永春四校2024届高三年第二次联合考试试卷（数学科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若一组数据1，1，a，4，5，5，6，7的75百分位数是6，则（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
2.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.等差数列的前n项和为，，，则是中的（ ）
A.第30项 B.第36颔 C.第48项 D.第60项
4.已知直线l，m，n与平面、，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
5.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A.216 B.228 C.384 D.486
6.已知实数m，n满足，则m，n可能是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
7.已知实数a，b，c成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点N的坐标为.过点P作直线的垂线，垂足为点M，则M，N间的距离的最大值与最小值的乘积是（ ）
A.10 B. C. D.前三个答案都不对
8.宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达.《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”.太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：对于函数，若存在圆C，使得的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称是圆C的太极函数.下列说法正确的是（ ）
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个；
②是的太极函数；
③太极函数的图象必是中心对称图形；
④存在一个圆C，是它的太极函数.
A.②③ B.③④ C.①③ D.①④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.在中，，，，则的面积可以为（ ）
A. B. C. D.
10.设、为复数，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则或
C.若，则 D.若，则z在复平面对应的点在一条直线上
11.已知函数的定义域为R，且，，则（ ）
A. B.有最小值
C. D.是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，且，则在上的投影向量为__________.
13.已知圆锥的母线，侧面积为，则圆锥的内切球半径为__________；若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为__________.
14.如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线.设第n条线段与第条线段所夹的角为（，），则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程成演算步骤.
15.（本题满分13分）已知函数在处有极值2.
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：.
16.（本题满分15分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为.
（1）若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；
（2）若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.
17.（本题满分15分）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，，.
（1）若E为的中点，求证：平面平面；
（2）若平面与平面所成的角的余弦值为.
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）设G为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度.
18.（本题满分17分）已知椭圆的离心率是，点在C上.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于P，Q两点，直线，与y轴的交点分别为M，N，证明：线段的中点为定点.
19.（本题满分17分）已知集合，其中.对于，，定义A与B之间的距离为.
（1）记，写出所有使得；
（2）记，A、，并且，求的最大值；
（3）设，P中所有不同元素间的距离的最小值为k，记满足条件的集合P的元素个数的最大值为m，求证：.
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B B B A A A D AC BD ACD
12.（或） 13. 14.（或）
6.解：由，得，
类比，.
7.解：直线中a，b，c成等差数列即直线恒过点，
又，于是点M的轨迹是以为直径的圆，如图.
该圆的圆心为，半径为，因此，
故，于是最大值与最小值之积为.
8.解：对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，
所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确；
对于②：，，
所以关于y轴对称，故②错误；
对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心.
但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；
对于④：曲线存在对称中心，必是某圆的太极函数，④正确.
10.解：对于A，令，，则，此时，A错误；
对于B，设，（a，b，c，），则，
所以，即，则；
若，则成立，此时；
若，，由知；由知：，此时；
同理可知：当，时，；
若，，由得：，则，此时；
综上所述：若，则或，B正确；
对于C，令，，则，此时，C错误；
对于D，设，，（a，b，，，，），
则，，
由，可得，
所以，又、不全为零，
所以表示一条直线，
即z在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.
11.解：对于A中，令，可得，所以A正确；
对于B，令，，且，则，
可得，
若时，时，，此时函数为单调递增函数；
若时，时，，此时函数为单调递减函数，
所以函数不一定有最小值，所以B错误；
对于C，令，可得，即，
所以，，…，，
各式相加得，所以，所以C正确；
对于D，令，可得，可得，
即，所以函数是奇函数，所以D正确.
13.解：如图，在圆锥中，设圆锥母线长为l，底面圆半径为r，
因为侧面积为，所以，即.
因为，所以，所以.
棱长为a的正四面体如图所示，则正方体的棱长为，体对角线长为，
所以棱长为a的正四面体的外接球半径为.
取轴截面，设内切圆的半径为r，则，解得，
即圆锥的内切球半径为.
因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即，
所以正四面体的最大棱长为.
14.解：第一条线段与第二条线段所夹的角，
由此类推，，，，，，
，，，……
观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，
正方形有2个，正五边形有3个，正六边形有4个，……
多边形有个.
又观察图形得：正三角形画2条线段，正方形画2条线段，
正五边形画3条线段，正六边形画4条线段，……，正n边形画条线段；
画到正n多边形时，画线段的条数为，
当时，；当时，，
第2022条线段应在正65边形中，.
15.解（Ⅰ），则解得
经检验，，符合题意.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，.
要证，只需证.即.
令，则.令得.
，的变化情况如下表所示.
x 1
0
单调递减 1 单调递增
所以时，有最小值，即成立.
16.解：（1），，，
，.
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以.
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.，
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
17.解：（1）四棱锥中，底面，平面，则，
而，，，平面，于是平面，（未写线线相交不得分）
又平面，则，
由，E为的中点，得，，，平面，
因此平面，
（此处线线相交未写不再扣分，两处线线相交只要有一处未写即扣1分）
而平面，所以平面平面.
（2）（ⅰ）由（1）知，直线，，两两垂直，
以点A为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
过C作于F，由，，得，
令，则，，，
，，
设平面的法向量，则，
令，得，
由平面，得平面的一个法向量，
依题意，，
整理得，而，解得，所以线段的长为2.
（ⅱ）显然平面，而平面，则，又，
干是，解得，
因此点G的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆的，
所以点G的轨迹的长度为.
18.解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.
（2）直线的斜率不存在时不合题意，
设，，，
由得，
令，
得，，，
因为，则直线，
令，解得，
即，同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.
19.解：（1）A的所有情形有：、、、；
（2）设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）设P是满足条件的最大集合，即P中的元素个数为m，
所以，、且，，，记集合，
那么中的元素个数为，
对于中的任意元素X，都存在，使得，
若不然，假设存在，都有，
那么集合中所有不同元素间的距离的最小值为k，
且中有个元素，这与m的最大性矛盾.
所以中的每个元素必与P中某个元素间的距离不超过.
从而，所以，.
