2024高一第二学期数学第二次拉练试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知向量与不平行，记，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．函数的零点属于区间（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．中，分别是内角的对边，若且，则的形状是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形
6．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
8．函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且．则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
10．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且也是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象关于直线对称
11．如图，，分别在线段，上，是线段的中点；是线段的中点，，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
12．函数的部分图象如图，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．在上单调递增 D．在上有2个零点
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分．
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为______．
14．设定义域为的函数则关于的函数的零点的个数为______．
15．已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为______．
16．函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．其中17题10分，18-22每题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）化简：；
（2）化简：
18．已知向量，，记函数
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值．
19．2013年9月7日，123 456 在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，（且）年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入．设到第（且）年年底，该项目的纯利润（纯利润累计收入累计维修保养费投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元．
（1）求实数的值．并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值．
20．在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
21．在中，是的中点，在边上，，与交于点，
（1）设，求的值；
（2）若，求的值．
22．已知是定义在上的奇函数，满足，且当，，时，有．
（1）判断函数的单调性； （2）解不等式：；
（3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
试题答案
1．D 2．B． 3．D
4．B 5D
【详解】如图所示，在边上分别取点，使，
以为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直线交于点，则是边的中点，，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形．
6．B【详解】设的周期为，因为，即，解得，由，解得，
即在区间上单调递减，因为，显然只能取0，所以且，解得．
7．C【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，因为点在角的终边上，所以．故选：C．
8．D【详解】由于是定义域为的奇函数，所以，又在上单调递增；且，
所以的大致图象如图所示．
由可得，，
由于在分母位置，所以，
当时，只需，由图象可知；
当时，只需，由图象可知；
综上，不等式的解集为．
9．BC【详解】对于A：因为，，所以，所以，故A错误；对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C正确：对于D：因为，且，所以在上的投影向量为，故D错误；
10．ACD【详解】因为是偶函数，所以，即，所以的图象关于直线对称．因为是偶函数，所以的图象关于轴对称．
所以，．因为在上单调递增；所以．即．A正确，B错误．因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，将的图象向左平移3个单位长度可得的图象，所以的图象关于直线对称，C正确．
令函数，则，即，所以函数的图象关于直线对称．D正确．
11．CD设，，因为是线段的中点，，由，可得，设，
则由平面向量基本定理可得，解得，又，，三点共线，
故可设，设，由为中点可知，，将代入可得，
即，C正确；
又，，
，设，则有，
即，解得，，故，D正确；故选：CD．
12．ABD【详解】由题意，，，又，，由五点法，，所以，最小正周期为，A正确；，B正确；时，，在此区间是递减，C错：结合选项B和周期知，D正确，
13．
14．7【详解】令，得或．作出的简图，，由图象得当或时，分别有3个和4个交点，故关于的函数的零点的个数为7．
15．8【详解】如图，
因为，为的中点，所以，因为，，三点共线，所以，
，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8．
16．【详解】．由．当时，；设，则，所以
；设时，则，所以，由，即或．由图象可得：，都有，故
17．（1）17；（2）
（1）．
（2）．
18．（1）；（2）．
解：（1）
则，
的取值范围为．
（2）因为为偶函数，
所以
因此当时
19．（1）8，第4年；
（2）到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元．
【详解】（1）依题意可得，，
已知，，（且）．令，解得．
，该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元．
（2）年平均利润为，令（且），则函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，．到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元．
20．（1）（2）
（1）因为，
所以根据正弦定理得，
因为，所以，即，
即．因为，所以．因为，所以．
（2）．因为，所以①．
因为，所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
21．（1）（2）
【详解】（1），
，；
（2）因为，，三点共线，不妨设，所以
再设，所以，所以，
所以，，
因为，
得，即．
22．（1）函数在上单调递增（2）（3）．
【详解】（1）为奇函数，所以，，
则由，得，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，综上，函数在上单调递增
（2）由（1）知函数为上的增函数，
则解得，故不等式的解集为
（3）因为，所以．若对所有恒成立，则成立，且，所以对恒成立，即对恒成立．令，则即得，即，解得，故实数的取值范围是．
