专题06 带电粒子（带电体）在有界匀强磁场中的运动
1.带电粒子在磁场中的运动问题是高考的重点和热点，这部分的计算类题目覆盖的内容多，物理过程多，且情景复杂，综合性强，常作为理综试卷的压轴题．
2.高考对本专题考查的重点有以下几个方面：带电粒子在各种边界磁场中的匀速圆周运动问题以及常见的动态圆模型等
题型一、以直线单边界为载体考查粒子的运动
1.粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角.粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角.(如图，θ1＝θ2＝θ3)
2.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
题型二、借助情景作图能力考查带电粒子在两个相邻匀强磁场中运动问题
解决带电粒子在两个相邻匀强磁场中运动的一般思路：
(1)根据题中所给的条件，分别画出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的轨迹。
(2)根据画出的轨迹，找出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的圆心和半径。
(3)适当添加辅助线，运用数学方法计算出粒子在两磁场中的轨迹半径(有时候还要找出圆心角)。
(4)结合粒子运动的半径公式r＝(或周期公式T＝)即可得出所求的物理量。
以圆形边界为载体考查粒子的运动
题型三、圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图所示．
(2)不沿径向射入时，如图所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
一．选择题（共1小题）
1．（2024 重庆模拟）地磁场对宇宙高能粒子有偏转的作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图，为地球球心、为地球半径，地磁场只分布在半径为和的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为。电荷量均为。不计粒子的重力及相互作用力。则
A．粒子无论速率多大均无法到达右侧地面
B．若粒子速率为，正对着处入射的粒子恰好可以到达地面
C．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可到达地面
D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰能覆盖右侧地面一半的区域
【答案】
【解答】解：．粒子在磁场中做匀速圆周运动，若粒子的速率为，根据洛伦兹力提供向心力得：
解得粒子运动半径为
若粒子正对着处入射，且恰好可以到达地面，其轨迹如下图所示，
设该轨迹半径为，由几何关系可得：
解得：，故错误；
．若粒子的速率为，同理可得粒子运动半径为
由选项分析可知，若粒子速率等于时，入射到磁场的粒子均不可以到达地面，所以若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均不可以到达地面，故错误；
．若粒子速率为，同理可得粒子运动半径为
此时对于由最下端点入射的粒子，其轨迹圆心角为，如下图所示，
因，故可知由最下端点入射的粒子恰好到达地面的最右侧的点，而在最下端的以上入射的粒子的轨迹与右侧地面的交点均在点下方，正对圆心入射的粒子恰好到达地面的最下端点，故入射到磁场的粒子恰能覆盖右侧地面一半的区域，即圆弧部分，故正确；
．由选项的结论可知，粒子可以到达右侧地面，故错误。
故选：。
二．多选题（共3小题）
2．（2024 乌鲁木齐二模）如图所示为有一小孔的绝缘圆筒的横截面，内圆的半径为，外圆圆筒的半径为。内、外圆间环形区域内有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为、带电量为的带电粒子以初速度大小从小孔沿半径方向射入筒内，粒子在筒内运动过程中，每次与筒壁碰撞后均以原速率弹回，且碰撞过程中粒子的电荷量不变。已知粒子从小孔射出前始终在环形磁场区域内运动，不计粒子重力，忽略小孔的尺寸，。则
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在磁场中运动的半径为
C．粒子在时间内能够从小孔射出
D．粒子在时间内不能从小孔射出
【答案】
【解答】解：、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：
解得粒子在磁场中运动的半径为：，故正确，错误；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子与筒壁碰撞后速度大小不变，方向反向，运动轨迹示意图如下图所示。
由几何关系得：，可得，则，由已知可得：
轨迹的圆心与圆筒的圆心之间的距离为，可见轨迹圆与内圆恰好相切。
可得在外圆圆筒上相邻两个碰撞位置之间的圆弧所对的圆心角等于，因，故粒子与圆筒碰撞4次后从小孔射出（共5段圆弧轨迹）。
粒子在磁场中运动的周期：，
粒子运动的每段圆弧轨迹的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间为：
故粒子在时间内能够从小孔射出，故正确，错误。
故选：。
3．（2024 辽阳一模）如图所示，圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子由点沿平行于直径的方向射入磁场，射入时粒子运动的速率为，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．点到的距离为
C．粒子在磁场中运动的位移大小为
D．粒子在磁场中运动的时间为
【答案】
【解答】解：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子运动的轨道半径为，根据牛顿第二定律有
代入
得，故错误；
根据半径，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
由上图可知，所以△是等边三角形，故，点到的距离为，故正确；
粒子在磁场中运动的位移大小为，故正确；
粒子在磁场中做圆周运动的周期公式是，带电粒子在磁场中运动对应的圆心角为，故运动时间，故错误。
故选：。
4．（2024 碑林区校级模拟）2023年7月5日，中核集团正式签约承建全球首个全高温超导核聚变实验装置，彰显了我国在此领域技术水平居国际前列。在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示为核聚变中磁约束装置的简化图，圆环状匀强磁场区域的内半径为，外半径为，磁感应强度大小为，方向垂直于环面，中空区域内带电粒子的质量为，电荷量为，具有各个方向的速度。下列说法正确的是
A．要使所有带电粒子约束在半径为的区域内，则带电粒子的最大速度为
B．从内环边缘相切射出的带电粒子，仍在磁场区域运动的最大速度为
C．要使以大小为的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为的区域，
D．要使以大小为的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为的区域，
【答案】
【解答】解：带电粒子的速度越大，在磁场中圆周运动的半径就越大，要使带电粒子约束在半径为的区域内，临界轨迹如图所示
根据几何关系，可得带电粒子圆周运动的最大半径为
根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有
联立解得带电粒子的最大速度为
，故正确；
要使以大小为的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为的区域，临界状态如图所示，设临界状态圆周运动半径为，则
根据几何关系可得
根据选项分析可知磁感应强度越大则半径越小，有
联立解得
所以要使以大小为的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为的区域，须符合
故错误，正确。
故选：。
三．解答题（共7小题）
5．（2024 五华区校级模拟）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一带负电的粒子质量为（不计重力），以速度从点沿直径方向射入磁场，从点射出磁场，与成。
（1）现将该粒子的速度变为，仍从点沿直径方向射入磁场，求此时粒子在磁场中的运动时间；
（2）如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小不变的条件下，可用下面两种方式来实现：
①粒子的入射点不变，改变粒子的入射方向，让粒子的入射方向与方向成角，求角的正弦值；
②将粒子的入射点沿圆弧向上平移一段距离，沿平行于方向射入，求。
【答案】（1）此时粒子在磁场中的运动时间为；
（2）①角的正弦值为；
②平移距离为。
【解答】解：（1）粒子在磁场中只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，当粒子以速度沿直径方向射入磁场时，轨迹如图1所示。
由洛伦兹力提供向心力得：
解得运动半径为：
根据几何关系可知：，可得：
当粒子以速度为射入时，运动半径为：
设第二次射入时的圆心角为（见图，根据几何关系可知：
，解得：
则第二次运动的时间为（由运动弧长计算）
（2）①、当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子轨迹弧长最长，轨迹圆心角最大，速度偏转的角度最大，如图2所示。
根据几何关系可知：
解得：
②、同理，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大，如图3所示。
根据几何关系可知，图3中角满足：
所求平移距离为：
解得：
答：（1）此时粒子在磁场中的运动时间为；
（2）①角的正弦值为；
②平移距离为。
6．（2024 重庆模拟）如图所示，xOy平面被一条平行于x轴的直线MN分为匀强磁场区域和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外。比荷为的带正电粒子A，从坐标为的P点，以大小为v0、方向与x轴正方向成60°角的速度发射，能被位于的粒子收集器Q收集，已知该过程中粒子做匀速圆周运动的半径为a，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度的大小。
（2）求直线MN到x轴的距离。
（3）若粒子A从x轴某位置以大小为2v0、方向与x轴的正方向成角的速度发射后，依然能被收集器Q收集，求该粒子发射位置的横坐标与θ的关系。
【答案】（1）磁感应强度的大小为。
（2）直线MN到x轴的距离为。
（3）该粒子发射位置的横坐标与θ的关系为x＝，。
【解答】解：（1）已知该过程中粒子做匀速圆周运动的半径为a，由洛伦兹力提供向心力，则有：
，
解得：
（2）粒子的运动轨迹如图1所示，直线MN到x轴的距离为：
h＝CO＝AO﹣CO＝a tan60°﹣a tan60° sin60°＝
（3）粒子A在磁场中的线速度为2v0，同理：
解得运动半径为：R＝2a
令粒子由横坐标为x的F点入射，轨迹图如图2所示，粒子运动轨迹关于FQ的中垂线对称。
由几何关系可得：FQ＝＝2（+Rsinθ）
解得：x＝，
答：（1）磁感应强度的大小为。
（2）直线MN到x轴的距离为。
（3）该粒子发射位置的横坐标与θ的关系为x＝，。
7．（2024 天津模拟）如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小。在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在该平面内有一个质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度沿轴负方向射出，点的坐标为，粒子穿过轴后恰好不能从轴射出磁场，不考虑粒子的重力。求：
（1）粒子第一次穿过轴时的速度的大小和方向；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）粒子从点射出到第二次穿过轴所用的时间。
【答案】（1）粒子第一次穿过轴时的速度的大小为，方向：与的夹角为指向右下方；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小为；
（3）粒子从点射出到第二次穿过轴所用的时间为。
【解答】解：（1）如图所示
粒子在电场中做类平抛运动，沿轴负方向做匀速直线运动，有
沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度
沿轴正方向的速度
联立解得
射出磁场时的速度
设射出电场时粒子的速度方向与初速度方向的夹角为，根据类平抛运动的推论得
则
（2）粒子第一次穿过轴时，沿轴正方向的位移
粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好不从轴射出磁场时，轨迹与轴相切，设粒子轨迹半径为，根据几何关系得
解得
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
在磁场中运动时间
粒子从点射出到第二次穿过轴所用时间
代入数据得
答：（1）粒子第一次穿过轴时的速度的大小为，方向：与的夹角为指向右下方；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小为；
（3）粒子从点射出到第二次穿过轴所用的时间为。
8．（2024 佛山一模）很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒子进行约束。假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为，圆的半径为。正方形的中心与圆的圆心同在点，圆心与圆周边沿的电势差为。圆心处有一粒子源，向外释放出质量为，带电量为的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计。求：
（1）粒子离开电场时的速度大小；
（2）若沿垂直于正方形边界的方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度多大？该粒子在磁场中运动时离点的最大距离多大？
【答案】（1）粒子离开电场时的速度大小为；
（2）若沿垂直于正方形边界的方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度为；该粒子在磁场中运动时离点的最大距离为。
【解答】解：（1）对粒子从点到离开电场列动能定理
解得
；
（2）在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
当粒子恰好飞不出磁场，轨迹与边界相切，如图所示
由几何关系可知
联立解得
由几何关系该粒子在磁场中运动时离点的最大距离为，即
。
答：（1）粒子离开电场时的速度大小为；
（2）若沿垂直于正方形边界的方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度为；该粒子在磁场中运动时离点的最大距离为。
9．（2024 厦门模拟）如图所示，直角坐标系平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿轴正方向的匀强电场，、大小均未知。质量为、电荷量为的粒子从轴负半轴点与轴正方向成射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直轴进入磁场，最后从点与轴正方向成射出磁场，不计粒子重力。
（1）求粒子进入电场时的速度大小；
（2）求磁感应强度的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力为已知常量），粒子恰好从点（图中未标出）垂直轴射出磁场，求点的坐标；
（4）在第（3）问的情况下，求粒子从点运动到点的轨迹长度。
【答案】（1）粒子进入电场时的速度大小为；
（2）磁感应强度的大小为磁感应强度的大小；
（3）点的坐标为；
（4）在第（3）问的情况下，粒子从点运动到点的轨迹长度为。
【解答】解：（1）粒子在电场的运动可看成逆向的类平抛运动，设粒子进入电场的速度为，根据几何关系有
解得
；
（2）粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
根据几何知识有
根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有
联立解得
；
（3）对粒子受力分析可知，速度的轴分量会产生轴的阻力与轴负方向的洛伦兹力；速度的轴分量会产生轴的阻力与轴正向的洛伦兹力，在轴上，取向右为正方向，根据动量定理有
△△
即
其中
联立解得
故点坐标为；
（4）同理在轴上，取向下为正方向，根据动量定理有
△△
即
联立解得
切线方向，阻力使得粒子速度减小，在切线方向有
△△
即
联立解得轨迹长
。
答：（1）粒子进入电场时的速度大小为；
（2）磁感应强度的大小为磁感应强度的大小；
（3）点的坐标为；
（4）在第（3）问的情况下，粒子从点运动到点的轨迹长度为。
10．（2024 河南模拟）利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度为、边界平行轴且下边界与轴重合的区域，该区域存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里。在匀强磁场的上方存在沿轴负方向的匀强电场。位于处的离子源能释放出质量为、电荷量为、速度方向沿轴正方向的的正离子束。已知离子垂直进入磁场时的速度方向与轴正方向成角，运动过程中恰好没有通过轴。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子进入磁场时速度大小及第一次在磁场中的运动时间；
（2）求离子初速度大小及电场强度大小。
【答案】（1）离子进入磁场时速度大小为，运动时间为；
（2）离子初速度大小为，电场强度大小为。
【解答】解：（1）离子运动过程中恰好没有通过轴，设离子进入磁场时速度大小为，第一次在磁场中的运动时间为，运动轨迹如图所示
根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力
解得
（2）离子初速度大小为
离子的加速度为
电场方向，根据动力学公式有
解得
答：（1）离子进入磁场时速度大小为，运动时间为；
（2）离子初速度大小为，电场强度大小为。
11．（2024 包头一模）如图所示，在平面内，以坐标原点为圆心、半径为的圆形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，直线的左侧区域存在平行轴向下的匀强电场。质量均为、电荷量均为的甲、乙粒子分别从圆上的，、两点垂直轴射入匀强磁场，均从圆上的点位置离开磁场，甲粒子经过点时的速度方向平行于轴向左，电场强度的大小为，，，不计粒子重力，求：
（1）甲、乙粒子射入磁场时的速率之比；
（2）甲粒子从射入磁场到第二次经过轴所用的时间；
（3）乙粒子轨迹上的最高点到轴的距离。
【答案】（1）甲、乙粒子射入磁场时的速率之比为；
（2）甲粒子从射入磁场到第二次经过轴所用的时间为；
（3）乙粒子轨迹上的最高点到轴的距离为。
【解答】解：（1）粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
根据几何知识可知点坐标为，故
，解得：
根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有
；
解得甲、乙的速度分别为
；
故甲、乙粒子射入磁场时的速率之比为
；
（2）甲粒子在磁场中运动的周期为
根据几何知识可知，轨迹对应的圆心角为，故甲在磁场中运动的时间为
甲粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动的规律有
根据牛顿第二定律：
联立解得：
粒子在磁场边界和电场边界之间的左匀速运动的时间为
故甲粒子从射入磁场到第二次经过轴所用的时间为：
解得：；
（3）根据几何知识有：，即：
两者进入电场的位置距离轴的距离为：
乙粒子在电场中做类斜上抛运动，将其速度分解到水平方向和竖直方向有
根据牛顿第二定律有
根据运动公式：
解得乙粒子在电场中上升的最大高度为：
故乙粒子轨迹上的最高点到轴的距离为
。
答：（1）甲、乙粒子射入磁场时的速率之比为；
（2）甲粒子从射入磁场到第二次经过轴所用的时间为；
（3）乙粒子轨迹上的最高点到轴的距离为。专题06 带电粒子（带电体）在有界匀强磁场中的运动
1.带电粒子在磁场中的运动问题是高考的重点和热点，这部分的计算类题目覆盖的内容多，物理过程多，且情景复杂，综合性强，常作为理综试卷的压轴题．
2.高考对本专题考查的重点有以下几个方面：带电粒子在各种边界磁场中的匀速圆周运动问题以及常见的动态圆模型等
题型一、以直线单边界为载体考查粒子的运动
1.粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角.粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角.(如图，θ1＝θ2＝θ3)
2.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
题型二、借助情景作图能力考查带电粒子在两个相邻匀强磁场中运动问题
解决带电粒子在两个相邻匀强磁场中运动的一般思路：
(1)根据题中所给的条件，分别画出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的轨迹。
(2)根据画出的轨迹，找出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的圆心和半径。
(3)适当添加辅助线，运用数学方法计算出粒子在两磁场中的轨迹半径(有时候还要找出圆心角)。
(4)结合粒子运动的半径公式r＝(或周期公式T＝)即可得出所求的物理量。
以圆形边界为载体考查粒子的运动
题型三、圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图所示．
(2)不沿径向射入时，如图所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
一．选择题（共1小题）
1．（2024 重庆模拟）地磁场对宇宙高能粒子有偏转的作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图，为地球球心、为地球半径，地磁场只分布在半径为和的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为。电荷量均为。不计粒子的重力及相互作用力。则
A．粒子无论速率多大均无法到达右侧地面
B．若粒子速率为，正对着处入射的粒子恰好可以到达地面
C．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可到达地面
D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰能覆盖右侧地面一半的区域
二．多选题（共3小题）
2．（2024 乌鲁木齐二模）如图所示为有一小孔的绝缘圆筒的横截面，内圆的半径为，外圆圆筒的半径为。内、外圆间环形区域内有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为、带电量为的带电粒子以初速度大小从小孔沿半径方向射入筒内，粒子在筒内运动过程中，每次与筒壁碰撞后均以原速率弹回，且碰撞过程中粒子的电荷量不变。已知粒子从小孔射出前始终在环形磁场区域内运动，不计粒子重力，忽略小孔的尺寸，。则
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在磁场中运动的半径为
C．粒子在时间内能够从小孔射出
D．粒子在时间内不能从小孔射出
3．（2024 辽阳一模）如图所示，圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子由点沿平行于直径的方向射入磁场，射入时粒子运动的速率为，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．点到的距离为
C．粒子在磁场中运动的位移大小为
D．粒子在磁场中运动的时间为
4．（2024 碑林区校级模拟）2023年7月5日，中核集团正式签约承建全球首个全高温超导核聚变实验装置，彰显了我国在此领域技术水平居国际前列。在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示为核聚变中磁约束装置的简化图，圆环状匀强磁场区域的内半径为，外半径为，磁感应强度大小为，方向垂直于环面，中空区域内带电粒子的质量为，电荷量为，具有各个方向的速度。下列说法正确的是
A．要使所有带电粒子约束在半径为的区域内，则带电粒子的最大速度为
B．从内环边缘相切射出的带电粒子，仍在磁场区域运动的最大速度为
C．要使以大小为的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为的区域，
D．要使以大小为的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为的区域，
三．解答题（共7小题）
5．（2024 五华区校级模拟）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一带负电的粒子质量为（不计重力），以速度从点沿直径方向射入磁场，从点射出磁场，与成。
（1）现将该粒子的速度变为，仍从点沿直径方向射入磁场，求此时粒子在磁场中的运动时间；
（2）如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小不变的条件下，可用下面两种方式来实现：
①粒子的入射点不变，改变粒子的入射方向，让粒子的入射方向与方向成角，求角的正弦值；
②将粒子的入射点沿圆弧向上平移一段距离，沿平行于方向射入，求。
6．（2024 重庆模拟）如图所示，xOy平面被一条平行于x轴的直线MN分为匀强磁场区域和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外。比荷为的带正电粒子A，从坐标为的P点，以大小为v0、方向与x轴正方向成60°角的速度发射，能被位于的粒子收集器Q收集，已知该过程中粒子做匀速圆周运动的半径为a，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度的大小。
（2）求直线MN到x轴的距离。
（3）若粒子A从x轴某位置以大小为2v0、方向与x轴的正方向成角的速度发射后，依然能被收集器Q收集，求该粒子发射位置的横坐标与θ的关系。
7．（2024 天津模拟）如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小。在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在该平面内有一个质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度沿轴负方向射出，点的坐标为，粒子穿过轴后恰好不能从轴射出磁场，不考虑粒子的重力。求：
（1）粒子第一次穿过轴时的速度的大小和方向；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）粒子从点射出到第二次穿过轴所用的时间。
8．（2024 佛山一模）很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒子进行约束。假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为，圆的半径为。正方形的中心与圆的圆心同在点，圆心与圆周边沿的电势差为。圆心处有一粒子源，向外释放出质量为，带电量为的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计。求：
（1）粒子离开电场时的速度大小；
（2）若沿垂直于正方形边界的方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度多大？该粒子在磁场中运动时离点的最大距离多大？
9．（2024 厦门模拟）如图所示，直角坐标系平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿轴正方向的匀强电场，、大小均未知。质量为、电荷量为的粒子从轴负半轴点与轴正方向成射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直轴进入磁场，最后从点与轴正方向成射出磁场，不计粒子重力。
（1）求粒子进入电场时的速度大小；
（2）求磁感应强度的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力为已知常量），粒子恰好从点（图中未标出）垂直轴射出磁场，求点的坐标；
（4）在第（3）问的情况下，求粒子从点运动到点的轨迹长度。
10．（2024 河南模拟）利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度为、边界平行轴且下边界与轴重合的区域，该区域存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里。在匀强磁场的上方存在沿轴负方向的匀强电场。位于处的离子源能释放出质量为、电荷量为、速度方向沿轴正方向的的正离子束。已知离子垂直进入磁场时的速度方向与轴正方向成角，运动过程中恰好没有通过轴。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子进入磁场时速度大小及第一次在磁场中的运动时间；
（2）求离子初速度大小及电场强度大小。
11．（2024 包头一模）如图所示，在平面内，以坐标原点为圆心、半径为的圆形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，直线的左侧区域存在平行轴向下的匀强电场。质量均为、电荷量均为的甲、乙粒子分别从圆上的，、两点垂直轴射入匀强磁场，均从圆上的点位置离开磁场，甲粒子经过点时的速度方向平行于轴向左，电场强度的大小为，，，不计粒子重力，求：
（1）甲、乙粒子射入磁场时的速率之比；
（2）甲粒子从射入磁场到第二次经过轴所用的时间；
（3）乙粒子轨迹上的最高点到轴的距离。
