2023-2024学年人教版八年级数学下学期第一次月考卷
（本试卷共25题，测试时间100分钟，测试范围：二次根式、勾股定理）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．二次根式有意义的条件是
A． B． C． D．
2．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
A． B． C． D．
3．下列命题中是假命题的是
A．中，若，则是直角三角形
B．中，若，则是直角三角形
C．中，若，则是直角三角形
D．中，若，则是直角三角形
4．若是整数，则正整数的最小值是
A．3 B．7 C．9 D．63
5．下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．如果，是2022的两个平方根，那么的值是
A．0 B．2022 C．4044 D．
7．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是
A． B． C．14 D．24
8．如图，在中，，，，是斜边的高，则的长为
A． B． C．5 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
9．如图已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ．
10．如图，点表示的实数是 ．
11．如图，在锐角中，，，，直线交边于点，点、分别在线段、上运动，则的最小值是 ．
12．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积和为 ．
13． ．
14．在中，，，，则 ．
15．如图，中，，将沿翻折后，点落在边上的点处．如果，那么的度数为 ．
16．在一个长、宽、高的房间里放进一根竹竿，竹竿最长可以是 ．
三、解答题（共9小题，满分60分）
17．计算：
（1）； （2）；
（3）．
18．（1）已知，为实数，且，求，的值．
（2）已知实数满足，求的值．
19．已知，求的值．
20．已知，，为三角形的三边长，化简：．
21．某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子米）靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了1米到处米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）．
22．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为，货船沿南偏东方向航行，2小时后，货船到达处，客船到达处，此时两船相距50海里．
（1）求两船速度分别是多少？
（2）求客船航行方向．
23．如图某船在海上航行，在处观测到灯塔在北偏东方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达处，观测到灯塔在北偏东方向上，继续向东航行到处，观测到灯塔在北偏西方向上，当该船到达处时恰与灯塔相距60海里．
（1）判断的形状；
（2）求该船从处航行至处所用的时间．
24．如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从点爬行到点，求它走的最短路径是多少？
25．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
；
；；
；；
；；
（1）推算出 ．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第 个三角形．
（3）用含是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年人教版八年级数学下学期第一次月考卷
（本试卷共25题，测试时间100分钟，测试范围：二次根式、勾股定理）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．二次根式有意义的条件是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出即可．
【解答】解：要使有意义，必须，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须．
2．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
A． B． C． D．
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是（米．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
3．下列命题中是假命题的是
A．中，若，则是直角三角形
B．中，若，则是直角三角形
C．中，若，则是直角三角形
D．中，若，则是直角三角形
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形．
【解答】解：、，所以，所以是直角三角形，故本选项不符合题意．
、若，所以，所以是直角三角形，故本选项不符合题意．
、若，最大角为，故本选项符合题意．
、若，则是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．
4．若是整数，则正整数的最小值是
A．3 B．7 C．9 D．63
【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为7．
【解答】解：，且是整数；
是整数，即是完全平方数；
的最小正整数值为7．
故选：．
【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
5．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质对、、进行判断；根据立方根的定义对进行判断．
【解答】解：、，所以选项不符合题意；
、原式，所以选项符合题意；
、原式，所以选项不符合题意；
、原式，所以选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．也考查了立方根．
6．如果，是2022的两个平方根，那么的值是
A．0 B．2022 C．4044 D．
【分析】根据，是2022的两个平方根，可得：，，据此求出的值即可．
【解答】解：，是2022的两个平方根，
，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的运算，以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
7．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是
A． B． C．14 D．24
【分析】由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可．
【解答】解：由勾股定理得，，
由图形可知，阴影部分面积
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，圆的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
8．如图，在中，，，，是斜边的高，则的长为
A． B． C．5 D．10
【分析】先根据勾股定理求出，再根据等面积即可求解．
【解答】解：在中，，，，
，
的面积为，
．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
9．如图已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ．
【分析】要求的长，应先设的长为，由将折叠使点恰好落在边上的点可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知、的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出的值，即求出了的长．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
根据题意得：，
，，，
设 ，则，
在中由勾股定理得：，
即，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
即，
，
，
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
10．如图，点表示的实数是 ．
【分析】根据已知正方形的对角线的长为，再根据点表示的实数与1的距离为，从而得出点所表示的数．
【解答】解：设点所表示的实数为，
边长为1的正方形的对角线的长为，
，
．
点在数轴上表示的实数是．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数和数轴，解题的关键是明确实数和数轴的关系．
11．如图，在锐角中，，，，直线交边于点，点、分别在线段、上运动，则的最小值是 2 ．
【分析】作点关于的对称点，则点在上运动，连接，则，所以，当时，最短，据此解答即可．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，
，，
点在上运动，
连接，则，
，
当时，最短，
，
即的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
12．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积和为 49 ．
【分析】如图，根据正方形的面积公式等于边长的平方，四边形的面积是，四边形的面积是，、是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有；同理，四边形的面积是，四边形的面积是，、是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有；根据正方形的对边相等，、就是下面大直角三角形的直角边，根据勾股定理，得到，是最大的正方形边长为，所以正方形、、、面积之和为平方厘米．
【解答】解：
（平方厘米）
答：正方形、、、面积之和为49平方厘米．
故答案为：49．
【点评】此题考查勾股定理问题，灵活应用勾股定理以及正方形的性质来解决问题是关键．
13． ．
【分析】对各项的分母进行有理化运算，即可得所求的结果．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．在中，，，，则 7.5 ．
【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设，则，
在中，，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
15．如图，中，，将沿翻折后，点落在边上的点处．如果，那么的度数为 ．
【分析】首先求得，根据折叠的性质可得，在△中利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：，
又，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．
16．在一个长、宽、高的房间里放进一根竹竿，竹竿最长可以是 ．
【分析】如答图所示：首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可．
【解答】解：侧面对角线，
，
，
，
这根竹竿最长为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
三、解答题（共8小题，满分60分）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）利用二次根式的混合运算法则、负整数指数幂及零次幂即可求解；
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂及零次幂：熟练掌握二次根式的混合运算法则、负整数指数幂及零次幂是解题的关键．
18．（1）已知，为实数，且，求，的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可．
【解答】解：（1）和均有意义，
且，
即且，
，
当时，，
，
答：，；
（2）有意义，
，
，
因此，可变为，
即，
，
即，
答：的值是2024．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键．
19．已知，求的值．
【分析】首先化简，再运用完全平方公式计算，然后代入计算．
【解答】解：，
，
原式．
【点评】掌握分母有理化的方法，熟练运用完全平方公式．
20．已知，，为三角形的三边长，化简：．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再利用三角形的三边关系判断、、的正负，最后加减．
【解答】解：
，
，，为三角形的三边长，
，，．
，，．
原式
．
【点评】本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的性质和三角形的三边关系是解决本题的关键．
21．某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子米）靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了1米到处米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）．
【分析】直接利用勾股定理得出，的长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：米，米，米，
在中，（米，
则（米，
在中，（米，
故米，
答：宣传牌的高度为米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
22．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为，货船沿南偏东方向航行，2小时后，货船到达处，客船到达处，此时两船相距50海里．
（1）求两船速度分别是多少？
（2）求客船航行方向．
【分析】（1）设两船的速度分别是海里小时和海里小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；
（2）依据，可得是直角三角形，且，再根据货船沿南偏东方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东方向．
【解答】解：（1）设客船与货船的速度分别是海里小时和海里小时，依题意得，
．
解得，
，，
客船与货船的速度分别是20海里小时和15海里小时；
（2）由题可得，，，，
，
是直角三角形，且，
又货船沿南偏东方向航行，
客船航行的方向为北偏东方向．
【点评】此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
23．如图某船在海上航行，在处观测到灯塔在北偏东方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达处，观测到灯塔在北偏东方向上，继续向东航行到处，观测到灯塔在北偏西方向上，当该船到达处时恰与灯塔相距60海里．
（1）判断的形状；
（2）求该船从处航行至处所用的时间．
【分析】（1）根据题意可得，即可知是等边三角形；
（2）由（1）可求得，的长，然后易证得是等腰三角形，继而求得的长，则可求得该船从处航行至处所用的时间．
【解答】解：（1）根据题意得：，，
，
，
是等边三角形；
（2）是等边三角形，
海里，
，
，
，
海里，
海里，
该船从处航行至处所用的时间为：（小时）．
【点评】此题考查了勾股定理的应用和方向角问题．根据等边三角形的判定和性质解答是解此题的关键．
24．如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从点爬行到点，求它走的最短路径是多少？
【分析】连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时长，再找出最短的即可．
【解答】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点爬到点 处，在侧面展开图上，
则在中，，，，
由勾股定理知：，
若小虫在正面和侧面上沿直线从点爬到点 处，在侧面展开图上，
则在中，，，，
由勾股定理知：，
如图3，
同法可求，
，
小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点爬到点 处，最短路径为．
【点评】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．
25．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
；
；；
；；
；；
（1）推算出 ．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第 个三角形．
（3）用含是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出的值．
【分析】（1）根据题中给出的规律即可得出结论；
（2）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；
（3）利用已知可得，注意观察数据的变化；
（4）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【解答】解：（1），
．
故答案为：；
（2）若一个三角形的面积是，
，
，
它是第20个三角形．
故答案为：20；
（3）结合已知数据，可得：；；
（4）
【点评】本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用，涉及到数据的规律性，综合性较强，希望同学们能认真的分析总结数据的特点．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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