（理科专用）-2024年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，其中a、b为实数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知流程图如图所示，该程序运行后，则输出的值为（ ）
A．28 B．40 C．54 D．70
4．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．以双曲线的一个焦点为圆心，以为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
10．将函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，则函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为
A． B． C． D．
11．在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，的平分线与x轴交于点，作交于点H，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数是偶函数，则常数的值为 ．
14．已知实数x，y满足，则z＝3x－2y＋1的最大值为 ．
15.在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为 ．（写出一个符合题意的答案即可）
15．在棱长为6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为 ．
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
18．（本小题满分12分）如图，是正方形，直线底面，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
19．（本小题满分12分）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万 65 35
购买时补贴不大于1.5万 45 55
(1)能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？
(2)若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求的分布列与数学期望.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．
21．（本小题满分12分）已知函数,.
(1)求f(x)的单调区间与零点；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 （为参数）.
(1)写出曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线交于两点，定点，求的最小值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（本小题满分12分）设函数，其中.
(1)当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；
(2)若，且不等式的解集是，求的值.
（理科专用）-2024年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知集合A中元素表示被3除余1的自然数，又，
则，故选A
2．设，其中a、b为实数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为a，，，所以，，解得，．
故选：C
3．已知流程图如图所示，该程序运行后，则输出的值为（ ）
A．28 B．40 C．54 D．70
【答案】B
【解析】因为，，第一次运行，；
第二次运行，；
第三次运行，；
第四次运行，；
第五次运行，.终止运行，
所以输出的值为40，故选B.
4．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴（提示：见模长，取平方），
∴，∴，∴．
∵，∴，∴，，
∴，故选C．
5．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
【答案】C
【解析】因为，代入得：，
即，解得，故，故选C.
6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A，且，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件B，且由题可知，，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为：.故B，C，D错误.
故选：A.
7．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
或，
若，则，这与矛盾，故，
所以或，
故“是“”的必要不充分条件.
故选：C.
8．以双曲线的一个焦点为圆心，以为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线可得，
∵双曲线的焦点到渐近线的距离，
故所得弦长.
故选：D.
9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
【答案】C
【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有种可能.
故选：C.
10．将函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，则函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得函数，因为,
所以，由，得,解得，或，
所以所求横坐标之和为，故选C.
11．在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以为等边三角形，，
在中，利用余弦定理得：，
解得：，
同理可得：，
因为，
由勾股定理逆定理可得，，
所以，，
取的中点，连接，则，
因为，所以，
由勾股定理得：，
故，
所以四棱锥的表面积.
故选：A
12．已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，的平分线与x轴交于点，作交于点H，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】如图，根据题意，有，且．
由角平分线定理和椭圆的定义，有
因此是以为斜边的直角三角形，
进而可得，因此．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数是偶函数，则常数的值为 ．
【答案】
【解析】 易知函数定义域为
函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 .
14．已知实数x，y满足，则z＝3x－2y＋1的最大值为 ．
【答案】
【解析】画出线性约束条件所表示的可行域，如图，
由，得，由，得，
由图可知，目标函数所代表的直线过点时，的值最大，且.
15.在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为 ．（写出一个符合题意的答案即可）
【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可）
【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得周长的取值范围.
【详解】由余弦定理可得，
因为角A为锐角，则，可得，
所以的周长.
15．在棱长为6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为 ．
【答案】
【解析】取的中点，的中心，
则，，．
因为，
所以，．
设球面与平面形成的交线上一点，
则，即，所以．
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
如图2：设此圆与的边交于，与边 交于，于，于，
由得同理
又 所以
所以球面与底面形成的交线是三段圆心角为的圆弧，
所以结合对称性可知球面与该四面体的表面形成的交线长度为．
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
【解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以不是“等比源数列”．
（2）不是“等比源数列”．
假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，
即中存在的，，三项成等比数列，
也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“等比源数列”．
18．（本小题满分12分）如图，是正方形，直线底面，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
【解】（1）连接，交于，连接
四边形为正方形 为中点，又为中点
平面，平面 平面
（2）平面 直线与平面所成角即为
设，则
19．（本小题满分12分）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万 65 35
购买时补贴不大于1.5万 45 55
(1)能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？
(2)若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求的分布列与数学期望.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解】（1）2×2列联表如下：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车 合计
大于1.5万 65 35 100
不大于1.5万 45 55 100
合计 110 90 200
可得，
所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.
（2）依题意，分层随机抽样的抽样比为，
则有，，
所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故（人），
所以的数学期望为人.
20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．
【解】（1）解：由题意得抛物线的焦点为，
在方程中，令，可得，
所以弦长为，即，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）解：由（1）知抛物线的方程为，
设，直线AB的斜率为，
因为线段的中点在直线上，
由可知直线OM的方程为，
设，所以，所以，
又，所以，即得，
设直线的方程为，即，
联立方程组，所以，
所以，即，
由根据与系数的关系得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以
，
记，因为，所以，
所以，
令，可得，
令，可得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即有最大值为.
21．（本小题满分12分）已知函数,.
(1)求f(x)的单调区间与零点；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【解】（1）因为当时，．
所以f(x)在[0，+∞）单调递增，
所以当时，
所以f(x)有唯一零点
（2）令
①若，则
先证明当时，
事实上，令,
因为当时，，所以u(x)在（0，+∞）单调递增，
所以当时，，所以．
由得．
因为当时，，v(x)单调递增
当x时，单调递减
所以，所以．
因此当时，
令
因为(x)的图象是开口向下的抛物线，所以存在，使得，从而
，不合题意．
②若，则
令
（i）当时，
（ii）当时，
所以h(x)在[0，1）单调递增，所以当时，
由（i）（ii）知当时，，满足题意
综上，a的取值范围为（—∞，]．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 （为参数）.
(1)写出曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线交于两点，定点，求的最小值.
【解】（1）将代入的极坐标方程中,
得曲线的直角坐标方程为，即.
（2）点在直线上，将直线的参数方程（为参数）代入曲线方程,
得，整理得,
满足 ,
设点对应该的参数分别为，则，
由参数的几何意义不妨令,
,
当，即时，.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（本小题满分12分）设函数，其中.
(1)当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；
(2)若，且不等式的解集是，求的值.
【解】（1）解：根据题意，当时，，
所以，，设；
直线与交于点，与直线交于点，
且，
点到直线的距离，
所以，要求图形的面积；
（2）解：当时，，，即，解可得，此时有，
当时，，，即，解可得，
又由，则，此时有，
综合可得：不等式的解集为，
因为不等式的解集是
所以，，解可得；
所以，.
