浙教版八年级下册期中培优练习
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，属于中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2． 式子在实数范围内有意义，则n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1
C．x2﹣ ＝1 D．ax2﹣3x+1＝0
4．若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值为 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．4， 3 B．6 3 C．3 4 D．6 5
8．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°" ，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形中有一个锐角大于 45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形中有一个锐角小于45°
10．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．若一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和为 °
12．某单位招聘员工，其中一位应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分，若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是，，则该应聘者的综合成绩为 分．
13．请你给出一个c值，c= ，使方程x2﹣3x+c=0无实数根．
14．已知，，则代数式的值是 ．
15．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
16．设其中n为正整数，则的值为 .
三、解答题：本大题共8小题，共46分．其中第17-19每小题4分，第20题6分。第21-23题每小题6分，第24题10分．
17．如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF=DE．
18．已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
19．已知a、b满足等式；
（1）求a、b的值；
（2）试求的值．
20．为提高学生的数学思维能力，某中学开展“迎元旦数学知识竞赛”，八(1)班、八(2)班各选出5名选手参加竞赛，整理5名选手的竞赛成绩(满分为100分)绘制如图所示的统计图和不完整的统计表．
平均数 中位数 众数
八(1)班(分) 87 80
八(2)班(分) 85
（1）请你把表格补充完整；
（2）结合两班竞赛成绩的平均数中位数和众数，你认为哪个班的竞赛成绩较好；
（3）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．一个矩形的长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+1)2，又SABCD＝4x(x+1)+12.
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx-n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤)
23．阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
24．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件.按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价.
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件▲ 元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形 ，故不符合题意；
B、不是中心对称图形 ，故不符合题意；
C、是中心对称图形 ，故符合题意；
D、不是中心对称图形 ，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可得，n+1≥0，
∴ n≥-1.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开放数为非负数，即可求得.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
D、若a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b ，
∴，，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据估算无理数大小可得，进而根据不等式性质可得，则可求得a、b的值，最后根据平方差公式及二次根式的混合运算法则可求得代数式的值．
5．【答案】C
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ Δ=12-4×1×(-k)=1+4k≥0，
∴ k≥.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的判别式 Δ≥0时，方程有两个实数根，即可求得.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵数据a1，a2，a3的平均数为4，
∴ （a1+a2+a3）=4，
∴ （a1+2+a2+2+a3+2）= （a1+a2+a3）+2=4+2=6，
∴数据a1+2，a2+2，a3+2的平均数是6；
∵数据a1，a2，a3的方差为3，
∴ [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]=3，
∴a1+2，a2+2，a3+2的方差为： [（a1+2-6）2+（a2+2-6）2+（a3+2-6）2]
= [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]
=3.
故答案为：B.
【分析】根据数据a1，a2，a3的平均数为4可知 （a1+a2+a3）=4，据此可得出 （a1+2+a2+2+a3+2）的值；再由方差为3可得出数据a1+2，a2+2，a3+2的方差
8．【答案】C
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故答案为：A．
【分析】根据反证法证明的步骤，第一步假设结论不成立直接得出答案即可．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
11．【答案】1440
【解析】【解答】解：由题意得：，
该多边形的内角和为.
故答案为：1440.
【分析】根据多边形的外角和为360°，求出边数，再代入多边形内角和公式，即可得解.
12．【答案】87
【解析】【解答】解： 该应聘者的综合成绩为 （分）.
故答案为：87.
【分析】根据 该应聘者的综合成绩=（笔试成绩×70％+面试成绩×30％）÷（70％+30％）列式计算即可.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：由题意知△=9﹣4c＜0，
∴c＞ ，
满足条件c值有很多，例如：3、4、5．
故填：3（大于 即可）．
【分析】由于方程无实数根，则△＜0，由此建立关于c的不等式，然后解不等式即可求出c的取值范围．
14．【答案】4
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
16．【答案】
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】本先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解．
17．【答案】【解答】证明：如图，连接AD、BC，∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵点E、F关于点O中心对称，∴OF=OE，在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF=DE．
【解析】【分析】连接AD、BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=DO，根据E、F关于点O中心对称可得OE=OF，然后利用“边角边”证明△BOF和△DOE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
18．【答案】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1=2，
解得m=1．
【解析】【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此列出混合组，求解即可.
19．【答案】（1）解：
，解得．
把代入方程得．
，．
（2）解：当，时，．
20．【答案】（1）解：从左往右填：89 85 85 解析：八(1)班5名选手的成绩分别是80分，85分，90分，80分，100分，
把这些数从小到大排列为80， 80，85 ，90， 100，
则八( 1)班成绩的中位数是85分；
八(2)班成绩的平均数是=89(分)，
85分出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分．
（2）解：八( 1)班的平均成绩是87分，八(2)班的平均成绩是89分，八(2)班平均成绩高于八(1)班；两班的中位数都是85分；八(1)班的众数是80分，八(2)班的众数是85分，八(2)班高于八(1)班，则八(2)班竞赛成绩较好．
（3）解：八(1)班的方差：×[( 80-87)2+(85-87)2+(90-87)2+(80-87)2+( 100-87)2]=56(分2)，
八(2)班的方差：×[(80-89)2+(100-89)2+(95-89)2+(85-89)2+(85-89)2]=54(分2)，
∵八(1)班的方差大于八(2)班的方差，
∴八(2)班的成绩较为整齐．
【解析】【分析】 （1）根据平均数、中位数和众数的定义进行解答即可得出答案；
（2）从平均数、中位数和众数三个方面进行分析，即可得出答案；
（3）根据方差的意义进行解答即可．
21．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
22．【答案】解：①方程变形为x(x+m)＝n；
②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+m)2，又SABCD＝4x(x+m)+m2.
∴(x+x+m)2＝4x(x+m)+m2，又x(x+m)＝n，
∴(2x+m)2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝(-m)(m＞0，n＞0).
【解析】【分析】根据题目中解一元二次方程的具体过程即可求解。
23．【答案】解：当x﹣1≥0即 x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0， 解得x1＝0，x2＝1， ∵x≥1，∴x＝1； 当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1 ∵x＜1，∴x＝﹣2， ∴原方程的根为x1＝1，x2＝﹣2．
【解析】【分析】将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，即为|x﹣1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出x的值，即为原方程的解．
24．【答案】解：任务1：网上毛利润为： 元
实体店毛利润为： 元
任务2：设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为： ＋ =
根据题意得， ，
解得，
∴60－x=58或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元.
任务3：57
【解析】【解答】解：任务3：设每天销售这种小商品的总毛利润为W元，
由（2）知W==-20（x-3）2+8180，
∴当x=3时，W有最大值，
∴此时的销售价为60-3=57（元），
故答案为：57.
【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量即可求解；
任务2：设网上销售价下降x元/件，先分别求出网上毛利润和实体店毛利润，再根据总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润，列出方程并解之即可；
任务3：根据（2）的结论，可得总毛利润W=-20（x-3）2+8180，利用二次函数的性质即可求解.
