比例函数，得，解得，故
②令等腰斜边上的高为h,则，求得，可证四边形是平行四边形，于是，由，得，于是，得扫过的面积是．
【详解】（1）在上，
∴
把代入中得：
则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；
（2）①过作轴，垂足为H，
，解得
由平移知：,
设平移的距离为，则
∵轴，
∴
直线与x轴交于，与y轴交于
∴是等腰直角三角形，,
∵,
∴,
∴
∴
同理:，
代入反比例函数
得
解得
∴ ；
②令等腰斜边上的高为h,则
∴
由平移知,
∴四边形是平行四边形
∴
∵，
∴
∴
∴扫过的面积是．
【点睛】本题考查函数图象点坐标与解析式，图形的变化——平移，等腰直角三角形性质、三角形面积计算，平行四边形面积计算，理解平移后图形的构成，运用数形结合思想是解题的关键．
9．(1)
(2)点的横坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案；
首先求出点的坐标，分情况讨论：在点下方的轴上取的中点，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，或在点上方的轴上取，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，根据平行关系可得直线的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；
由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得，
，
反比例函数的图象经过点A，
，
反比例函数解析式；
（2）解：列方程组，
解得或，
，
如图，设直线与轴交于，
，
点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，
点C到直线的距离是点到直线距离的一半，
如图，在点下方的轴上取的中点，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，此时点C到直线的距离是点到直线距离的一半，
直线的解析式为，
，
解得，舍，
点的横坐标为，
在点上方的轴上取，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，
同理可得点的横坐标为，
综上：点的横坐标为或；
（3）解：由题意可知， ，
四边形是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，A与关于原点对称，
，
，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
10．(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
(2)点C的坐标为或
(3)点P的坐标为；m的值为3
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
【详解】（1）解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，
令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，
∴
设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
画出图形如下：
又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是：
将点代入得：
解得：
∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴
∴
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
11．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，求得，确定点F的坐标，待定系数法求直线FB的解析式即可；
（3）过点P作轴于G，根据直线的解析式求得的值，再用的面积恰好等于矩形的面积，求出即可求得．
【详解】（1）∵轴，点B的坐标为，
∴，，
∵点D为的中点，
∴，
∴点D的坐标为，
代入双曲线（）得；
∴反比例函数的表达式，
∵轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上，
∴，
∴点E的坐标为；
（2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，
∴，，
∵，
∴．
即：，
∴，
∴点F的坐标为，
设直线的解析式（）
则，
解得：，，
∴直线的解析式；
（3）如图，过点P作轴于G，
由（2）可知，，
∵矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∵若的面积恰好等于矩形的面积，
∴，
∴，
∴，
∵点P是反比例函数的图象上的一点，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是求出反比例函数的解析式，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化．
12．(1)
(2)
(3)M点坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可；
（3）设，分两种情况讨论：当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，通过证明，确定点，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，同理可得：，确定点N的坐标，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点，点代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入中，
，
解得：，
，
将代入，
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，
∵，
，
，
∵的面积且与的面积相等，
∴E点在过D点且与平行的直线上，即，
，
设，
则
解得，（不合题意，舍去）
，
∴；
（3）解：设，
如图，当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，
过点D作交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得，
如图，当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，
同理可得：，
，
，
，
解得：或，
点M在点D左侧，
，
综上所述：M点坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定及性质，属于反比例函数几何综合题，难度较大．
13．(1) ，；
(2)或；
(3)；
【分析】（1）将点代入求出坐标，结合代入直线即可得到答案；
（2）设出点D的坐标，根据旋转得到点的坐标，代入反比例函数求解即可得到答案；
（3）在上截取，证明，设F点坐标为，根据线段关系列式求解，再利用待定系数法求解析式即可得到答案；
【详解】（1）解：将点代入可得，
，
设的解析式为：，将点、代入可得，
，解得：，
∴；
（2）解：过点D作轴，垂足为点N，过点作轴，垂足为点M，
∵线段绕点O逆时针旋转得到，
∴，，
∵轴， 轴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
设点D坐标为，
∴，
∵点恰好落在函数的图像上，
∴，解得：，，
∴点D的坐标为：或；
（3）解：在上截取，
在中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，，
∴，，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
设的解析式为：，将点、代入得，
，解得：，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数的综合性质，熟练反比例函数性质，数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．
14．(1)
(2)或者或者或者
【分析】（1）先求出，根据旋转有，即有，结合，可得，问题得解；
（2）设直线交x轴于点S，交y轴于点T，过B点作，交x轴于点M，交y轴于点N，连接、、、，利用反比例函数求出，即可得直线的解析式为：，根据，可得设直线的解析式为：，即可得直线的解析式为：，根据，可得，即当点P与M点重合时，满足要求，同理可知当点P与N点重合时，同样满足要求；先求出，，结合，，可得，，即将直线向右平移6个单位（或向上平移3个单位）即可得到直线，将直线向左平移6个单位（或向下平移3个单位）即可得到直线，根据平移的性质可知：直线与直线的距离等于直线与直线的距离，即直线的点与点F、G构成的三角形的面积等于得面积，可知当点P与点H或者点G重合时，满足，根据平移的特点即可作答．
【详解】（1）∵矩形的顶点B的坐标为，
∴，，
∴，
∵根据旋转有，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点F，
∴，即：；
（2）设直线交x轴于点S，交y轴于点T，过B点作，交x轴于点M，交y轴于点N，连接、、、，如图，
根据（1）可知反比例函数的图象经过点，交于点G，，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∵直线过点B，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，解得，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与M点重合时，满足，
∴此时P点坐标为，
当时，，
∴，
同理可知当点P与N点重合时，满足，
∴此时P点坐标为；
∵直线交x轴于点S，交y轴于点T，
∴当时，，解得，
当时，，
∴，，
∵，，
∴，，
即将直线向右平移6个单位（或向上平移3个单位）即可得到直线，
将直线向左平移6个单位（或向下平移3个单位）即可得到直线，
根据平移的性质可知：直线与直线的距离等于直线与直线的距离，
∴直线的点与点F、G构成的三角形的面积等于得面积，
如图，
∴当点P与点H或者点G重合时，满足，
∵将直线向左平移6个单位（或向下平移3个单位）即可得到直线，
又∵，，
∴将向左平移6个单位得到点，将向下平移3个单位可得到，
∴，，
∴此时的P点为：或者，
综上：P点坐标为：或者或者或者．
【点睛】本题考查了反比例函数，矩形的性质，直角三角形，一次函数的平移等知识，灵活运用一次函数的平移，是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
