专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
例1．（2023·广东七年级期中）如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段、的中点、，则 ．
例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
例4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．
例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中，，M、N分别是、的中点则的长是 ．
例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点．
(1)若，求的长；(2)若，，求的长；(3)若，求的长．
例7．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．
(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
例8．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；
(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，，
，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．
(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．
(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．
例7．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
4．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
15．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ．
16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
17．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
18．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒．
(1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
19．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
20．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
22．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
23．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．
(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．(1)若 ，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．
专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
例1．（2023·广东七年级期中）如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据是的中点，是的中点，分别求得，，，再根据线段的和与差，计算即可判断．
【详解】解：∵是的中点，是的中点，且，，
∴，，，
∴，故选项A不符合题意；，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意；，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题．
例2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段、的中点、，则 ．
【答案】7
【分析】先求解，再证明，，再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：∵，，∴，
∵线段、的中点为、，∴，，
∴ ．故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，理解线段的和差运算是解本题的关键．
例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：①点是的中点，，，故①正确；
②点是的中点，，又点是的中点，．故②正确；
③点是的中点，．，故③正确；
④，故④错误．故正确的有①②③．故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
例4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．
【答案】
【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：因为线段，是的中点，所以；
因为是的中点，所以；
因为是的中点，所以；，
所以，所以，答案为：．
【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中，，M、N分别是、的中点则的长是 ．
【答案】或
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．
【详解】解：第一种情况：B在线段上，如图，
则；
第二种情况：B在身线上，在线段外，如图，
则．
答：线段MN的长是或．故答案为：1或7
【点睛】本题考查线段的和差，由于B的位置有两种情况，所以本题的值就有两种情况，做这类题时学生一定要思维细密．
例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点．
(1)若，求的长；(2)若，，求的长；(3)若，求的长．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据线段中点的定义可得，即可求出结果；
（2）根据线段中点的定义可得，，即可求出结果；
（2）根据线段中点的定义可得，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵点M是的中点，点N是的中点，，，
，，
又，，．
（2）解：∵点M是的中点，点N是的中点，，，
，，，，．
（3）解：∵点M是的中点，点N是的中点，，，
，，
又，，．
【点睛】本题考查了线段中点的定义和求两点间的距离，熟练掌握计算两点间距离的方法是解题的关键．
例7．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．
(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)(2)，详见解析
【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算；
（2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算．
【详解】（1）解：点在线段上，，，点、分别是、的中点，
，，
；
（2）解：如图所示，
点在线段的延长线上，且满足，
又点、分别是、的中点，，，
，的长度．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质．
例8．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；
(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．
【答案】(1)，(2)，，
(3)存在和使等式成立
【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；
（2）根据题意，得出，，相加即可求解；
（3）分在点到达点之前，在点到达点返回之后，两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）根据定义可得：∵，则；
∵，∴,则；故答案为：．，；
（2）∵∴
∵∴ ∴∴
（3）①在点到达点之前 ∵∴
∵∴∴
∵∴∴
②在点到达点返回之后 ∵∴
∵∴∴
∵∴∴
∴存在和使等式成立．
【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求时间t为4或或．
【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．
【详解】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=；
③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据、分别是、的角平分线，可得，，根据，可得，再结合，可得，问题随之得解．
【详解】∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∵，∴，即，
∵，，∴，
∵，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；③无法证明；④根据，得出，，即可得出结论．
【详解】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，，
，，
即，故①正确；
②∵
，，
∴，故②正确；③与不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键．
例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
【答案】
【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答．
【详解】解：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：．故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例6．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
【答案】 110°或130° 或
【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB=20°，②当∠BOE′=∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论；
B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB，②当∠BOE′=∠AOB，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：A、如图，
∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
②当∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°，
②当∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°，
综上所述，∠EOD的度数为150°-α°或120°-α°，故答案为：150°-α°或120°-α°；
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，．
【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可．
【详解】（1）∵，平分，∴
∵分别平分，．∴
∴．
（2）若射线在的内部，如图2
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的内部时，．
若射线在外部时，如图3
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的外部时，．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．
(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．
(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．
【答案】(1)或(2)或或或
【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可；
（2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可．
【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得，或
∵ ∴或故答案为： 或
（2）①当OA在的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得，或
②当OB在的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得，或
此时，或
综上，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键．
例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）20°；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可求解；
（2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；
（3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可解决．
【详解】（1）∵，，
∴，，
又∵平分，∴，
∴．
（2）∵，，
∴，，
又∵平分，∴，
∴．
（3）结论：．理由如下：设，则，
∵，∴，
又∵平分，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
课后专项训练
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示：
是的中点，是的中点，，，
．
②B，在点A两侧时，如图，
是的中点，是的中点，，，
．
综上：与之间距离为或，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解．
【详解】解：当点在点右侧时，如图所示．
， ， ．
是中点，是的中点， ， ，；
当点在点左侧时，如图所示． ， ， ．
是中点，是的中点， ， ， ．
综上所述：线段MN的长度为5 cm．故选：B．
【点睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．
3．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段的中点，
∴，，
∵， ∴， ∴， ∴，
∴，即，故①符合题意；
∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意；
∵，
∴ ，故③符合题意；
∵，， ∴，
∵，， ∴
，故④不符合题意， 故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键．
4．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值．
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，……由此可得：，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
5．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
【答案】D
【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；
乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法；
丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解．
【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时，
，故甲的说法错误；
乙：如图2，当点C与点A重合时，
设点P表示的数为x，则，
∴，故乙的说法正确；
丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是，
∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点，
∴点M表示的数是，点N表示的数是，
∴，故丙的说法正确．故选D．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，，
，，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，∴的度数为或．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平分，平分，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到是解题的关键．
9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
【答案】C
【详解】解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，∴，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，
∴，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意；
∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C
【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键．
10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得，所以平分，①正确；
②当时，设，∵平分，∴，
∴ ，，
∴，
当时，设，∵平分，∴，
∴，∴，
∴，∴，故②正确；
③时，时，时故③正确；
④当时，当时，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】①根据线段的中点的定义以及点、可确定点、表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点在点的右侧时以及点在点的左侧时，可得到点表示的数，由点为线段的中点可得点表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到、的长，从而确定点、，即可得到的长；④当时，可得到、的长，从而确定点、，进而判断．
【详解】①若点表示的数是3，∵点为线段的中点，表示的数是1，
∴，，即表示的数是2，∴，故①正确；
②若，当点在点的右侧时，则点表示的数是4，
∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，∴，
当点在点的左侧时，则点表示的数是，
∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，
∴，综上，，故②不正确；
③当时，，，
∵、表示的数分别是，1，∴、表示的数分别是，，∴，故③正确；
④当时，，，∴、表示的数分别是，，
∵点在、的左侧，不可能是线段的中点故④不正确；故答案为：①③
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
【答案】 120
【分析】①利用角平分线的定义可得，，易得，利用，可得结果；
②由角的加减可得，可得，再利用可得结果
【详解】解：①，，，
，平分，平分，
，，，
，故答案为120；
②，，，
，
，故答案为：
【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键．
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
【答案】或13
【分析】画出图形，分两种情况讨论①；②．设，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出的长.
【详解】①当时，如图1
设，则，，，
∵直线l上所有线段的长度之和为91
②当时，如图2,
故答案为：或13
【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.
14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
【答案】/
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可．
【详解】解：∵M为的中点，N为的中点，
∴，．
∵线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，
长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，
∴分以下5种情况说明：
①当在左侧时，如图1，
即，，
，；
②当点D与点A重合时，如图2，
即
，；
③当在内部时，如图3，
即
，；
④当点C在点B右侧时，同理可得：；
⑤当在右侧时，同理可得：；
综上所述：线段的长为．故答案为：．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
15．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ．
【答案】1
【分析】先由线段 中点定义得出，，又因为，利用线段和差即可求得，，代入即可求解．
【详解】解∶∵，P，Q分别是，的中点，∴，，
∵，∴，
，∴，故答案为∶1．
【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．
16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算，的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断．
【详解】解：①∵，
∵，∴，∴；故①正确；
②如图1，当点B与点O重合时，；故②不正确；
③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，
∴，∴；故③正确；
④∵M为线段的中点，N为线段的中点，
∴
分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3，
；
2）当B，C在O的两侧时，如图4，
；
3）当B，C在线段上时，如图5，
；
4）当B和C都在A的右边时，如图6，
；
∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，线段的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
17．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算，的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断．
【详解】解：①∵，
∵，∴，∴；故①正确；
②如图1，当点B与点O重合时，；故②不正确；
③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，
∴，∴；故③正确；
④∵M为线段的中点，N为线段的中点，∴
分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3，
；
2）当B，C在O的两侧时，如图4，
；
3）当B，C在线段上时，如图5，
；
4）当B和C都在A的右边时，如图6，
；
∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，线段的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
18．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒．
(1)若点在线段上运动，当时， ；
(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；
(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由见解析．
【分析】（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）①当点P在线段上，， ②当点P在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，，
∴，，∴，
∵线段，∴，∴．
（2）①当点P在线段上，，如图，
∵，为的中点，∴，解得
②当点P在线段的延长线上，，如图，
同理：，解得
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为或20．
（3）当点P在线段的反向延长线上时，，理由如下：
如图，
∵，为的中点，为的中点，
∴，，
，．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．
19．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
【答案】(1)，(2)①；②1或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可．
【详解】（1）解：，，，，
，，∴，
∴故答案为：，；
（2）①设运动时间为，则，，根据“点值”的定义得：，，
的值是个定值，的值是个定值，；
②当点从点向点方向运动时，，，；
当点从点向点方向运动时，，，，
的值为1或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
20．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
【答案】(1)3(2)①；②；③
【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故；（2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故；
②由，，知，，即得，故；③由，，知，，即得，故．
【详解】（1）解：，，，
，分别是，的中点，，，
；故答案为：；
（2）解：①，分别是，的中点，
，，，
，；故答案为：；
②，，，，
，，；
③，，，，
，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明；
（3）设，，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得，，计算得出，等，再求得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，∴；
（2）证明：∵平分，∴，
∴
=；
（3）解：设，，
∵平分，∴，
∵，∴，，
∵，∴，
∴，，即，，，
∵，平分，∴，，
∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∵反向延长射线得到射线，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，， ∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键．
22．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1）（2）（3）没有关系，，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线性质可求，根据即可解答；
（2）由题意可得进而求出；
（3）根据角平分线性质可得，，进而求出．
【详解】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∴，
；
（2）∵，，，
∴，
∴；
（3）与的大小无关．理由：∵，，∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，即．
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
23．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．
(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）求解，，可得答案；
（2）先求解，，再证明，，结合角的和差运算可得答案；（3）设，可得，证明，，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．
∴，，∴；
（2）∵在内部，，，
∴，，∵平分，平分．
∴，，∴．
（3）设，，∴，
∵平分，平分．，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．
(1)若 ，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
【答案】(1)(2)不变，．(3)．
【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度；
（2）根据，再根据中点进行推导即可；
（3）根据再结合角平分线进行计算．
【详解】（1）解：∵，，，∴，
∵E，F分别是，的中点，∴，．
∴．
（2）EF的长度不变．理由如下：
E，F分别是，的中点，∴，．
∴
（3）∵，分别平分和∴，．
∴
∵
∴
．
【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度．（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是；
（2）是线段CD的“奇妙点”根据定义，此题共分为三种情况．
当，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．
t秒后，，．
当P点是“奇妙点”时，．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时，．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；
当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3）或
【分析】（1）根据角平分线定义计算（2）根据角平分线定义和角的和差运算．
（3）根据角的旋转变化列式计算即可．
【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，
∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；
（2）∵OM、ON分别平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠BOD．
∴∠MON＝（∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOC）+∠BOC＝．
（3）当∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上时，∠AOD为平角，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．
30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．
当0≤t≤10时，，由(2)可知．
∴5（30﹣3t）＝75时t＝5．∠AOD＝180﹣3t＝165°．
当10＜t≤30时，∠BOC＝3（t﹣10）°，，
∴75＝5×3（t﹣10），t＝15，此时∠AOD＝180﹣3t＝135°．
【点睛】本题考查了角平分线相关知识及角的计算，掌握角的和差关系，注意分类讨论是解题的关键．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．
【答案】（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4
【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；
（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；故答案为：是；
（2）∵∠MPN=分三种情况
①∵射线PQ是的“定分线”，
∴=2=，∴=，
②∵射线PQ是的“定分线”，∴=2，
∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，
③∵射线PQ是的“定分线”，∴2=，
∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN =，∴∠QPN =，∴∠QPM =，
∴∠MPQ=或或；故答案为：或或；
（3）依题意有三种情况：
①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；
②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；
③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，
故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“定分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“定分线”的定义并分情况讨论是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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