2024年广东省统一命题初中学业水平考试数学三模仿真试卷八套
2024年广东省数学三模专用卷（08）
满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下面算法正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据有理数的加减法则计算即可．
A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
3. 纳米是非常小的长度单位，，把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数．
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
4. 如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
【答案】C
【解析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．
∵AB平分∠CAD，
∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，
又∵DF∥HG，
∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°
5. 将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
，
两边同乘去分母，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
6. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
【答案】D
【解析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可．
甲班视力值分别为：；
从小到大排列为：；中位数为，
平均数为；极差为
方差为；
乙班视力值分别为：；
从小到大排列为：，中位数为
平均数为；极差为
方差为；
甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键．
7. 在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直接由概率公式求解即可．
单词中共有10个字母，
其中出现了1次，
故任意选择一个字母恰好是字母“”的概率为：．
故选：A．
【点睛】考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键．
8．不等式组的解集是（ ）
A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
，
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞0，
则不等式组的解集为0＜x≤2
9. 如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【详解】如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选Ｃ．
【点睛】考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
10.如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：__________．
【答案】##
【解析】利用完全平方公式进行因式分解即可．
；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键．
12. 计算的结果为________．
【答案】1
【解析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
13．《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A．v B．v＝106t C．vt2 D．v＝106t2
【答案】A
【解析】按照运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，列出等式，然后变形得出v关于t 的函数，观察选项可得答案．
∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，
∴106＝vt，
∴v
14. 《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：___________．
【答案】
【解析】设有人，物品价值为元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答．
【详解】设有人，物品价值为元，
由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键．
15. 如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】根据等腰三角形三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．
【详解】∵，，
∴，
在点P移动过程中，不一定，
相矛盾，
故①不正确；
延长交于点H,
则为矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正确，
，
即当的最小值，作B、D关于的对称点,
把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，,
这时，
即的最小值是20，
故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16.（1）计算：；
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】【分析】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可；
（2）将两个点代入解析式求解即可．
【详解】（1）
；
（2）∵一次函数的图象经过点与点，
∴代入解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
17. 为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
【答案】小道进出口的宽度应为1米．
【解析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为608m2列出方程求解即可．
设小道进出口的宽度为x米，依题意得
（34﹣2x）（20﹣x）＝608，
整理，得x2﹣37x+36＝0．
解得x1＝1，x2＝36，
∵36＞20（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
18. 湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）
【答案】72cm
【解析】【分析】过点作于点，解，分别求得，进而求得，根据黄金比求得，求得的长，即可求解．
【详解】如图，过点作于点
，，始终平分，
，
解得
答：最少需要准备长的伞柄
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且．
（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【详解】（1）如图所示：
（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段关于直线对称的线段；
（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段即为所求；
（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．
【详解】（1）如图所示，线段即为所求；
（2）如图所示，线段即为所求；
（3）如图所示，点即为所求
如图所示，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高．
【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲．
【解析】【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数；
②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数；
③根据样本估计总体的方法求解即可；
④根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】①（人），
调查总人数人；
故答案为：100；
②（人）
∴娱乐的人数为30（人）
∴补充条形统计图如下：
③（人）
∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高；
故答案为：乙；甲．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22.综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明；
（2）①过点O作于点F，延长交于点G，先证明得到，由与相切，得到，继而得到，从而证明是的角平分线，即，，求得，利用直角三角形两锐角互余得到，从而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性质得出；
②先证明四边形是正方形，得到，再利用是的中位线得到，从而得到，，再利用平行线的性质得到，从而证明是等腰直角三角形，，设，求得，在中，即，解得，从而得到的面积为．
【详解】（1）∵点关于的对称点为，
∴点E是的中点，，
又∵四边形是矩形，
∴O是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴，
∴
（2）①过点O作于点F，延长交于点G，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，．
∵，，，
∴，
∴．
∵与相切，为半径，，
∴，
∴
又∵即，，
∴是的角平分线，即，
设，则，
又∵
∴
∴
又∵，即是直角三角形，
∴，即
解得：，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
②过点O作于点H，
∵与相切，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵是的中位线，
∴
∴
∴
又∵，
∴
又∵，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，，
设，则
∴
在中，，
即
∴
∴的面积为：
【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
23.如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．
（1）【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析；135
（2）；理由见解析
（3）或；理由见解析
【解析】【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出；
（2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论；
（3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可．
【详解】（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案：135．
（2）；理由如下：
连接，如图所示：
根据旋转可知，，
∵，
∴、P、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
即；
当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：
根据旋转可知，，
∵，
∴、B、P、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年广东省统一命题初中学业水平考试数学三模仿真试卷八套
2024年广东省数学三模专用卷（08）
满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下面算法正确的是( )
A. B.
C. D.
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3. 纳米是非常小的长度单位，，把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
5. 将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
6. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
7. 在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是（ ）
A. B. C. D.
8．不等式组的解集是（ ）
A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2
9. 如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数
为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：__________．
12. 计算的结果为________．
13．《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A．v B．v＝106t C．vt2 D．v＝106t2
14. 《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：___________．
15. 如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16.（1）计算：；
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．
17. 为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
18. 湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且．
（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段关于直线对称的线段；
（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
21. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22.综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
23.如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．
（1）【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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