第六章：平面向量及其应用
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
2．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为（ ）
A． B．4N C． D．
3．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
4．在中，若，，，则可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
5．已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（ ）
A．60° B．120°
C．135° D．150°
6．若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
7．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．和不能构成一组基底
11．已知点是的重心，点，，C( 2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
12．在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（ ）
A．已知且 B．已知且
C．已知且 D．已知且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个.
14．化简 .
15．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则 .
16．如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为 米.
四．解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知，，．
(1)求；
(2)当为何值时，与垂直？
(3)求向量与的夹角的余弦值．
18．设是不共线的两个向量.
(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值.
19．如图，在中，，E是AD的中点，设，．
(1)试用，表示，；
(2)若，与的夹角为，求．
20．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.
(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点是边的中点，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边的值.
22．如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
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参考答案：
1．B
【分析】利用平面向量的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误；
零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量， B正确；
共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误；
两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误．
故选：B
2．C
【分析】根据平衡状态，求得，结合向量的数量积求解即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：C.
3．C
【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
4．B
【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正确的选项.
【详解】由正弦定理可得，故，
故，而，故或，
故或，
故选：B.
5．B
【分析】根据向量在向量上投影向量的定义计算即可得解.
【详解】因为在上的投影向量为，
所以，即，解得，
由知，.
故选：B
6．D
【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状.
【详解】∵，，
∴，两边平方，化简得∴.
∴为直角三角形.
因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
7．B
【分析】借助余弦定理得出，即可得出，结合面积公式即可得.
【详解】在中，因为，，，
由余弦定理得，
因为，所以，
则.
故选：B.
8．B
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
9．BD
【分析】利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.
【详解】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
10．BCD
【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解.
【详解】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误；
由，所以正确，故B正确；
由正八边形知，，且,
根据向量加法法则可知：
为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量，
所以，又，
与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确；
在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确.
故选：BCD
11．AB
【分析】根据三角形的重心坐标公式即可求得点坐标，利用共线向量的坐标计算公式易得点坐标，利用平面向量的夹角公式计算即得，通过平面向量的线性运算求出的坐标，易得其模长.
【详解】
对于A项，如图，点是的重心，点，，，设点，则，故A选项正确；
对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则
即,解得，故B项正确；
对于C项，因为，则，
故,即，故C项错误；
对于D项，因则，故D项错误.
故选:AB.
12．AC
【分析】利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状.
【详解】对于A、因为，所以，由余弦定理得，，
又，所以，所以，所以，所以，
所以为等边三角形..故A正确；
对于B，因为，，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以为等腰三角形.故B错误；
对于C，因为且，所以；所以，所以，
又，所以，所以为等边三角形.故C正确；
对于D，因为；所以，即，所以，
所以或，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以，，所以为直角三角形.故D错误.
故答案为：AC.
13．2
【分析】根据向量的定义判断即可．
【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量；
温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量；
而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量.
故答案为:2.
14．
【分析】利用向量的线性运算求解即得.
【详解】
故答案为：
15．2或5
【分析】根据向量的数量积的定义和模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，
可得两两夹角为或两两夹角为，
当两两夹角为时，可得，
则；
当两两夹角为时，可得，
则．
故答案为：2或5.
16．
【分析】先根据题目条件求出，，再在中，利用余弦定理求出.
【详解】由题意得，，，
，
在中，，在中，，
在中，由余弦定理得
，
故.
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，然后通过平方的方法求得.
（2）根据向量垂直列方程，化简求得的值.
（3）根据向量的夹角公式求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，
则，
解得.
（3），
设向量与的夹角为，
则.
18．(1)证明见解析；
(2)±4.
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，，，
得，
，
因此，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
（2）由于与共线，则存在实数，使得，
即，而是不共线，
因此，解得或，
所以实数k的值是.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成的，根据求得结果即可；
（2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果.
【详解】（1）设游船的实际速度为.
由，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，
.
所以的大小为的值为.
（2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，由向量数量积运算得：
. .
在Rt中，，从而.
所以.
故游船的实际航程为.
21．(1)
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理化简条件，利用余弦定理求出，即可得出答案；
（2）利用余弦定理列出方程求解即可.
【详解】（1）由题意及正弦定理知，
，
，
，．
（2）因为点是AC边的中点，，
两边同时平方可得：
，，，
，
即，解得（舍）或 .
故边的值是2.
22．(1)
(2)
【分析】（1）中利用三角函数的定义，求出，可得，从而，
再在中算出，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）设，在中根据正弦定理建立关于的等式，解出，
利用同角三角函数的关系可得，，，，
利用余弦定理，即可得出答案．
【详解】（1）在中，，，
，可得，．
，
在中，由余弦定理得，
即，
；
（2）设，可得，，
在中，，
中，由正弦定理得，即，
，化简得，
，因此，，，
所以的面积.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
