专题05 数列
数列的概念与简单表示方法
（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）
1．已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若，则是等比数列
（2024·浙江金华·校联考模拟预测）
2．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（ ）
A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列”
C．若是等差数列，则是“线性数列” D．若是等比数列，则是“线性数列”
等差数列
（2024·浙江台州·统考一模）
3．已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）
4．已知等差数列满足.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，且是等差数列，记是数列的前项和.对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.
（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）
5．已知等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列前项的乘积，若，求的最大值．
（2024·浙江温州·统考一模）
6．等差数列的前项和为，，.
(1)求；
(2)记为数列的前项和，若，且是以2为公差的等差数列，求数列的通项公式.
等比数列
（2023上·浙江杭州·高三统考期中）
7．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2024·浙江宁波·统考一模）
8．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A．的最小值为50 B．的最大值为50
C．的最小值为10 D．的最大值为10
（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）
9．已知是等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）
10．已知等比数列满足且，则的取值范围是 ．
（2024·浙江台州·统考一模）
11．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
数列求和
（2023上·浙江杭州·高三统考期中）
12．设数列的首项，前项和满足：．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列的公比为，数列满足：，．求．
（2024·浙江金华·校联考模拟预测）
13．设正项数列的前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．
（2024·浙江宁波·统考一模）
14．已知数列满足，且对任意正整数m，n都有
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断.
【详解】对于A项：，得：，
因为：，所以得：，
所以：为等差数列，故A项正确；
对于B项：，，所以：，，
不满足等差数列，故B项错误；
对于C项：，，所以：，故：，
数列为等比数列，故C项正确
对于D项：，得：，
因为：，所以：，即：，
所以：为等比数列，故D项正确.
故选：B.
2．ABD
【分析】
对A,B根据“线性数列”的定义进行判断，C，找特例，代入即可判断；D，结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即可.
【详解】对A，数列为等差数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，A正确；
对B，数列为等比数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，B正确；
对C，是等差数列，设，
则，若是“线性数列”，
则，则应有，
故不是“线性数列”，C错误；
对D，是等比数列，设首项为，公比为，
若时，，则，满足“线性数列”的定义；
若时，由，得，
，
累加的，
则，
经验证当时，满足，则，
若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，
则，
，
，
则，则，
则是“线性数列”，D正确.
故选：ABD
3．BCD
【分析】由为等差数列，先求出，由可判断选项A；对于选项B，分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断; 选项C，先得出，从而得出，，再分为奇数和偶数分别求的前项和；对于选项D，由，求出，从而可求出的前项的和.
【详解】由为等差数列，，公差为，则
当时，，则选项A不正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
故，所以选项B正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
所以， 故选项C正确.
所以
，所以选项D正确
故选：BCD
4．(1)或
(2)
【分析】
（1）设出公差，得到方程，求出公差，得到通项公式；
（2）法一：设，的公差为，代入题目条件变形后对照系数得到方程组，求出，得到，，利用放缩法和裂项相消求和得到，得到整数的最小值；
法二：记的公差为，由，，结合求出，进而得到，进而求出，进而得到，利用放缩法和裂项相消求和得到，得到整数的最小值.
【详解】（1）
设数列的公差为，则，得，
故或.
（2）法一：由为等差数列，可设，记的公差为，
故.
所以，显然，，
平方得，该式对任意成立，
故，解得.
故.
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整数的最小值为3.
法二：记的公差为，
则，，，
上式平方后消去可得，
因为是等差数列，所以，故，
将其代入中，得，
解得或，
当时，，解得，
故，
，故，
当时，，此时无意义，舍去，
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整数的最小值为3.
【点睛】
数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.
5．(1)或
(2)
【分析】（1）利用，和成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差，从而求解.
（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.
【详解】（1）设的公差为，由，得：；
由成等比数列，得：，即：，整理得：.
由，解得：或.
所以：的通项公式为或.
（2）因为，所以：，
得：当时，；当时，.
从而，
又因为：，所以：的最大值为.
故的最大值为.
6．(1)
(2)
【分析】
（1）根据等差数列基本量的计算即可得公差，进而可求解，
（2）方法一根据等差数列的性质列方程即可求解，进而可求解，进而根据的关系即可求解，方法二，利用待定系数法，结合等差数列性质的运算即可得，即可利用根据的关系即可求解.
【详解】（1）
解一：设等差数列的公差为，则，
由可得，即，
解得，，故.
解二：由得，故，则
故，则.
（2）
解一：由题意知，
则，移项平方得，则
可得是首项为3，公差为2的等差数列，则，
可得，则，
当时，，故
，
故.
解二：由题意可设（是常数），
则，平方相减可得，
则，可得，
则，
当时，，故
，
故.
7．C
【分析】
应用等比中项的性质，由为等比数列，解出值，即可判断.
【详解】依题，“为等比数列”，所以，
得，化简得，
解得，则“”是“为等比数列”的充要条件.
故选：C
8．C
【分析】
写出的表达式，利用基本不等式即可得出结论.
【详解】由题意，
在等比数列中，，
设公比为，则，
∴，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值为10，
故选：C.
9．C
【分析】
由是等比数列的前项和得成等比数列，结合，列方程求解即可．
【详解】因为是等比数列，是等比数列的前项和，
所以成等比数列，且，
所以，
又因为，，
所以，即，解得或，
因为，
所以，
故选：C．
10．
【分析】
利用等比数列，将各项均用表示，然后构造函数，分类讨论和两种情况下的单调性，进而确定为使方程有解，的取值范围.
【详解】因为为等比数列，所以.
令，
则.
因为，所以.
当时，，此时恒成立，在上单调递增，
，所以一定有解，即，使得成立.
当时，，则，此时单调递增；，则，此时单调递减.
为使有解，则，
整理得，解得.
又，所以.
综上，的取值范围是.
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】
（1）根据等比数列的定义和求和公式求，进而可得结果；
（2）由（1）可得：，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）
设的公比为，
因为，即，
且，可得，解得或（舍去）．
又因为，解得，
所以.
（2）
由（1）可得：，
所以
，
所以.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据等比数列定义证明等比数列即可；
（2）分项数为奇数和偶数，分别应用裂项相消求和即可.
【详解】（1）
由；令，得，
故，；
因为，其中，，．
所以当时，，
两式相减得：，
整理得：，．
综上，数列是首项为1，公比为的等比数列．
（2）
由题意得：，，
，，
故．
当为偶数时，
当为奇数时，
综上：
13．(1)
(2)
【分析】（1） 应用得出等差数列再求数列通项公式即可;
（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化为，
因为恒成立，所以．
14．(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，用累加法即可求出数列的通项公式.
（2）由题意分是偶数和奇数两种情况讨论，当为偶数时，可用分组求和以及等差数列前项和公式，当为奇数时，利用n为偶数的结论即可求解.
【详解】（1）由对任意整数均有，取，得，
当时，，
当时，，符合上式，所以.
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，若，则，
若，则，
且当时，满足.
综上所述：.
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