2023一2024学年安康市高三年级第三次质量联考
理科数学
考试满分：150分
考试时间：120.分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
0
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.设1+)z=2+3+4，则z=
A1+
1
1
1
B.
22
2.2
c
D.
2
2
2集合M=布=-，N配=x,则下列选项正确的是
AMUN=R
BMUN-N
CM.∩N=N
D.M∩N=
3.已知函数f(x)=x-1,
公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn若f(ao2)=f(aos),则
封
S2024=
A.1012
B.2024
C.3036
D.4048
x-y2-1
4若实数x,y满足约束条件
x年5y≥11，则2x-y的最大值为
x+y≤7
A.0
B.2
c.9
D.11
5.甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、
周日值班，每天至少要有一人值班，
每人只在其中的一天
值班则甲、乙被安排在同一天值班的概率为
线
A后
B
c
2
6.在△ABC中，M是AB的中点，AN=3NC,CM与BN相交于点P,则P=
A.34B+14C
B.+34C
5
c西+c
D.348+1AC
7.已知m(0-孕=2，则如(20+草
A.-72
B.②
D.2
家
10
10
10
10
8.侧棱长与底面边长均为a的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a=
A.12
B.8
c.6
D.4
理科数学
第1页（共4页）
9.已知直线1与椭圆上+x2=1在第四象限交于A、B两点，1与x辅，y轴分别交于C、D两点，若
AC=BD,则1的倾斜角是
A爱
B交
4
c
12
10.已知1-2x)7=a0+a1x+42x2+ax3+a4x4+a5x+a6x6+ax7,则a6+2a1+3a2+4a3+5a4+
6a5+7a6+8a7=
A.-15
B.-6
C.6
D.15
11若直线y=ax+b是曲线y=e的一条切线，则b
A.a(1+Ina)
B.a(1-Ina)
C.a(1+e)
Da(1-ea)
12.已知直线l:mx-y-m+3=0(m∈R)与直线12：x+my-m-5=0(m∈R)相交于点P,则P到直线
2x+y+7=0的距离的取值集合是
A[V535]
.B.(W5,3511
C[2W5,4V5]
D.(25,45]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出一个对称中心为（1,0)的奇函数f(x)=
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=2Sn+2,则a7+S,=
15.已知抛物线C:y2-4x的焦点为F,位于第一象限的点P在C上，O为坐标原点，且满足PO=P,
则△OPF外接圆的半径为
16.已知函数f)=nx+ax+sinx,,2∈(0，+∞，≠，都有f）-f>1,则a的取值范围为
x2-为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(二)必考题：共60分。
17.(I2分)作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不
减，并日渐形成了“千模大战”的局面。百度的文心一言、阿里的通义千问、华为的盘古、腾讯的
混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线。现有某大模型给出了会员有效期
30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元。后台调取了购买会员的
200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人
用户数此公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半.
(1)完成如下用启类别与购买意向的2×2列联表；
购买6元
购买24元
总计
个人用户
公司用户
总计
理科数学，第2页（共4页）2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考
理科数学参考答案
1.【答案】 D
i ( i)(1 i) i 1
【解析】 由条件可得(1 + i) = 1+ ( i) + 1 = i，所以 z
1 i (1 i)(1 i) 2
1 i
, 1 i即 z .故选 D.
2 2 2 2
2.【答案】 A
【解析】由条件可得 = ≤ 1 ， = | ≥ 0 ，所以 ∪ = ， ∩ = [0,1]，故选 A.
3.【答案】 B
+
【解析】 由题可知函数 ( )的图象关于直线 = 1 对称，所以 1012 1013 = 1，所以
2 1012
+ 1013 = 2，
= 2024( 1+ 2024) = 2024( 又 1012+ 1013)2024 = 2024，故选 B.2 2
4.【答案】 D
x y 1
【解析】 由约束条件 x 5y 11，画出可行域，
x y 7
= 2 ，化为斜截式方程得 y 2x z ,
+ 5 = 11 = 6
联立 + = 7 得 = 1，即 C（6，1）.
由题意可知，当直线 = 2 过点 时，直线在 轴上的截距最小，此时 最大.
把点 6,1 代入目标函数可得最大值，即最大值 = 2 × 6 1 = 11.故选 D.
5.【答案】 C
【解析】 由题意可知将 3 人分成两组，其中一组只有 1 人，另一组有 2人.分别安排在周六、周日
值班共有 6 种情况:（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、
2 1
（丙，甲乙）.显然甲、乙被安排在同一天有 2 种情况，所以甲、乙被安排在同一天的概率为 = .
6 3
故选 C.
6.【答案】 B
【解析】 设 = λ + μ ，由 是 4的中点,得 = 2 ，由 = 3 ,得 = .
3
= 2λ + μ = λ + 4所以 ，且 μ
3
理科数学参考答案 第1页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
由 与 相交于点 可知，点 在线段 上，也在线段 上，由三点共线的条件可得
2 + μ = 1 = 1 1 3
+ 4 μ = 1，解得
5，所以 3 = + ，故选 B.μ = 5 53 5
7.【答案】 A
tan tanπ
【解析】 由 tan( π ) = 4 = 2，解得 tan = 3，所以 sin2 = 2sin cos = 2sin cos =
4 1+tan tanπ4 sin
2 +cos2
2tan = 3 cos2 = cos2 sin2 = cos
2 sin2 = 1 tan
2 4 π 2
2 ，tan +1 5 cos2 +sin2 1+tan2 = ，所以 sin(2 + ) = sin2 + 5 4 2
2 cos2 = 7 2.故选 A.
2 10
8.【答案】 C
【解析】 由球的表面积公式 = 4π 2 = 84π，解得外接球半径 = 21.因为底面三角形是边长为
a 1 2 3的等边三角形，所以此三角形的外接圆半径为 × 3 × = ，由正三棱柱的外接球的特点可
2 3 3
2 2
得， 2 = 1 + 3 ，解得 = 6.故选 C.
2 3
9.【答案】 C
【解析】 由| | = | |可得线段 的中点，也是线段 的中点，设 1, 1 , 2, 2 ，
= 1+ 20
线段 的中点坐标为 20, 0 ，则 2 0, 0 ， 0,2 0 ， .
1+ 20 = 2
12 + 12 = 13 12 22又点 ， 在椭圆上，所以 ，两式相减可得 + 12 2 2 3 2
2 = 0，
+ 22 = 13
1+ 2 1 2 = 3 1+ 2 2 ，所以 1 2 = 3，所以 0 = 3 ，即 0 = 3.
1+ 2 1 2 1+ 2 1 2 2 0 0
、 、 、 2 0 又因为 四点共线，所以 0 0 = = = ，综上可得 0 2 =± 3，由 、 在第0 0
π
四象限得 > 0 即 = 3,所以直线的倾斜角为 . 故选 C.3
10.【答案】 A
【解析】令 = 0 + 2 3 4 5 6 7 8 71 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ，即 = (1 2 ) ，
对函数 求导可得， ' = 0 + 2 2 3 4 5 6 71 + 3 2 + 4 3 + 5 4 + 6 5 + 7 6 + 8 7 ，
且 ' = (1 2 )7 + 7(1 2 )6 ( 2)，所以 0 + 2 1 + 3 2 + 4 3 + 5 4 + 6 5 + 7 6 +
8 7 = ' 1 = ( 1)7 + 1 7( 1)6 ( 2) = 1 14 = 15.故选 A.
11.【答案】 B
理科数学参考答案 第2页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
= +
【解析】 设切点坐标为 0, 0 ，则切点在直线上，也在曲线上，所以
0 0
0 = 0
，又切线斜
率 = ( )'| = 00 = ，且 = ，所以 =
0， 0 = ln ，代入可得 = 0 = 0 0 0 =
ln = (1 )，故选 B.
12.【答案】 D
【解析】 由两直线垂直的判断条件 1 2 + 1 2 = 0，可知 1 + ( 1) = 0，所以直线 1与 2
始终垂直，又由条件可得直线 1恒过定点 1,3 ，直线 2恒过定点 5,1 ，所以两直线的交点 是
在以线段 为直径的圆上，所以该圆的圆心坐标为 3,2 ，半径为 5，但需挖去点 1,1 ，此点 1,1
是过定点 1,3 且斜率不存在的直线与过定点 5,1 且斜率为 0 的直线的交点，故点 到直线
2 + + 7 = 0 的距离的最大值与最小值可转化为圆心 3,2 到直线 2 + + 7 = 0 的距离 3 5再
加减半径 5，又需要去掉点 1,1 到直线2 + + 7 = 0 的距离为2 5，所以取值集合是(2 5, 4 5].
选 D.
13.【答案】 sinπ
【解析】 因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点 1,0 对称，所以此函数可类比于正弦函
数，因为正弦函数 = sin 是奇函数，且关于点 π, 0 对称，所以可联想到 = sinπ .
14.【答案】 4
【解析】 当 = 1 时， 1 = 2 1 + 2，解得 1 = 2.
当 ≥ 2 时， = 2 + 2， 1 = 2 1 + 2，两式相减得 = 1，
因为 1 = 2 ≠ 0，所以
1 ≠ 0，所以 = 1，所以数列{ }是首项为 2，公比为 1 的等比 1
数列，所以 = ( 2) ( 1) 1 ，即数列{ }是 2，2， 2，2，……，故 7 = 2， 9 = 2，
所以 7 + 9 = 4.
15. 9 2【答案】
16
【解析】由题可得 (1,0) 1 1，由| | = | |，可得点 的横坐标为 ，所以 ( , 2)，所以| | = | | =
2 2
1 + 1 = 3 2 2 2，sin∠ = 3 = ，设△ 外接圆的半径为 ，则由正弦定理可得 2 =
| | =
2 2 3 sin∠
2
理科数学参考答案 第3页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
3
2 9
2 2 = =
9 2 9 2
，所以外接圆的半径 为 .
4 2 8 16
3
16.【答案】 [2， )
【解析】 由 x1, x2 (0, ), x1 x2 ，不妨设 x1 x2 ,则 x2 x1 0，
f (x2 ) f (x1)所以 1,
x2 x1
可变形化简为 f (x1) x1 f (x2 ) x2 ,
构造函数 g(x) f (x) x，则 g(x1) g(x2 )，
所以 g(x)在 (0, )上是单调递增函数，
所以 g (x) f (x) 1 1 a cos x 1 0恒成立，
x
1
即 a ( cos x) 1在 x (0, )上恒成立，
x
1
当 x>0 时， 0,cos x [ 1,1],
x
又 x 1 时， 0，而 cos x [ 1 1,1]，所以 cos x 1，
x x
(1所以 cos x) 1 2，
x
所以 a的取值范围为 [2， ) .
故答案为： [2， )
17.【解析】 (1)设购买 24元的个人用户数为 ，则购买 24 元的公司用户数为 +20，
设购买 6元的公司用户数为 ，则购买 6 元的个人用户数为 2 ， ……………………………2分
2 + 20 = 140
则有 + 2 = 60 ，解得 x 60， = 20， …………………………………………………4分
所以用户类别与购买意向 2 × 2列联表如下：
购买 6 元 购买 24元 总计
个人用户 40 60 100
公司用户 20 80 100
总计 60 140 200
………………………………………………………………………………………………………6分
(2)由（1）中 2×2 列联表得
理科数学参考答案 第4页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
2 = ( )
2
= 200×(3200 1200)
2
≈ 9.524 > 7.879， …………………………………10分
( + )( + )( + )( + ) 100×100×140×60
所以有 99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系． ………………………………………12分
18.【解析】（1）由 a(sin 2 A sin 2 C) b(sin 2 B sin 2 C)，得 a(a2 c2 ) b(b2 c2 ) ………1分
化简得 (a b)(a2 b2 ab c2 ) 0 ……………………………………………………………2分
因为 ABC 三边均不相等，所以 a b，即 a2 b2 ab c2 0
a2 b2 c2 1
由余弦定理得 cosC …………………………………………………3分
2ab 2
在△ABC中，由 0
c a sin A= 3sin120 3 3由 得 ,易得cos A 1 (3 3) 2 13 …………………7分
sinC sin A 7 14 14 14
在 ACD中， ACD 60 ， ADC A ACD 180 ,所以
sin ADC sin(60 A) 3 13 1 3 3 4 3 ………………………………………10分
2 14 2 14 7
3 3
ACD CD b , CD b sin A
5 15
在 中，由 得 14 …………………12分
sin A sin ADC sin ADC 4 3 8
7
19.【解析】（1）证明：因为底面 ABCD为正方形，所以CB AB ,
又因为CB BP, AB BP B，AB,BP 平面ABP，
所以CB 平面ABP ……………………………………………………………………………2分
因为 PA 平面ABP ,所以CB PA , ……………………………………………………………3分
同理CD PA ，又因为CB CD C,CB,CD 平面ABCD，所以 PA 平面 ABCD .… 4 分
（2）由（1）知 PA 底面 ABCD，即 AB, AD, AP两两相互垂直，
如图，以点A为坐标原点， AB, AD, AP所在直线分别为 x轴 y轴 z轴，建立空间直角坐标系.
则 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ,D 0,2,0 ,P 0,0,2 ,E 1,0,1 ,F 0,1,1 ，…………………………… 6 分
理科数学参考答案 第5页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
AE 1,0,1 ,AF 0,1,1 .
设平面 AEF 的一个法向量为 n1 x, y, z ，
AE n1 1,0,1 x, y, z x z 0
则 ，
AF n1 0,1,1 x, y, z y z 0
令 x 1，则 y 1， z 1，得
n1 1,1, 1 ，………………………………………………………9分
由（1）知平面 PAB的一个法向量为 BC (0,2,0)，……………………………………………10 分
n1 BC 3
所以平面 AEF 与平面 PAB夹角的余弦值是 cos n1,BC …….………… 12分
n BC 31
20. c【解析】 (1)解：由题意得 e 2， b 2 3 .............................................................................2 分
a
2 2
又因为 c2 a2 b2 ，解得 a 2 .所以双曲线方程为: = 1.....................................................4分4 12
(2)因为以 PQ为直径的圆过坐标原点，所以 OP⊥OQ，所以 ⊥ ，即： = 0......... 5 分
①当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 = ，设 ( , ), ( , )( > 0)，
由 = 0 可得 2 2 = 0，
2 2
又点 P、Q在双曲线上，代入可得 = 1，解得 2 = 6， 2 = 6.
4 12
所以| | = 2 = 2 6..........................................................................................................................6 分
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = + ，
= +
由 联立消去 整理得 2 2 2
3 2 2 = 12 3 2 12 = 0
，
因为直线 与双曲线交于 ， 两点，所以 3 k2≠0，
且判别式 = (2 )2 4(3 2)( 2 12) = 12( 2 4 2 + 12) > 0．
设 1, 1 ， 2, 2 ，
+ = 2 1 2
则 3
2
2
，
+12 ...............................................................................................................................8分 1 2 = 3 2
理科数学参考答案 第6页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
由 = 0 得到： 1 2 + 1 2 = 0，所以 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) = 0，
即 1 + 2 1 2 + 1 + 22 + = 0，
2+12 2
所以 1 + 2 2 2 + 2 = 0， 3 3
化简得 2 = 6 2 + 6．........................................................................................................................10 分
2
所以| | = 1 + 2 + 21 2 4 1 2 = 24 +
384 。
2
≥ 2 6
3 2
当 = 0 时上式取等号，且方程（*）有解．
综上可得| |的最小值是 2 6．.......................................................................................................12分
21.【解析】 （1）显然 f (x)定义域为 R，由 f (x) e x ax得 f (x) e x a…………………1 分
当 a 0时， f (x) e x a 0， f (x)单调递增区间为 ( ， )，无减区间.………………2 分
当 a 0时，由 f (x) e x a 0，得 x ln( a) ,所以 f (x)单调递增区间为 (ln( a)， )；
由 f (x) e x a 0，得 x ln( a) ,所以 f (x)单调递减区间为 ( ，ln( a)) .………………4 分
（2）由题可得函数 f (x) e x 2 f (0)x cos x，所以 f (x) e x 2 f (0) sin x
f (0) e0 2 f (0) sin 0 1 2 f (0)，解得 f (0) 1
所以 f (x) e x 2x cos x .…………………………………………………………………………5分
①当 x 0时，有 ex 1,sin x 1，
所以 f x ex sin x 2 0恒成立，
所以， f x 在 , 0 上单调递减， f x f 0 0,0是一个零点；……………………………6 分
当 x 0时， f x ex② sin x 2，
设 g(x) e x sin x 2，则 g (x) e x cos x 1 cos x 0恒成立，
即 f x 在 0, 上单调递增.………………………………………………………………………8分
又 f 0 1 0， f 1 e sin1 2 0，
所以根据零点存在定理可知， x1 0,1 ，使得 f x1 0 .………………………………………9 分
理科数学参考答案 第7页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
当0 x x1时， f x 0，所以 f x 在 0, x1 上单调递减；
当 x x1时， f x >0，所以 f x 在 x1, 上单调递增.………………………………………10分
又 f 0 1 1 0，所以 f x1 0 .
因为 f 2 e2 4 cos 2 e2 4 0，
根据零点存在定理可知， x2 x1, 2 ，使得 f x2 0 .…………………………………………11分
综上所述， f (x)在R上的零点个数为 2.…………………………………………………………12 分
22.【解析】(1)由 = 1可得 = + 1,代入 = 1 ( 2 + 1)
2
消去参数 t,可得 的直角坐标方程为： 2 = 2 ……………………………………………………2 分
化简 sin( ) = 3可得 ( 3 cos 1 sin ) = 3，所以 ( 3 cos sin ) = 3.
3 4 2 2 4 2
将 = , = 代入 的极坐标方程，可得 的直角坐标方程为： 3 3 = 0.…4 分
2
(2)曲线 : 2 = 2 是抛物线，其焦点 ( 1 , 0)，准线 = 1，
2 2
直线 ： = 3( 1 )，恰好过抛物线的焦点.………………………………………………… 6分
2
= 3( 1 )
由 2 消去 y并整理得 12 2 20 + 3 = 0，…………………………………………8 分
2 = 2
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
则 + = 51 2 ，线段 AB的中点 Q的横坐标 =
1+ 2 = 5，中点 Q的纵坐标 = 3 ，3 2 6 3
过点 Q作 x轴的平行线交 C于一点 P，则点 P的纵坐标也等于 3，所以点 P的横坐标为1.…10 分
3 6
3 5, < 2
23.【解析】(1) ( ) = + 1 + 2 + 4 = + 3, 2 ≤ < 1，…………………………………2 分
3 + 5, ≥ 1
( )在( ∞, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = 2 = 1, 即当 = 2时，函数 ( )取得最小值 1…………………………… 4 分
(2)由(1)可得当 为正实数时， f (x) 3x 5,
则由 + + =27可得： + + = 4，………………………………………………6 分
理科数学参考答案 第8页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
1 4 9 a b c a b c 9(a b c)
所以
a b c 4a b 4c
9 9 9
= + + + + + + + +
4 4 4 4 4 4
1 9 9 9
= + + + + 1 + + + +
4 4 4 4 4 4
1 9 9 9 7 9 9
= + 1 + ) + ( + ) + ( + + + ≥ + 2 + 2 + 2
4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4
7 2 1 9 9 7 3 2 2 1 3 9,…………………………………………………8 分
2 4 16 4 2 2
b a c 9a c 9b
当且仅当 , ， 时，
4a b 4a 4c b 4c
+ + = 4 = 2 = 4 = 6又 ，即当 ， ， = 2 时，等号成立.
3 3 3
所以1 + 4 + 9的最小值为 9…………………………………………………………………………10 分
理科数学参考答案 第9页（共 9页）
{#{QQABIYiUogAAQAJAAAhCUwHoCgAQkBACAAoGABAIsAIBCQFABAA=}#}
