课时规范练11 巧用函数性质的二级结论解客观题
基础 巩固练
1.(2024·广东广州高三期中)若f(x)=3a-为奇函数,则a=( )
A.1 B.0 C. D.
2.(2024·浙江台州模拟)已知函数f(x)=2+的最大值为M,最小值为m,则M+m的值等于( )
A.2 B.4
C.6 D.8
3.(2024·宁夏银川模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(-x)=f(x),f(x)+f(4-x)=0,且当x∈[0,2]时,f(x)=x2-4,则f(2 023)=( )
A.-3 B.-4
C.3 D.4
4.(2024·福建莆田模拟)已知函数f(x)=-3x+1,且f(a2)+f(2a-3)>2,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-3,1)
5.(2024·北京朝阳区高三模拟)已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)为偶函数,f(x+2)为奇函数,则( )
A.f(-1)=0 B.f(1)=0
C.f(2 022)=0 D.f(2 023)=0
6.(多选题)(2024·辽宁大连高三期中)已知函数y=f(x-1)为奇函数,则下列说法正确的为( )
A.y=f(x)的图象关于(-1,0)对称
B.f(-x-1)+f(x-1)=0必成立
C.f(-x+1)=-f(x-1)必成立
D.y=f(x-1)的图象关于原点对称
7.(2024·贵州贵阳高三联考)已知函数f(x)=log2|x-a|+1,当x∈{x|x≠-2}时,f(6+x)=f(2-x),则f(2)= .
8.(2024·福建三明期末)已知f(x)=asin x+-4(a,b∈R),若f(-3)=2,则f(3)= .
9.(2024·江苏南京模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(+x)=2-f(-x),则f()+f()+f()+…+f()+f()= .
综合 提升练
10.(2024·安徽淮南高三期末)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=( )
A.2 023 B.0
C.3 D.-2 023
11.(多选题)已知函数f(x)为R上的奇函数,g(x)=f(x+1)为偶函数,下列说法正确的有( )
A.f(x)图象关于直线x=-1对称
B.g(2 023)=0
C.g(x)的最小正周期为2
D.对任意x∈R都有f(2-x)=f(x)
12.(2024·甘肃天水期末)已知函数f(x)=ln(-2x)+2x+3,若a,b∈R,a+b=2 022,则f(a+2)+f(b-2 024)= .
13.(2024·河北石家庄高三模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R,f(1-3x)-f(1+3x)=-6x,则f(2 024)= .
创新 应用练
14.(2024·山西太原高三模拟)已知函数f(x)=log2(-x)-x3,且满足f(m2+3m)+f(3m-16)≥0时,实数m的取值范围为( )
A.m≤0或m≥ B.m≤-8或m≥2
C.0≤m≤ D.-8≤m≤2
15.(2024·河南许昌高三校联考)设函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数,f(x+1)-f(2-x)=2x-1,则f'()= .
课时规范练11 巧用函数性质的二级结论解客观题
1.D 解析 函数定义域为R,又为奇函数,所以f(0)=3a-=3a-1=0 a=,此时f(x)=1-,由f(-x)==-f(x)知f(x)为奇函数,满足题设,所以a=,故选D.
2.B 解析 f(x)=2+,设g(x)=,函数定义域为R,g(-x)==-g(x),函数为奇函数,g(x)max+g(x)min=0,M=2+g(x)max,m=2+g(x)min,故M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4,故选B.
3.A 解析 因为f(-x)=f(x),所以f[-(4-x)]=f(4-x),即f(x-4)=f(4-x),又f(x)+f(4-x)=0,故f(x)+f(x-4)=0,即f(x)=-f(x-4)①,用x-4代替x得f(x-4)=-f(x-8)②,由①②得f(x)=f(x-8),故f(x)的一个周期为8,故f(2023)=f(8×253-1)=f(-1),由f(-x)=f(x)得f(-1)=f(1),x∈[0,2]时,f(x)=x2-4,故f(1)=12-4=-3,故f(2023)=f(1)=-3,故选A.
4.D 解析 令g(x)=-3x,则g(x)=f(x)-1,因为g(x)为奇函数,又因为g(x)=1--3x,由g'(x)=-3=
<0,则g(x)在R上是减函数,∵f(a2)+f(2a-3)>2,∴f(a2)-1+f(2a-3)-1>0,∴g(a2)+g(2a-3)>0,∴g(a2)>-g(2a-3)=g(3-2a),∴a2<3-2a,解得-3
6.ABD 解析 因为y=f(x-1)为奇函数,所以y=f(x-1)的图象关于原点对称,即D正确;且f(x-1)+f(-x-1)=0,即B正确,C错误;由f(x-1)+f(-x-1)=0可知函数y=f(x)的图象关于(-1,0)对称,即A正确,故选ABD.
7.2 解析 由f(6+x)=f(2-x)可知,函数f(x)的图象关于直线x=4对称,而函数f(x)=log2|x-a|+1的图象关于直线x=a对称,所以a=4,所以f(x)=log2|x-4|+1,所以f(2)=log2|2-4|+1=2.
8.-10 解析 设g(x)=f(x)+4=asinx+,易知g(x)的定义域是{x|x≠0},又g(-x)=-asinx-=-g(x),∴g(x)是奇函数,∵g(-3)=f(-3)+4=6,所以g(3)=f(3)+4=-g(-3)=-6,∴f(3)=-10.
9.7 解析 因为f(x)满足f(+x)=2-f(-x),所以当x=时,f()+f()=2;当x=时,f()+f()=2;当x=时,f()+f()=2;当x=0时,f()+f()=2,即f()=1,∴f()+f()+f()+…+f()+f()=7.
10.B 解析 因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0,因为f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(1+1+x)=f(2+x)=-f(x),可得f(2+2+x)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,因为f(0)=f(4)=0,f(1)=3,f(1-x)=f(1+x),所以f(0)=f(2)=0,f(-1)=f(3)=-f(1)=-3,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=505[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=505×0+3+0-3=0,故选B.
11.ABD 解析 因为函数f(x)为R上的奇函数,所以函数f(x)的对称中心为(0,0),因为g(x)=f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-x+1)=-f(-x-1),即f(x-1)=f(-x-1),所以函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,故A正确;由f(-x+1)=f(x+1),用x-1替换x可得f(2-x)=f(x),故D正确;由f(2-x)=f(x)可得,f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f(x),即函数周期为4,故C错误;因为f(x)的周期为4,所以g(2023)=f(2024)=f(0)=0,故B正确,故选ABD.
12.6 解析 4x2+1>4x2,>2|x|,-2x>0,∴函数f(x)的定义域为R,又f(x)+f(-x)=ln(-2x)+2x+3+ln(+2x)-2x+3=ln[(-2x)·(+2x)]+6=ln1+6=6,因为a,b∈R,a+b=2022,则b=2022-a,∴f(a+2)+f(b-2024)=f(a+2)+f(-a-2)=f(a+2)+f[-(a+2)]=6,所以f(a+2)+f(b-2024)=6.
13.2 024 解析 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.由f(1-3x)-f(1+3x)=-6x,可得f(1-x)-f(1+x)=-2x,即f(1-x)-(1-x)=f(1+x)-(1+x).设g(x)=f(x)-x,有g(-x)=f(-x)+x=-f(x)+x=-g(x),则g(x)为奇函数,所以g(0)=0,且g(1-x)=g(1+x),则g(x)的图象关于直线x=1对称.由g(1-x)=g(1+x),得g(-x)=g(2+x),所以-g(x)=g(2+x),则g(4+x)=g[2+(2+x)]=-g(2+x)=-[-g(x)]=g(x).所以g(x)的周期为4,得g(2024)=g(0)=0,所以f(2024)=g(2024)+2024=2024.
14.D 解析 函数定义域为R,又f(-x)+f(x)=log2(+x)+x3+log2(-x)-x3=log21=0,所以f(x)是奇函数,又因为f(x)=
log2(-x)-x3=log2-
x3,而y=+x是R上的增函数,且y=+x>0,所以y=是R上的减函数,所以y=log2是R上的减函数,而y=-x3也是R上的减函数,所以f(x)是R上的减函数,由f(m2+3m)+f(3m-16)≥0 f(m2+3m)≥-f(3m-16)=f(16-3m) m2+3m≤16-3m -8≤m≤2,故选D.
15.89 解析 由f(x+1)-f(2-x)=2x-1,则f'(x+1)+f'(2-x)=2,所以f'(x)+f'(3-x)=2,则2f'()=2,即f'()=1,且f'()+f'()=2,则
f'()=[f'()+f'()]+[f'()+f'()]+…+[f'()+f'()]+f'()=2+1=89.课时规范练12 幂函数、对勾函数及一次分式函数
基 础 巩固练
1.(2024·河北邯郸模拟)已知幂函数f(x)满足=4,则f()的值为( )
A.2 B.
C.- D.-2
2.(2024·上海浦东模拟)设m∈R,若幂函数y=定义域为R,且其图象关于y轴对称,则m的值可以为( )
A.1 B.4 C.7 D.10
3.(2024·浙江余姚模拟)函数y=的值域是( )
A.(-∞,0]∪[4,+∞) B.(-∞,0]∪[2,+∞)
C.[0,4] D.[0,2]
4. (2024·山西阳泉模拟)图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象,则解析式中指数α的值依次可以是( )
A.0.5,2,-1 B.-1,2,0.5
C.0.5,-1,2 D.-1,0.5,2
5.(2024·陕西西安检测)已知函数f(x)=xα,g(x)=xβ,其中x∈[0,+∞),0<α<1,β>1,若点M(,f()),N(,f()),P(,g()),Q(,g())满足|MP|=|NQ|,则( )
A.4α-4β=2α+β B.4α+4β=2α+β
C.2α-2β=2α+β D.2α+2β=2α+β
6.(多选题)(2024·江苏盐城模拟)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的值域是{y|y≠4}
B.f(x)图象的对称中心为(2,0)
C.f(2 026)+f(-2 022)=8
D.f(2 023)+f(-2 019)=8
7.(2024·辽宁大连模拟)函数f(x)=的值域为 .
8. (2024·福建厦门模拟)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么ab= .
9.(2024·安徽安庆模拟)若函数f(x)=在区间[a,b]上的最大值和最小值分别为和-3,则a-b= .
综 合 提升练
10.(多选题)(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=,下列结论正确的有( )
A.f(x)在区间(1,+∞)单调递增
B.f(x)图象关于y轴对称
C.f(x)在定义域内只有1个零点
D.f(x)的值域为[0,1]
11.(2024·山西太原模拟)函数f(x)=的值域为 .
12.(2024·江苏淮安模拟)已知函数f(x)=(,若f(a-1)
13.(2024·重庆八中检测)已知x≥3y>0,则的最小值是( )
A.2 B.2+2
C.3 D.5
14.(2024·福建泉州模拟)已知函数y=f(x+1)-3为奇函数,g(x)=,f(x)与g(x)的图象有8个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8),则(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)-(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)= .
课时规范练12 幂函数、对勾函数及一次分式函数
1.B 解析 依题意,设f(x)=xα,则=3α=4,所以f()=()α=,故选B.
2.C 解析 由题意知m2-2m+1>0 m≠1,因为其图象关于y轴对称,所以函数为偶函数,则结合选项m的值可以为7,故选C.
3.B 解析 令cosx=t,则t∈[-1,)∪(,1],则y=,可得2t-1∈[-3,0)∪(0,1],(-∞,-]∪[1,+∞),(-∞,-]∪[,+∞),所以y∈(-∞,0]∪[2,+∞),故选B.
4. D 解析 在坐标系中,作直线x=,分别交曲线C3,C2,C1于A,B,C三点,则yA
6.ACD 解析 由f(x)==4+,则定义域为{x|x≠2},值域为{y|y≠4},所以点(2,4)是f(x)图象的对称中心,因此f(x)+f(4-x)=8,则f(2026)+f(-2022)=f(2023)+f(-2019)=8,综上,ACD正确,B错误,故选ACD.
7.[,+∞) 解析 由于f(x)=,令=t,则t且y=t+,由于y=t+在区间[1,+∞)上单调递增,所以y=t+在区间[,+∞)上单调递增,故当t=时y=t+取最小值所以f(x)的值域为[,+∞).
8.1 解析 依题意,BM=MN=NA,所以M,N是线段AB的三等分点,而A(1,0),B(0,1),所以M(),N(),所以()a=,()b=,a=lo,b=lo,ab=lolo=1.
9.-2 解析 由于f(x)==2+,依题意必有[a,b] (-∞,2),且在区间[a,b]上单调递减,于是解得a=-1,b=1,故a-b=-2.
10.BCD 解析 由于f(2)=,f(3)=,所以f(2)>f(3),因此f(x)在区间(1,+∞)内不是单调递增的,故A错误;易知f(x)定义域为R,且f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,因此图象关于y轴对称,故B正确;令f(x)=0即=0,得x=0,因此f(x)在定义域内只有1个零点,故C正确;当x∈(0,+∞)时,f(x)=,由基本不等式可得x+2,当且仅当x=1时,等号成立,所以0<,所以当x∈(0,+∞)时,0
12.(3,4) 解析 由于f(x)=(,可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且在定义域上单调递减,因为f(a-1)
14.16 解析 因为y=f(x+1)-3为奇函数,所以其图象关于原点对称,因此f(x)的图象关于点(1,3)对称,又因为g(x)==3+,所以g(x)的图象也关于点(1,3)对称.依题意有x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4×(1×2)=8,y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8=4×(2×3)=24,故(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)-(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)=24-8=16.课时规范练13 指数与对数运算
基础 巩固练
1.(2024·浙江温州模拟)下列算式计算正确的是( )
A.(=1 B.42×4-2=0
C.log2=1 D.lg 3·lg 5=lg 15
2.(2024·福建福州联考)已知2a=5,则lg 20=( )
A. B.
C. D.
3.(2024·安徽临泉模拟)已知4·3m=3·2n=1,则( )
A.m>n>-1 B.n>m>-1
C.m
A.12 302 B.13 304 C.23 004 D.24 034
5.已知3x=5,log3=y,则x+2y=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(2024·山西大同模拟)(0.064+[(-2)3-16-0.75= .
7.(2024·北京顺义模拟)计算log315-log35-+ln = .
8.(2024·四川眉山模拟)18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果:当n很大时,1++…+=ln n+γ(常数γ=0.557…).利用以上公式,可以估计+…+的值为 .
综合 提升练
9.(多选题)(2024·河南豫南名校检测)设a=log0.20.3,b=log0.30.4,则下列结论中正确的是( )
A.2a<1+ab B.2a>1+ab
C.a>b D.b>a
10.(2024·重庆巴蜀中学模拟)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破,以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行×1015次运算,用它处理一段自然语言的翻译,需要进行2128次运算,那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为(参考数据:lg 2≈0.301,100.431≈2.698)( )
A.2.698×1022秒 B.2.698×1023秒
C.2.698×1024秒 D.2.698×1025秒
11.(2024·山东济南模拟)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国,扎实推动乡村振兴”的目标,银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据,建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位:万元)的Logistic模型:P(x)=.已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入约为( )(参考数据:ln 3≈1.1,ln 2≈0.7)
A.4万元 B.5万元 C.6万元 D.8万元
12.(2024·重庆一中检测)设p>0,q>0,满足log2p=log4q=log8(2p+q),则= .
创新 应用练
13.(2024·湖北恩施联考)数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算.已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,设N=810×95,则N所在的区间为( )
A.(1011,1012) B.(1012,1013)
C.(1013,1014) D.(1014,1015)
14.(多选题)已知正数x,y,z满足3x=4y=12z,则( )
A. B.6z<3x<4y
C.xy<4z2 D.x+y>4z
课时规范练13 指数与对数运算
1.C 解析 因为()0=1,所以(1,故A错误;42×4-2=42-2=40=1,故B错误;log2=log22=1,故C正确;因为lg3+lg5=lg15,所以lg3·lg5≠lg15,故D错误,故选C.
2.C 解析 由2a=5,得a=log25,故lg20=lg=2-lg5=2-=2-=2-,故选C.
3.D 解析 由已知得m=-log34<-1,n=-log23<-1,∵32>23,∴3>,log23>
∵34>43,∴4<,log34<,∴log23>log34,-log23<-log34,∴n
5.B 解析 ∵3x=5 x=log35,y=log3,∴x+2y=log35+2log3=log3(5)=log381=4.
6 解析 原式=(0.43-1+(-2)-4-(24)-0.75=0.4-1-1+
7.- 解析 log315-log35-+ln=log33-3+ln=1-3+=-
8.ln 3 解析 由题意,可得+…+=(1++…+)-(1++…+)=ln30000+γ-(ln10000+γ)=ln30000-ln10000=ln=ln3.
9.AD 解析 +b=log0.30.2+log0.30.4=log0.30.08>log0.30.09=2,因为a=log0.20.3>log0.21=0,所以2a<1+ab,故A正确,B错误;4a=log0.20.0081
10.B 解析 设所需时间为t秒,则t1015=2128,lgt+lg5-2lg2+15=128lg2,∴lgt=131lg2-16,∴lgt≈131×0.301-16=23.431,∴t≈1023.431=100.431×1023≈2.698×1023秒,故选B.
11.B 解析 由题意得当x=9时,P=50%,则=50%,得e-0.9+9k=1,所以9k-0.9=0,得k=0.1,因此P(x)=当P=40%时,由=40%,得3e-0.9+0.1x=2,所以e-0.9+0.1x=,所以-0.9+0.1x=ln=ln2-ln3≈0.7-1.1=-0.4,解得x=5,所以当银行希望实际还款比例为40%时,贷款人的年收入约为5万元,故选B.
12 解析 由log2p=log4q,可知log2p=log2q=log2,即p=,由log2p=log8(2p+q),可知log2p==log2,即p=,消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),当p=2时,q=4,所以
13.C 解析 ∵N=810×95,∴lgN=lg810+lg95=lg230+lg310=30lg2+10lg3≈9.030+4.771=13.801,∴N=1013.801∈(1013,1014),故选C.
14.ABD 解析 设3x=4y=12z=t,t>1,则x=log3t,y=log4t,z=log12t,所以=logt3+logt4=logt12=,A正确;因为=log129<1,则6z<3x,因为=log8164<1,则3x<4y,所以6z<3x<4y,B正确;因为x+y-4z=log3t+log4t-4log12t=>0,则x+y>4z,D正确;因为,则=x+y>4z,所以xy>4z2,C错误.故选ABD.课时规范练14 指数函数
基 础 巩固练
1.(2024·江西南昌模拟)已知a=(2)2,b=,c=2π,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
A.(0,2] B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
3.(2024·贵州安顺质检)函数f(x)=的部分图象大致是( )
4.(2024·河南濮阳模拟)已知函数f(x)=x,g(x)=2x+2-x,则大致图象如下图所示的函数可能是( )
A.f(x)+g(x) B.f(x)-g(x)
C.f(x)g(x) D.
5.(2024·湖北武汉模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为( )
A.(0,) B.(-∞,)
C.(-∞,) D.(0,)
6.(多选题)(2024·湖北鄂州检测)已知函数f(x)=(a∈R),则下列结论成立的是( )
A.若f(x)是偶函数,则a=0
B.f(x)的单调递增区间是(-∞,-]
C.f(x)的值域为(0,1)
D.当a∈(0,1)时,方程f(x)-a=0有两个实数根
7.(2024·北京房山模拟)已知函数f(x),给出两个性质:①f(x)在R上是增函数;②对任意x∈R,f(x)>1.写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式f(x)= .
8.(2024·辽宁沈阳模拟)不等式(>4-2x的解集是 .
9.(2024·山东潍坊模拟)若函数y=a1-x(a>0,且a≠1)在区间[-2,1]上的最大值和最小值的和为,则实数a= .
综 合 提升练
10.(2024·福建三明模拟)已知函数f(x)=()|x-1|,若f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,则实数a的取值范围为( )
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(,1) D.(,1)∪(1,+∞)
11.(多选题)(2024·浙江金华模拟)若直线y=与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是( )
A. B. C. D.3
12.(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则不等式f(9x-3)>f(3x+b)的解集为 .
创 新 应用练
13.(2023·全国甲,文11)已知函数f(x)=.记a=f(),b=f(),c=f(),则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
14.(2024·山东聊城模拟)设函数f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1),若f(1)=,且函数g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为-2,则实数m的值等于 .
课时规范练14 指数函数
1.B 解析 因为y=2x在R上单调递增,a=(2)2=8=23,b=,又2<3<π,所以<23<2π,因此b
3.C 解析 因为f(x)的定义域为R,且f(-x)==f(x),所以f(x)=是偶函数,其图象应关于y轴对称,故AD错误.而f(x)=>0恒成立,即f(x)的图象恒在x轴上方,所以B错误.故选C.
4.D 解析 易知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,由题图知该函数为奇函数,而f(x)+g(x)与f(x)-g(x)为非奇非偶函数,故排除AB;当x→+∞时,f(x)g(x)→+∞,排除C.故选D.
5.A 解析 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、三、四象限,可得b<-1,所以g(b)=f(b)-f(b-1)=3b-3b-1=3b·(1-)=3b<3-1=,又因为3b>0,所以g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(0,),故选A.
6.ABD 解析 对于A选项,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即,则-2x2+ax=-2x2-ax,即2ax=0对任意的x∈R恒成立,解得a=0,故A正确;对于B选项,内层函数u=-2x2-ax=-2(x+)2+的单调递增区间为(-∞,-],外层函数y=3u在定义域R上为增函数,由复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-],故B正确;对于C选项,-2x2-ax=-2(x+)2+,则f(x)=(0,],故C错误;对于D选项,当a∈(0,1)时,由f(x)==a,可得-2x2-ax=log3a,则2x2+ax+log3a=0,Δ=a2-8log3a>0,所以当a∈(0,1)时,方程f(x)-a=0有两个实数根,故D正确.故选ABD.
7.2x+1(答案不唯一) 解析 取函数f(x)=2x+1,由指数函数的单调性可知,函数f(x)=2x+1在R上为增函数,满足性质①;因为2x>0恒成立,所以2x+1>1恒成立,所以对任意x∈R,f(x)>1,满足性质②.
8.(-2,4) 解析 因为(>4-2x=()2x,且y=()x在R上为减函数,所以x2-8<2x,解得-2
10.A 解析 当x≥1时,f(x)=()|x-1|=()x-1在区间[1,+∞)上单调递减,又2a2+a+2=2(a+)2+>1,2a2-2a+4=2(a-)2+>1,所以由f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,得f(2a2+a+2)
11.ABC 解析 当a>1时,图象如图1所示,此时若直线y=与函数图象有两个公共点,需0<<1,即0
图2
综上可知,a的取值范围为(0,1)∪(1,2),因此结合选项,a的取值可以是,不可以是3,故选ABC.
12.(log32,log95] 解析 若0
综上,a=,b=-1.
此时f(x)=()x-1,x∈[0,2].
由于f(9x-3)>f(3x-1),所以2≥9x-3>3x-1≥0,解得log32
令t=(x-1)2(t≥0),∴y=()t.
∵0<<1,∴y=()t在R上为减函数.
∵t=h(x)=(x-1)2,h(x)是关于x的二次函数,其图象的对称轴为直线x=1,且<1,∴h()>h().
>1,∴h()=h(2-),<2-h()>h()>h(),得f()
14 解析 由f(1)=a-,且a>0,解得a=3,即f(x)=3x-3-x,则g(x)=32x+3-2x-2m(3x-3-x)=-2m(3x-3-x)+2,令t=3x-3-x(x≥1),由于t=3x-3-x在区间[1,+∞)上单调递增,因此t依题意函数h(t)=t2-2mt+2在区间[,+∞)上的最小值为-2,函数h(t)=t2-2mt+2图象的对称轴为直线t=m,当m>时,h(t)min=h(m)=-m2+2,由-m2+2=-2,解得m=±2,不符合题意;当m时,函数h(t)=t2-2mt+2在区间[,+∞)上单调递增,h(t)min=h()=m,由m=-2,解得m=,而,所以实数m的值为课时规范练15 对数函数
基础 巩固练
1.(2024·山东淄博模拟)函数f(x)=的定义域为( )
A.[,+∞) B.(-∞,]
C.[,2) D.(1,2)
2.(2024·湖北武汉模拟)若函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g(3)=-1,则g(x)等于( )
A.3-x B.3x C.log3x D.lox
3.(2024·四川绵阳模拟)函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)与函数g(x)=(a-1)x2-ax在同一坐标系中的图象可能是( )
4.(2024·吉林长春模拟)若函数f(x)=()x,函数f(x)与函数g(x)的图象关于y=x对称,则g(4-x2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,0) B.(-2,0) C.(0,+∞) D.(0,2)
5.已知=ln 3,b=log35-log32,c=2ln ,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
6.(多选题)(2024·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)=lg x+lg(2-x),则下列结论中正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增
B.f(x)在区间(0,2)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)有最大值,但无最小值
7.(2024·广东揭阳模拟)已知函数f(x)满足①f(x)+f()=0;②在定义域内单调递增.请写出一个符合条件①②的函数的表达式: .
8.(2024·广东汕头模拟)不等式log2(x-1)+log2(x-2)>log26的解集为 .
9.(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=log2(4x)lo),x∈[,4]的最大值为 .
综合 提升练
10.(2024·安徽黄山模拟)“a<1”是“函数f(x)=log2[(1-a)x-1]在区间(1,+∞)上单调递增”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
11.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
12.(2024·河南濮阳模拟)已知函数f(x)=lg(+x)+a,且f(ln 3)+f(ln)=1,则a= .
13.(2024·湖南岳阳模拟)若函数f(x)=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是 .
创新 应用练
14.已知函数f(x)=的图象如图所示,当x
A.a>1,m>0,b<0 B.a>1,m<0,b>0
C.0
A.f(a)
1.B 解析 依题意应有1-lo(2-x)≥0,即lo(2-x)≤1=lo,因此2-x,解得x,所以函数定义域为(-∞,],故选B.
2.D 解析 依题意g(x)=logax(a>0,且a≠1),又因为g(3)=-1,所以loga3=-1,解得a=,即g(x)=lox,故选D.
3.B 解析 易知,g(x)=(a-1)x2-ax过原点,故排除A,C;当0
6.CD 解析 函数f(x)=lgx+lg(2-x)的定义域为(0,2),且f(x)=lgx+lg(2-x)=lg(-x2+2x).
因为y=-x2+2x在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,且y=lgx在区间(0,+∞)上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,故选项A,B错误;由于f(2-x)=lg(2-x)+lgx=f(x),故f(x)的图象关于直线x=1对称,故选项C正确;
因为y=-x2+2x在x=1处取得最大值,且y=lgx在区间(0,+∞)上单调递增,故f(x)有最大值,但无最小值,故选项D正确.故选CD.
7.f(x)=ln x(答案不唯一) 解析 取f(x)=lnx,则f(x)+f()=lnx+ln=lnx-lnx=0,满足①;f(x)=lnx在定义域(0,+∞)内单调递增,满足②,故符合条件①②的函数的表达式可以为f(x)=lnx.
8.(4,+∞) 解析 由于log2(x-1)+log2(x-2)=log2(x-1)(x-2)=log2(x2-3x+2),所以原不等式等价于解得x>4,不等式的解集为(4,+∞).
9 解析 f(x)=log2(4x)lo)=(log24+log2x)·(-)(log2x-log22)=-[(log2x)2+log2x-2],令t=log2x(t∈[-1,2]),则函数可化为y=-(t2+t-2),t∈[-1,2],当t=-时,ymax=即函数f(x)的最大值为
10.C 解析 令u=(1-a)x-1,则y=log2u,若f(x)=log2[(1-a)x-1]在区间(1,+∞)上单调递增,因为y=log2u在(1,+∞)上单调递增,则需使u=(1-a)x-1在区间(1,+∞)上单调递增,且u>0,则1-a>0,且1-a-1≥0,解得a≤0,因为(-∞,0] (-∞,1),故“a<1”是“a≤0”的必要不充分条件,故选C.
11. C 解析 由f(a)=f(b)得|lna|=|lnb|,根据y=|lnx|的图象,及0
12 解析 ∵f(-x)+f(x)=lg[-x]+a+lg(+x)+a=2a,-ln3=ln,∴f(ln3)+f(ln)=f(ln3)+f(-ln3)=2a=1,解得a=
13.(1,2) 解析 当0
由图象可知,当x<1时,f(x)=>0,而|x-2|>1,所以loga|x-2|的符号在x<1时不变,则2x2+b的符号也不变,所以2x2+b只能大于零,即b>0,故D错误;因为f(0)=>0,b>0,所以loga2>0,即a>1,故B正确,C错误.故选B.
15.A 解析 由>0,解得-3
1.(2024·湖南岳阳模拟)函数f(x)=-e|x|+1在[-2,2]上的大致图象为( )
2. (2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)在区间[-2,2]上的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=(ex-e-x)x B.f(x)=(ex-e-x)sin x
C.f(x)=(ex-e-x)cos x D.f(x)=(ex-e-x)x2
3.(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)=若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
4.(2024·重庆巴蜀中学检测)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,当x∈[]时,y=f(x)的值域为( )
A.[,1] B.[0,1] C.[,1] D.[0,]
5.(多选题)(2024·山西大同模拟)已知函数f(x)=则下列判断错误的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的图象与直线y=1有两个交点
C.f(x)的值域是[0,+∞)
D.f(x)在区间(-∞,0)上单调递增
6.(2024·上海杨浦模拟)已知函数f(x)=lg x+x2-1,则不等式f(x)>0的解集是 .
7. (2024·湖南郴州模拟)若函数f(x)=的图象如右图所示,则ab 0(填“>”或“<”)
8.(2024·山东潍坊模拟)设0
9.(多选题)(2024·安徽亳州模拟)已知函数f(x)=下列叙述正确的是( )
A.f(3)=5
B.g(x)=f(x)-的零点有3个
C.f(x)<2的解集为{x|0
D.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是(5,9)
创 新 应用练
10.(2024·安徽芜湖模拟)若直角坐标系内两点M,N满足条件①M,N都在函数y的图象上,②M,N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y的一个“共生点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一个“共生点对”),已知函数y=则函数y的“共生点对”有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
11.(2024·四川广安模拟)函数f(x)=若x1
1.C 解析 由已知得f(0)=0,排除选项D,又f(1)=-e+1=-e<0,排除选项B,f(2)=-e2+1=9-e2>0,排除选项A,故选C.
2.C 解析 容易判断选项A,B中的函数都是偶函数,图象应关于y轴对称,与已知图象不符,选项C,D中的函数都是奇函数,图象关于原点对称,对于选项D,当x>0时,ex>1,e-x=<1,可得ex-e-x=ex->0,因此f(x)=(ex-e-x)x2>0,图象应在x轴上方,与已知图象不符,故选C.
3.A 解析 画出函数的图象(如图所示),可知函数为奇函数,所以不等式f(m)>f(-m)等价于f(m)>-f(m),即f(m)>0,观察函数图象可得实数m的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞),故选A.
4.B 解析 由题知,当x∈[1,2)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-3|);当x∈[2,3)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-5|),依此类推,所以在区间[n,n+1)(n∈Z)上,可得f(x)=[1-|2x-(2n+1)|],作函数y=f(x)的图象,如图所示,所以当x∈时,f(x)∈[0,1],故选B.
5. AB 解析 作出函数图象(如图所示),显然图象不关于原点中心对称,故A错误;f(x)图象与直线y=1有一个交点,故B错误;由图象知函数的值域为[0,+∞),且在区间(-∞,0)内单调递增,故C,D正确.故选AB.
6. (1,+∞) 解析 不等式f(x)>0,即lgx+x2-1>0,所以lgx>1-x2.在同一坐标系中作出函数y=lgx,y=-x2+1的图象(如图所示),由图可知,满足不等式lgx>-x2+1的x的取值范围为(1,+∞),所以不等式f(x)>0的解集是(1,+∞).
7.< 解析 由函数图象知-c>0,因此c<0.令x=0,得f(0)=,又由图象知f(0)>0,∴b>0.令f(x)=0,得x=-,结合图象知->0,∴a<0.故ab<0.
8.[3,6] 解析 作出函数图象(如图所示),由f(x)=0,得x=2,由f(x)=1,得x=1或x=4,又因为0
9. ACD 解析 f(3)=32-2×3+2=5,故A正确;当x≤3时,方程x2-2x+2-=x2-2x+=0,其中Δ=4-4=-2<0,无实数根;当x>3时,由-x+8-=-x+=0,解得x=,所以g(x)=f(x)-的零点只有1个,故B错误;当x≤3时,由x2-2x+2<2,得x2-2x=x(x-2)<0,解得0
11. (0,) 解析 由题意,在f(x)=中,x1
1.(2024·河北石家庄模拟)下列函数中,是奇函数且存在零点的是( )
A.y= B.y=log2x
C.y= D.y=x|x|
2.(2024·海南海口模拟)函数f(x)=-ln x+2的零点所在的大致区间为( )
A.(1,e) B.(e,e2)
C.(e2,e3) D.(e3,e4)
3.(2024·北京西城模拟)函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.(2024·北京朝阳模拟)已知函数f(x)=若方程f(x)=1的实根在区间(k,k+1),k∈Z上,则k的最大值是( )
A.-3 B.-2
C.1 D.2
5.(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a,若g(x)有2个零点,则实数a的最小值是( )
A.2 B.0
C.-1 D.1
6.(多选题)(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)=|1-2x|,实数a,b(a
B.0
D.a+b<0
7.(2024·北京石景山模拟)函数f(x)=的零点为 .
8.(2024·山东济南模拟)函数f(x)=2sin xsin(x+)-x2的零点个数为 .
9.(2024·河北沧州模拟)若函数f(x)=x2-ax+1在区间(,3)上有零点,则实数a的取值范围是 .
综合 提升练
10.(2024·甘肃兰州模拟)已知x0是函数f(x)=()x-x+4的一个零点,若x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.x0∈(2,4)
B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)<0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
11.(2024·江苏南通模拟)f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令g(x)=f(x)-lg x,则函数g(x)的零点个数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
12.(2024·湖南岳阳模拟)若函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一零点,则实数a=( )
A.2 B.
C.4 D.1
13.(2024·吉林通化模拟)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 .
创新 应用练
14.(2024·辽宁沈阳模拟)若函数f(x)=x-,则方程f2(x)-f(x)-6=0的实根个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
15.(2024·河南郑州调研)已知函数f(x)=ln x+x,若存在x0∈[e,4],满足f(f(x0)+b)=x0-b,则b的取值范围为 .
课时规范练17 函数与方程
1.D 解析 选项A,C中的函数都是奇函数,但在定义域上不存在零点,选项B中的函数存在零点但不是奇函数;对于选项D,令f(x)=y=x|x|,则f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数是奇函数,令f(x)=x|x|=0,解得x=0,所以存在零点,故选D.
2.C 解析 函数f(x)=-lnx+2的图象在区间(0,+∞)连续不断,且单调递减,f(1)=3>0,f(e)=+1>0,f(e2)=>0,f(e3)=-1<0,f(e4)=-2<0,所以零点位于区间(e2,e3),故选C.
3. C 解析 令f(x)=0,可得|lnx|=e-x,作出函数y=|lnx|与y=e-x的图象(如图所示),由图可知,函数y=|lnx|与y=e-x的图象的交点个数为2,故f(x)的零点个数为2,故选C.
4.C 解析 当x≤-2时,f(x)=x2-5,令f(x)=1,解得x=-;当x>-2时,f(x)=xlg(x+2),其中f(1)=lg3<1,f(2)=2lg4=lg16>1,所以当f(x)=1时,可得x∈(1,2).综上,k的最大值是1,故选C.
5. D 解析 令g(x)=0,可得f(x)=x+a,当x≤0时,f(x)=()x,当x>0时,f(x)=ln=-lnx与y=lnx的图象关于x轴对称,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的图象(如图所示),由图可知,当a≥1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,此时函数y=g(x)有2个零点,因此实数a的最小值为1,故选D.
6. BCD 解析 f(x)=|1-2x|=且当x<0时,0<2x<1,此时f(x)=1-2x∈(0,1),函数y=f(x)-m的零点即函数y=f(x)与直线y=m的图象交点的横坐标(如图所示),由图象可知,当0
8.2 解析 函数f(x)=2sinxsin(x+)-x2的零点个数等价于方程2sinxsin(x+)-x2=0的根的个数,即函数g(x)=2sinxsin(x+)=2sinxcosx=sin2x与h(x)=x2的图象交点的个数.在同一坐标系中分别作出两函数图象(如图所示),由图可知,函数g(x)与h(x)的图象有2个交点,所以f(x)有2个零点.
9.[2,) 解析 由题意知方程ax=x2+1在区间(,3)内有解,即a=x+在区间(,3)内有解,设t=x+,x∈(,3),则t的取值范围是[2,),故实数a的取值范围是[2,).
10.B 解析 函数y=()x在区间(2,+∞)上单调递减,y=-x+4在区间(2,+∞)上单调递减,故f(x)=()x-x+4在区间(2,+∞)上单调递减,又f(2)>0,f(3)>0,f(4)>0,f(5)<0,所以x0∈(4,5),因为f(x0)=0,x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),由单调性知f(x1)>0,f(x2)<0,即f(x1)>f(x2),故选B.
11.B 解析 由f(1+x)=f(1-x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,又由f(1+x)=f(1-x)可得f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),因此f(x)的周期为4.作出f(x)的图象(如图所示),g(x)=f(x)-lgx的零点个数即为f(x)的图象与y=lgx图象的交点个数,因为lg9<1,lg10=1,由图象可得f(x)的图象与y=lgx图象的交点个数为5,故选B.
12.A 解析 由f(4-x)=(4-x)2-4(4-x)+a[e2(4-x)-4+e4-2(4-x)]=x2-4x+a(e4-2x+e2x-4)=f(x),可得函数f(x)的图象关于直线x=2对称,要使函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一的零点,则f(2)=0,即4-8+2a=0,得a=2,故选A.
13.(,1) 解析 作出f(x)=|x-2|+1的图象(如图所示),直线y=kx过坐标原点O,当k≤0时,不满足方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,当k=1时,直线y=x与射线y=x-1(x≥2)所在直线平行,又kOA=,要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,由图象可知k∈(,1).
14.A 解析 由f(x)=x-=
则可作出函数f(x)=x-的图象(如图所示),
由方程f2(x)-f(x)-6=0,得f(x)=3或f(x)=-2,结合图象,由f(x)=3,可得x有1个解;由f(x)=-2,可得x有2个解.所以方程f2(x)-f(x)-6=0的实根个数为3,故选A.
15.[-ln 4,-1] 解析 设f(x0)+b=t,则f(t)=x0-b,所以f(x0)-t=f(t)-x0,即f(x0)+x0=f(t)+t,因为f(x)=lnx+x在定义域上为增函数,所以x0=t,所以f(x0)+b=x0,所以b=x0-f(x0)=x0-(lnx0+x0)=-lnx0,因为x0∈[e,4],所以b∈[-ln4,-1].课时规范练18 函数模型及其应用
基 础 巩固练
1.(2024·云南昆明模拟)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:
一次购 买件数 1~ 10件 11~ 50件 51~ 100件 101~ 300件 300件 以上
每件 价格/元 37 32 30 27 25
张师傅准备用2 900元到该批发市场购买这种玩具,赠送给一所幼儿园,张师傅最多可买这种玩具( )
A.116件 B.110件 C.107件 D.106件
2.(2024·浙江绍兴模拟)点声源在空间中传播时,衰减量ΔL与传播距离r(单位:米)的关系式为ΔL=10lg(单位:dB),则r从10米变化到40米时,衰减量的增加值约为( )(参考数据:lg 5≈0.7)
A.9 dB B.12 dB C.15 dB D.18 dB
3.(2024·河南驻马店模拟)水雾喷头布置的基本原则是:保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性,按水雾喷头流量q(单位:L/min)(计算公式为q=K)和保护对象的水雾喷头数量N(计算公式为N=)计算确定,其中P为水雾喷头的工作压力(单位:MPa),K为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商提供),S为保护对象的保护面积(单位:m2),W为保护对象的设计喷雾强度(单位:L/min·m2).水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象,如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35 MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为14 m2,保护对象的设计喷雾强度W为20 L/min·m2时,保护对象的水雾喷头的数量N约为(参考数据:≈1.87)( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
4. (2024·四川成都模拟)如图为某无人机飞行时,从某时刻开始15分钟内的速度V(x)(单位:米/分)与时间x(单位:分)的关系.若定义“速度差函数”v(x)为无人机在时间段[0,x]内的最大速度与最小速度的差,则v(x)的图象为( )
5.(2024·陕西咸阳模拟)陕西榆林神木石峁遗址发现于1976年,经过数十年的发掘研究,已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址,出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹.2019年科技人员对遗迹中发现的某具人类骨骼化石进行碳14测定年代,公式为t=5 730ln()÷0.693(其中t为样本距今年代,A0为现代活体中碳14放射性丰度,A为测定样本中碳14放射性丰度),已知现代活体中碳14放射性丰度A0=1.2×10-12,该人类骨骼碳14放射性丰度A=7.4×10-13,则该骨骼化石距今的年份大约为( )(参考数据:ln 1.621 6≈0.483 4,ln 1.7≈0.530 6,ln 1.5≈0.405 5,结果保留整数)
A.3 353 B.3 997 C.4 125 D.4 387
6.(2024·江苏常州模拟)北京时间2023年2月10日0时16分,经过约7小时的出舱活动,神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同,圆满完成出舱活动全部既定任务,出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭,火箭在发射时会产生巨大的噪声,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足关系式:d(x)=10lg.若某人交谈时的声强级约为60 dB,且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为107.8,则火箭发射时的声强级约为 dB.
7. (2024·青海西宁模拟)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分)的函数关系.要求如下:(1)函数在区间[0,60]上单调递增;(2)每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;(3)每天运动时间为20分钟时,当天得分为3分;(4)每天最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=k·log2(+2)+n(k>0).
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式;
(2)求每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼多少分钟.(参考数据:≈1.414,结果保留整数)
综 合 提升练
8.(2024·福建厦门模拟)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度,当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用.某种药物服用1单位后,体内血药浓度变化情况如图所示(服用药物时间对应t时),则下列说法中错误的是( )
A.首次服药1单位后30分钟时,药物已经在发挥疗效
B.若每次服药1单位,首次服药1小时血药浓度达到峰值
C.若首次服药1单位,3小时后再次服药1单位,一定不会发生药物中毒
D.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
创 新 应用练
9.(2024·湖北腾云联盟模拟)心理学家有时使用函数L(t)=A(1-e-kt)来测定人在时间t分钟内能够记忆的量L(t),其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生有100个单词需要记忆,心理学家测出在5分钟内该学生记忆25个单词,则该学生记忆率k所在区间为( )
A.(0,) B.()
C.() D.()
10.(2024·江苏扬州模拟)某市为了刺激当地消费,决定发放一批消费券.已知每投放a(0
(2)政府第一次投放2亿元消费券,4天后准备再次投放m亿元的消费券,将第二次投放消费券后过了x天(x∈R,0≤x≤2)时全市消费总额提高的百分比记为g(x).若存在x0∈[0,2],使得g(x0)≥80%,试求m的最小值.
课时规范练18 函数模型及其应用
1.C 解析 设购买的件数为x,花费为y元,则y=当x=107时,y=27×107=2889<2990;当x=108时,y=27×108=2916>2900,所以张师傅最多可购买这种玩具107件,故选C.
2.B 解析 当r=10时,ΔL1=10lg25π;当r=40时,ΔL2=10lg400π,则衰减量的增加值约为ΔL2-ΔL1=10lg400π-10lg25π=40lg2=40(lg10-lg5)≈40×(1-0.7)=12dB,故选B.
3.C 解析 依题意,P=0.35MPa,K=24.96,S=14m2,W=20L/min·m2,由q=K,N=,得N=6,所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个,故选C.
4.C 解析 由题意可得,当x∈[0,6]时,无人机做匀加速运动,V(x)=60+x,“速度差函数”v(x)=x;当x∈[6,10]时,无人机做匀速运动,V(x)=140,“速度差函数”v(x)=80;当x∈[10,12]时,无人机做匀加速运动,V(x)=40+10x,“速度差函数”v(x)=-20+10x;当x∈[12,15]时,无人机做匀减速运动,“速度差函数”v(x)=100,结合选项所给图象,C选项为“速度差函数”的图象,故选C.
5.B 解析 由题知,1.6216,∴t=5730ln1.6216÷0.693≈5730×0.4834÷0.693≈3997,故选B.
6.138 解析 设此人交谈时的声强为x1W/m2,则火箭发射时的声强为107.8x1,且60=10lg,解得x1=10-6,则火箭发射时的声强约为107.8×10-6=101.8W/m2,因此d(101.8)=10lg=138dB,所以火箭发射时的声强级约为138dB.
7.解 (1)对于模型①y=kx+b(k>0),当满足图象同时过点(0,0),(20,3)时,b=0,k=,即y=x,当x=60时,y=9>6,不合题意.
由题图可知,该函数的增长速度较慢,对于模型②y=k·1.2x+b(k>0),是指数型的函数,其增长是爆炸型增长,故②不合适.
对于模型③y=k·log2(+2)+n(k>0),对数型函数增长速度较慢,符合题意,故选模型③.
代入点(0,0),(20,3),则
解得k=3,n=-3,故所求函数为y=3log2(+2)-3.
经检验,当x=60时,y=3log2(+2)-3=6,符合题意.
综上,模型③合适,其函数解析式为y=3log2(+2)-3.
(2)∵每天得分不少于4.5分,
∴3log2(+2)-3≥4.5,即log2(+2),+2=4,即x≥40-20≈40×1.414-20≈37,
∴至少需要锻炼37分钟.
8.C 解析 由图象知,当服药半小时后,血药浓度大于最低有效浓度,故药物已发挥疗效,故A正确;由图象可知,首次服药1小时血药浓度达到峰值,故B正确;首次服药1单位,3小时后再次服药1单位,经过1小时后,血药浓度超过3a+6a=9a,会发生药物中毒,故C错误;服用该药物5.5小时血药浓度达到最低有效浓度,再次服药1单位可使血药浓度超过最低有效浓度且不超过最低中毒浓度,药物持续发挥治疗作用,故D正确,故选C.
9.B 解析 将A=100,t=5,L=25代入L(t)=A(1-e-kt),解得e-5k=,因为=e,()-4=>e,且函数y=x-4在区间(0,+∞)上单调递减,所以,因为()-3=e,()-3=
当0≤x≤2时,f(x)=2,解得1≤x≤2;当2
综上,1≤x≤5,即接下来的1~5天内,能使消费总额至少提高40%.
(2)记第一次投放2亿元消费券对全市消费总额提高的百分比为y1,第二次投放m亿元消费券对全市消费总额提高的百分比为y2.
当0≤x≤2时,y1=,y2=,若存在x0∈[0,2],使得g(x0)=y1+y2=80%=有解,即m有解.
令t=3+x0,则t∈[3,5],x0=t-3,令h(t)==-(2t+)+16(3≤t≤5),∵y=2t+在区间[3,2]上单调递减,在区间[2,5]上单调递增,∴h(t)在区间[3,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,又h(3)=2,h(5)=,∴h(t)min=,即()min=,∴m,则m的最小值为课时规范练19 导数概念及其意义、导数运算
基础 巩固练
1.(2024·山西太原模拟)若f(x)=x2-2sin x,则f'()=( )
A.π+2 B.π-2
C.π D.
2.(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.3x+2y-3=0 B.3x-2y-3=0
C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=0
3.(2024·河北石家庄模拟)已知直线x-y+3=0是曲线y=x3+mx+1的一条切线,则实数m=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
4.(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=( )
A.2 B.3 C.4 D.-1
5.(多选题)(2024·浙江嘉兴模拟)下列求导运算错误的是( )
A.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x
B.若f(x)=e-2x+1,则f'(x)=e-2x+1
C.若f(x)=,则f'(x)=
D.若f(x)=xln x,则f'(x)=
6.已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x-e1-x,则曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程为( )
A.y-e2+1=0
B.y+1=0
C.(e2-1)x-y+e2-2=0
D.2x+y+3=0
7.(2024·广东深圳模拟)若曲线f(x)=ln x+在(2,f(2))处切线的倾斜角为α,则tan α= .
8.(2024·云南玉溪模拟)曲线y=(x-4)ex过坐标原点的切线方程为 .
9.(2024·黑龙江哈尔滨三中检测)已知函数f(x)=x2 023+x3+2 023的导函数为f'(x),则f(2 023)+f(-2 023)+f'(2 023)-f'(-2 023)= .
10.(2024·江苏扬州模拟)若直线l是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=ex-2的切线,则直线l的方程为 .
综合 提升练
11.(多选题)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线,则( )
A.m=-2 B.m=-1 C.n=6 D.n=7
12.(多选题)(2024·辽宁沈阳模拟)下列四条曲线中,直线y=2x与其相切的有( )
A.y=2ex-2 B.y=2sin x
C.y=3x+ D.y=x3-x-2
13.(2024·湖南长沙联考)过点(2,0)作曲线f(x)=xex的两条切线,切点分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),则x1+x2=( )
A.-2 B.- C. D.2
14.(2024·河南新乡模拟)在曲线y=2x3-的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
15.(2024·陕西安康模拟)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线l:x+y-4=0距离的最小值为 .
创新 应用练
16.(2024·河南南阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,f'(x)是f(x)的导函数,则( )
A.f(2 023)=2 B.f'(x)的一个周期是4
C.f'(x)是奇函数 D.f'(1)=1
17.(2024·福建厦门模拟)已知函数f(x)=x2+aln x的图象有两条与直线y=2x平行的切线,且切点坐标分别为P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),则的取值范围是 .
课时规范练19 导数概念及其意义、导数运算
1.C 解析 因为f(x)=x2-2sinx,所以f'(x)=2x-2cosx,于是f'()=π,故选C.
2.B 解析 f(1)=0,切点为(1,0),f'(x)=,f'(1)=,所以切线方程为y=(x-1),即3x-2y-3=0,故选B.
3.D 解析 曲线y=x3+mx+1,可得y'=3x2+m,直线x-y+3=0是曲线y=x3+mx+1的一条切线,设切点横坐标为a,则切点纵坐标为a+3,则
解得a=-1,m=-2,故选D.
4.A 解析 由于函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,故f(5)=-5+8=3,f'(5)=-1,故f(5)+f'(5)=2,故选A.
5.BD 解析 对于A,f'(x)=(cosx)'=-sinx,故A正确;对于B,f'(x)=e-2x+1·(-2x+1)'=-2e-2x+1,故B错误;对于C,f'(x)=,故C正确;对于D,f'(x)=lnx+x=lnx+1,故D错误.故选BD.
6.D 解析 因为f(x)为偶函数,设x<0,则-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)-e1+x,所以f(-1)=-1.因为当x<0时,f'(x)=-e1+x,所以f'(-1)=-2,所以曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程为y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0.
7 解析 由于f'(x)=,则f'(2)=,故切线的斜率为,即tanα=
8.y=-e2x 解析 设切点为(x0,y0),则y0=(x0-4),y'=ex+(x-4)ex=(x-3)ex,所以切线的斜率为(x0-3),所以切线方程为y-(x0-4)=(x0-3)(x-x0),又切线过原点,所以0-(x0-4)=(x0-3)(0-x0),即-4x0+4=0,解得x0=2,所以切线方程为y=-e2x.
9.4 046 解析 因为f(2023)=20232023+20233+2023,f(-2023)=-20232023-20233+2023,
所以f(2023)+f(-2023)=2×2023=4046.
因为f'(x)=2023x2022+3x2,所以f'(2023)=2023×20232022+3×20232,f'(-2023)=2023×20232022+3×20232,所以f'(2023)-f'(-2023)=0,所以f(2023)+f(-2023)+f'(2023)-f'(-2023)=4046.
10.y=x-1或y=x 解析 设直线l:y=kx+b与曲线y=ex-2和y=lnx的切点分别为(x1,),(x2,lnx2),则k=,曲线y=ex-2在点(x1,)处的切线方程为y-(x-x1),即y=x+(1-x1),曲线y=lnx在点(x2,lnx2)处的切线方程为y-lnx2=(x-x2),即y=x+lnx2-1,则解得x2=1,或x2=e,所以k=1或,则b=-1或0,所以直线l的方程为y=x-1或y=x.
11.AD 解析 设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3),与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b,3b+m),对于函数y=x3(x>0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得a=1.所以13=3+m,即m=-2.对于函数y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,则-2b+n=3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7.
12.ABD 解析 直线y=2x的斜率为k=2.
A选项中,y'=2ex,令2ex=2,得x=0,当x=0时,y=0,因为点(0,0)在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=2ex-2相切;B选项中,y'=2cosx,令2cosx=2,得x=2kπ(k∈Z),当x=2kπ时,y=0,因为点(0,0)在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=2sinx相切;C选项中,y'=3-,令3-=2,得x=±1,当x=1时,y=4,当x=-1时,y=-4,因为(1,4),(-1,-4)都不在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=3x+不相切;D选项中,y'=3x2-1=2,得x=±1,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=-2,其中(-1,-2)在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=x3-x-2相切.故选ABD.
13.D 解析 由题意得f'(x)=(x+1)ex,过点(2,0)作曲线f(x)=xex的两条切线,设切点坐标为(x0,x0),则(x0+1),即(-2x0-2)=0,由于>0,故-2x0-2=0,Δ=12>0,由题意可知x1,x2为-2x0-2=0的两个实数解,故x1+x2=2,故选D.
14.B 解析 由y'=6x2+,令6x2+=7,得x=±1或x=±当x=1时,切点为(1,1),不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-1时,切点为(-1,-1),在直线y=7x+6上,切线与直线y=7x+6重合,舍去;当x=时,切点为(,-),不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-时,切点为(-),不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意.故在曲线y=2x3-的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有3条,故选B.
15.2 解析 过点P作曲线y=lnx-x2的切线,当切线与直线l:x+y-4=0平行时,点P到直线l:x+y-4=0距离最小.设切点为P(x0,y0)(x0>0),因为y'=-2x,所以切线斜率为k=-2x0,由题知-2x0=-1,解得x0=1或x0=-(舍去),所以P(1,-1),此时点P到直线l:x+y-4=0的距离d==2
16.B 解析 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2023)=f(2020+3)=f(505×4+3)=f(3)=-f(1)=-2,故A错误;f(x+4)=f(x),所以f'(x+4)=f'(x),所以f'(x)的一个周期是4,故B正确;因为f(-x)=-f(x),所以[f(-x)]'=[-f(x)]',所以-f'(-x)=-f'(x),所以f'(-x)=f'(x),所以f'(x)是偶函数,故C错误;例如f(x)=2sin(x),满足f(x)是奇函数且f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,所以f'(x)=πcosx,可得f'(1)=0≠1,故D错误,或由f(x+2)=f(-x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,因而f(x)在x=1处有极值,所以f'(1)=0,故D错误.故选B.
17.(0,) 解析 由题意可知f(x)=x2+alnx的定义域为(0,+∞),所以x1,x2∈(0,+∞),f'(x)=2x+,当切点为P(x1,f(x1))时,切线斜率为2x1+,当切点为Q(x2,f(x2))时,切线斜率为2x2+,因为两条切线与直线y=2x平行,所以2x1+=2,2x2+=2,即2-2x1+a=0,2-2x2+a=0,所以x1,x2是关于方程2x2-2x+a=0的两个正实数根,由Δ=(-2)2-4×2a>0,得a<,又x1+x2=1,x1x2=>0,可得0
1.(2024·江西鹰潭模拟)函数y=+ln x的单调递增区间为( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,+∞) D.(1,+∞)
2.(2024·河南许昌模拟)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
3. (2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)大致的图象是( )
4.(2024·山东济南模拟)若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰有三个单调区间,则实数a的取值范围为( )
A.[3,+∞) B.(-∞,3)
C.(-∞,0)∪(0,3) D.(-∞,0)
5.(2024·四川泸州检测)已如函数f(x)=ln x+(x-1)ex,则f(3x-2)
C.(,1)∪(2,+∞) D.(1,2)
6.(多选题)(2024·河北唐山模拟)若函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),则f(x)可能是( )
A.f(x)=ln(x-2)+x B.f(x)=
C.f(x)=x+ D.f(x)=x(ln x-1)
7.(2024·河北邢台模拟)函数f(x)=x+2cos x,x∈(0,)的单调递减区间为 .
8.(2024·山东青岛模拟)若函数f(x)=x-aln x的单调递减区间为(0,2),则实数a= .
9.(2024·湖北荆门联考)若函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 .
10.(2024·广东佛山联考)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
11.已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).
(1)若y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
综 合 提升练
12.(多选题)(2024·云南昆明模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+sin x,若f(t)+f(1-3t)<0,则实数t的值不可能是( )
A. B.1 C.2 D.0
13.(2024·河北石家庄模拟)函数f(x)=sin2x+x2的单调递增区间是 .
14.(2024·福建宁德期末)若函数f(x)=2x2-aln x+1在(a-3,a)内不单调,则实数a的取值范围为 .
15.(2024·浙江金华模拟)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|成立,求k的取值范围.
创 新 应用练
16.(2024·河南洛阳联考)设a=,b=,c=2ln 0.5,则( )
A.c>a>b B.b>a>c
C.b>c>a D.a>b>c
17.(2024·天津期末)已知函数f(x)=x2ln x+ax存在单调递减区间,则实数a的取值范围为 .
课时规范练20 利用导数研究函数的单调性
1.D 解析 函数的定义域为(0,+∞),y=+lnx=x++lnx,则y'=1-,令解得x∈(1,+∞),故选D.
2.C 解析 依题可知,f'(x)=aex-0在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex设g(x)=xex,x∈(1,2),所以g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)内单调递增,g(x)>g(1)=e,故e,即a=e-1,即a的最小值为e-1,故选C.
3.C 解析 由y=xf'(x)的图象知,当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,故f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,故f'(x)<0,当x∈(0,1),xf'(x)<0,故f'(x)<0,所以当x∈(-1,1)时,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,故f'(x)>0,f(x)单调递增.结合选项只有C符合,故选C.
4.C 解析 f(x)的定义域为R,且f'(x)=3ax2-6x+1,要使函数恰有三个单调区间,则f'(x)=0有两个不相等的实数根,所以解得a<3且a≠0,故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(0,3),故选C.
5.C 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+xex>0对任意的x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,由f(3x-2)
7.() 解析 由已知得f'(x)=1-2sinx,x∈(0,),令f'(x)<0,即1-2sinx<0,解得
10.解 (1)由题意得,当a=1时,f(x)=x2+x-lnx,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2x+1-
令f'(x)<0,得0
所以f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
(2)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-(a-2)-
(ⅰ)当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(ⅱ)当a>0时,令f'(x)<0,即2x-a<0,解得0
所以f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
11.解 (1)由题意知x>0,f'(x)=+2ax-(a+2)=,则f'(1)=a-1,由于函数y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,则f'(1)·(-)=-1,所以f'(1)=a-1=3,因此,a=4.
(2)因为a>0,则>0,f'(x)=,
①若0
③若a>2,则,当0
12.AD 解析 f(x)=ex-e-x+sinx的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex+sin(-x)=-(ex-e-x+sinx)=-f(x),则f(x)为奇函数,又f'(x)=ex+e-x+cosx≥2+cosx=2+cosx>0,当且仅当ex=,即x=0时等号成立,则f(x)在R上为增函数,由f(t)+f(1-3t)<0,得f(t)<-f(1-3t),则f(t)
13.(0,+∞) 解析 f'(x)=2sinxcosx+2x=sin2x+2x,f'(0)=0.
令f'(x)=g(x),则g'(x)=2+2cos2x≥0且不恒为0,所以f'(x)单调递增,所以当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,故函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
14.[3,4) 解析 因为f(x)=2x2-alnx+1在(a-3,a)内不单调,所以f'(x)=4x-在(a-3,a)内有零点,即方程4x-=0在(a-3,a)内有实根,即方程4x2=a在(a-3,a)内有实根,又函数f(x)=2x2-alnx+1的定义域为(0,+∞),所以解得3≤a<4,所以实数a的取值范围为[3,4).
15.解 (1)由题意得f'(x)=,令f'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)内单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.
综上可知,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)由题意存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,不妨设x1>x2>1,由(1)知当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减.
|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|等价于f(x2)-f(x1)≥k(lnx1-lnx2),即f(x2)+klnx2≥f(x1)+klnx1,
即存在x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,使f(x2)+klnx2≥f(x1)+klnx1成立.
令h(x)=f(x)+klnx,则h(x)在(1,+∞)上存在单调递减区间.
即h'(x)=<0在(1,+∞)上有解,即k<在(1,+∞)上有解,即k<()max,x∈(1,+∞).
令t(x)=,x∈(1,+∞),t'(x)=,当x∈(1,)时,t'(x)>0,t(x)在(1,)内单调递增,当x∈(,+∞)时,t'(x)<0,t(x)在(,+∞)上单调递减,所以t(x)max=t()=,所以k<
16.A 解析 构造函数f(x)=,其中0
17.(-∞,2) 解析 由题可知f'(x)=2xlnx+x+a<0在(0,+∞)上有解,令g(x)=2xlnx+x+a,则g'(x)=2lnx+3,令g'(x)>0,解得x>;令g'(x)<0,解得0
