2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数经典题型
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知一台擀面机共有4对减薄率均在20%的轧辊（如图），所有轧辊周长均为160mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗），已知标号3的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为（ ）
A．800mm B．400mm C．200mm D．100mm
4．已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
6．已知函数的零点在区间内，则整数（ ）
A． B． C． D．
7．当时，的图像恒过点（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中定义域为，，当时，都有的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，下列四个命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是
B．若，其中，则
C．若的值域为R，则
D．若，则
10．设均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是（）
A．； B．；
C．； D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．当函数的图象关于点成中心对称时，
C．当时，在上单调递减
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为0
三、填空题
12．函数的单调递增区间为 .
13．若函数（且）满足，则不等式的解集为 .
14．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为 天．（注：为自然对数的底数，）
四、解答题
15．（1）计算：
（2）计算:
16．已知偶函数的定义域为，.
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并给出证明.
17．设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨.
(1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润；
(2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润.
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的值；
(2)求在上的解析式；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数在区间上有最大值11和最小值3，且．
(1)求的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域.
【详解】由.
所以函数的定义域为
故选：B
2．C
【分析】根据对数函数的单调性比较即可.
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
因为，
所以.
故选：C
3．C
【分析】分析可知，第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，宽度不变，利用160除以可得结果.
【详解】由图可知，第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，
在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，
因宽度不变，在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为，
故选：C．
4．A
【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，化简，即得答案.
【详解】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，
当时，，因为在上单调递增且，
而在上单调递减，故在上单调递减，
则在上单调递增，
故由可得，即，
则，故，
故选：A
5．C
【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】AB选项，，所以AB选项错误.
C选项，，，
所以的图象关于点对称，C选项正确.
D选项，，所以D选项错误.
故选：C
6．B
【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案.
【详解】易知函数为增函数，且，
观察可知，，则的零点在区间内，
故.
故选：B
7．C
【分析】令，求出，再代入函数解析式即可.
【详解】对于函数，令，解得，
则，
所以的图像恒过点.
故选：C
8．A
【分析】依据题干给定的函数的单调性与定义域，逐项分析判断即可得解.
【详解】因为，当时，都有，
所以对应的在上单调递增，
对于A，指数函数在上单调递增，故A正确；
对于B，的定义域为，故B错误；
对于C，当时，在上单调递减，故C错误；
对于D，当时，二次函数在上单调递减，故D错误.
故选：A.
9．ABD
【分析】对于A，利用复合函数的“同增异减原则”即可求得；对于B，判断的符号，去掉绝对值，代入化简即得；对于C，要结合对数函数的图象理解，要使对数型函数的值域为R，须使真数能取遍一切正数，列出不等式组求解即得；对于D，分别判断绝对值内的对数式的符号，去绝对值，再结合的范围，利用对数函数单调性即可比较大小.
【详解】对于A项，由可得，取，因在定义域内为减函数，
而在区间上递增，在区间上递减，
根据同增异减原则可知：函数的单调递增区间是，故A项正确；
对于B项，因，，故由可得：，即得，则，故B项正确；
对于C项，要使的值域为R，须使能取遍一切正数.
① 当时，可以取遍一切正数，符合题意；
②当时，依题意，须使，解得：.
综上可知，故C项正确；
对于D项，当时，，，则，，
故，，
由可得：，则，即得：，故D项正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据换底公式以及对数的运算性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，故A正确，
对于B，而，故B错误，
对于C，若，则，故，显然不符合要求，故C错误，
对于D，，故D错误，
故选：BCD
11．ACD
【分析】根据分母不为0，即可求函数的定义域，判断A；首先分离常数，根据函数的特征和性质，即可判断BC；根据两个函数的对称性相同，可判断出两个函数图象交点的对称性，即可求解，并判断D.
【详解】A：要使函数有意义，则，即，∴的定义域为，所以选项A正确；
B：∵，
∴的图象关于点成中心对称，当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确；
C：由选项B知，当时，，∴在单调递减，,所以选项C正确；
D：∵，，∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，，所以选项D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：本题重点考察了函数（其中）的性质，首先要将函数分离常数，即可快速判断函数的对称中心和单调性.
12．
【分析】首先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的求解方法，即可求解.
【详解】由题得或.
函数在定义域的单调递增区间为，单调递减区间为，
又函数是减函数，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
13．
【分析】根据函数值可得，再由对数函数单调性解分式不等式可得结果.
【详解】由可得，可知；
即为，可得，
即，所以，
解得，即解集为.
故答案为：
14．
【分析】根据题意得到，再利用指对数运算法则即可得解.
【详解】依题意，得，
所以，则，
则，解得.
故答案为：.
15．（1）－1；（2）16
【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可；
（2）利用分数指数幂的运算性质求解即可.
【详解】（1）
；
（2）
.
16．(1)
(2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据函数为偶函数，得到，结合定义域关于原点对称，得到方程，求出实数的值；
（2）利用定义法求解函数的单调性步骤，取值，作差，判号，下结论.
【详解】（1）偶函数的定义域为，
有，解得，
且，即，
故，解得；
（2）单调递增，理由如下：
由（1）知，，定义域为R，
设，
则
，
易得，，，则，
即，单调递增；
17．(1)年产量200吨时，年利润为3840万元
(2)年产量40吨时，药品平均利润最大，年利润为1280万元
【分析】（1）设年利润为（万元），则，再由二次函数的性质计算可得；
（2）由药品平均利润为，利用基本不等式求出平均利润取最大值时的值，再代入（1）中解析式计算可得.
【详解】（1）设年利润为（万元），
则
，
所以当时，取最大值，
即年产量吨时，年利润为万元
（2）药品平均利润为
，
当且仅当，即时取等号，
此时，
即年产量吨时，药品平均利润最大，年利润为万元
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，从而得解；
（2）利用奇函数的性质，结合对称性即可得解；
（3）将不等式转化为恒成立问题，再利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
又当时，＝，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）得，当时，，
当时，，所以，
又，
所以在上的解析式为.
（3）因为当时，，
所以由，得，整理得，
令，根据指数函数单调性可得是减函数，
所以，所以，
故实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：
（1）若函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则在上单调递增；
（2）若函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，则在上单调递减；
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用二次函数的单调性求出在区间上的最值即可得解.
（2）由（1）求出，将不等式变形，分离参数，构造函数并求出其最大值即得.
【详解】（1）函数图象的对称轴为，显然函数在上单调递增，
因此，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此不等式，
令，由，得，则，
显然函数在上单调递增，当时，，
由不等式在上有解，得，
所以实数的取值范围是.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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