数学试题（一）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的值等于（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵=3，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．
2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意；
B.一般的直角三角形不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
C.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意；
故选：C．
3. 如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的定义，相似三角形的判定及性质，相似多边形的性质；由位似图形的定义得四边形四边形，由相似多边形的性质得，可判定，再由相似多边形的性质即可求解；理解位似图形的定义，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形和是以点O为位似中心的位似图形，
四边形四边形，
，
，
，
，
；
故选：B．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选C．
5. 估计的值应在（ ）
A. 0与1之间 B. 1与2之间
C. 2与3之间 D. 3与4之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先利用二次根式的混合运算求出，估算出，即可得解．
【详解】解：，
，
，即，
，
故选：B．
6. 若，则代数式的值为（ ）
A. 7 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求代数式的值，将变形为，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键．
【详解】解：，
，
故选：D．
7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案用的木棍根数是（ ）
A. 24 B. 29 C. 34 D. 39
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律探索，由图得出第个图案用木棍根，再令，计算即可得出答案．
【详解】解：由图可得：
第个图案用木棍：（根），
第个图案用木棍：（根），
第个图案用木棍：（根），
…，
第个图案用木棍（根），
当时，（根），
故选：C．
8. 如图，点是上两点，连接并延长交切线于点，连接、、、，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由切线的性质得，求出，再由等边对等角得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解：切于，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
9. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和的中点，于点P，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交的延长线于点，根据题意证出，得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，在等腰中易求出最终结果；
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，准确作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】延长交的延长线于H点，
是菱形，E，F分别是边和的中点
,
在和中
是的中点
在中，是中线，是斜边
故选：D．
10. 对于整式：、、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列相关说法①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；②若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则；③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有32种不同的结果．正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，根据绝对值的意义、整式的加减运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
①正确，符合题意；
，，
，
解得：，
②正确，符合题意；
由题意得：、、、、的绝对值各有2种，
“全绝对”操作后的式子化简后有种不同的结果，
③错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②，共个，
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若分式的值为0，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．熟知分式值为0的条件是分母不为0分子为0是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，可得共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，
∴小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 __．
【答案】
【解析】
【分析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达7亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵某地第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元，
依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．
故答案为：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为4，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，据此可得答案．
【详解】解：∵反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，轴，
∴，
∵反比例函数的图象进过第二象限，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】3-6
【解析】
【分析】连接BE，可得是等腰直角三角形，弓形BE的面积=，再根据阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积，即可求解．
【详解】连接BE，
∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，
∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，
∵∠CAB=45°，
∴是等腰直角三角形，即：AE=BE，
∴弓形BE的面积=，
∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积
=+-=3-6．
故答案是：3-6．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键．
16. 如图，已知正方形边长是4，点P是线段上一动点，过点D作于点E．连接，若，则的面积是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；过作，由正方形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建直角三角形及全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
；
故答案：．
17. 若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解为非正数的所有整数a的和是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，根据不等式组至少有3个整数解得出的取值范围，根据分式方程解为非正数可求出的取值范围，根据分式有意义的条件，结合为整数得出的所有值，再求和即可得答案．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴，
解得：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为非正数，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵为整数，
∴的值为、、、，
∴所有整数a的和为．
故答案为：
18. 一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最小值为______________；在能被7整除的情况下，对于“对称数”，有，且k为正整数，当取得最大值时，_____________．
【答案】 ①. 1881 ②. 12342
【解析】
【分析】此题考查因式分解的应用，理解题意，分类讨论，搞清楚数量关系是解决问题的关键：
根据题意可得，由于能被7整除，则是7的倍数，即可得到a，b的值；同理可得，因为，得到
，分类讨论即可．
【详解】解：“对称数”，
则，
∴
∵能被7整除，A最小，各数位上的数字不完全相同且均不为0，
∴是7的倍数且，，
∴的最小值为，
∴，
∴A的最小值是1881；
∵的最大值为7，
∴当时，A的最大值为9229；
∵“对称数”，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
∵k为正整数，
∴，
∴或，
当时，n可取0,1,2,3,4，故m应为1，3，5，7，9；
当时，n可取0,1，故m应为7,9；
∵
，
∴要使取得最大值，a与b尽可能大，m与n尽可能小，尤其是a与m，
∴A最大为9229，B最小为3113，
∴，
故答案为：1881，12342．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键：
（1）先分别计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项；
（2）先化简分式及计算减法，将除法化为乘法计算即可
【详解】解：（1）
；
（2）
20. 如图，在中，射线，
（1）尺规作图：在射线上取点D，使得，连接，过点C作的垂线，交于点O、交延长线于点E，连接．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法，结论）
（2）小明在（1）中所作图形发现四边形是菱形，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整：
证明： ① ，
又， ② ，
，
在和中
， ③ ，
又， ④ ，
四边形是平行四边形．（ ⑤ ）
又 平行四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2），，，，对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】此题考查了基本作图、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，准确作图和正确推理是解题的关键．
（1）按照步骤作图即可；
（2）证明，则，再证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形．又由即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：
，
又，，
，
在和中
，
∴，
，
又，
，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又
平行四边形是菱形．
故答案为：，，，，对角线互相平分的四边形是平行四边形
21. 为了圆梦中考，某校九年级的同学们刻苦训练跳绳，为进一步了解同学们的训练情况，从初三年级甲班和乙班中，各随机抽取40名同学进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟跳绳完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中，，，，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题：
①甲班1分钟跳绳个数的扇形统计图
②乙班1分钟跳绳个数频数分布统计表
分组
频数
③乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，，
④甲班和乙班1分钟跳绳个数的平均数、中位数、A等级所占百分比如下表：
班级 平均数 中位数 等级所占百分比
甲班
乙班
（1）____________，____________，____________；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生跳绳水平相对较差，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知该校九年级共有1600名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于200为优秀，请估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有多少人？
【答案】（1），，
（2）乙班级学生跳绳水平相对较差，理由见解析
（3）估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，用样本估计总体，
（1）用抽取的总人数减去、、等级人数即可求得值；根据中位数定义可求得值；用即可求得，从而得出值；
（2）可比较中位数，众数与A等级点的百分比得出结论；
（3）利用样本估计总体可求解．
【小问1详解】
解：；
乙班等级占有人，等级有人，
乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，，
又乙班中位数是从高到低排列第位和第位，
∴中位数，
∵
∴．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：乙班级学生跳绳水平相对较差，
∵从中位数看，乙班中位数小于甲班，
∴乙班级学生跳绳水平相对较差．（理由不唯一）
【小问3详解】
解：甲班等级人数为（人），
乙班等级人数为2人，
答：估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有人．
22. 清明节祭拜祖先，悼念已逝亲人的习俗仍在盛行．某花店准备从花市购进菊花、白百合进行销售，若每束菊花进价比每束白百合进价多5元，且用6000元购进菊花的数量是用2500元购进白百合数量的2倍．
（1）求每束菊花的进价是多少元？
（2）该花店准备将每束菊花的售价定为45元，每束白百合的售价定为36元．根据市场需求，花店决定向花市再购进一批花束，且购进白百合的数量比购进菊花的数量的2倍还多100束，若本次购进的两种花束全部售出后，总获利不少于12200元，求该花店本次购进菊花至少多少束？
【答案】（1）每束菊花的进价是元
（2）该花店本次购进菊花至少300束
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
（1）设每束菊花的进价是元，根据每束菊花进价比每束白百合进价多5元，且用6000元购进菊花的数量是用2500元购进白百合数量的2倍，列出分式方程进行计算即可；
（2）设该花店本次购进菊花束，根据购进白百合的数量比购进菊花的数量的2倍还多100束，本次购进的两种花束全部售出后，总获利不少于12200元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设每束菊花的进价是元，则每束白百合的进价为元，
由题意，得：，
解得：，经检验是原方程的解，
答：每束菊花的进价是元；
【小问2详解】
由（1）知，每束白百合的进价为（元）；
设该花店本次购进菊花束，则购进白百合束，由题意，得：
，
解得：；
答：该花店本次购进菊花至少300束．
23. 如图，在中，，，，．若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为．
（1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围；
（2）若函数，请在给定的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）
（2）图见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小
（3）
【解析】
【分析】本题考查了含直角三角形的性质、一次函数的应用、画函数图象、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由直角三角形的性质得出，分两种情况：当点在上，即时，；当点在上运动时，即，作于；分别根据三角形面积公式计算即可得出答案；
（2）根据解析式画出函数图象，再根据函数图象写出性质即可；
（3）根据函数图象即可得出答案．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，
当点在上，即时，，
的面积为，
当点在上运动时，即，作于，
此时，
，
，
，，
，
的面积为，
综上所述，；
【小问2详解】
解：画出和的函数图象，如图所示，
由图可得：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；
【小问3详解】
解：由图象可得，时，的取值范围为．
24. 如图，早上一渔船以60海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行2个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上．
（1）求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号）
（2）天气预报显示12：30台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】（1）海里
（2）73.5海里/时
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
（1）作辅助线，构建直角三角形，设，则，根据30角的正切列式可得的值，确定的长；
（2）渔船从早上出发，航行2个小时到达处，天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船提前1个小时抵达避风港，即在上航行需要2个小时，根据速度路程可得结论．
【小问1详解】
解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，
由题意可知，，，，，，
在中，
，
在中，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
（海里）；
答：海港与灯塔之间的距离是海里；
【小问2详解】
，
，，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
加速后的最小速度为：（海里/时），
答：渔船加速后的最小速度73.5海里时．
25. 如图，抛物线经过点和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第二象限内抛物线上一点，连接，点P为线段下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接、，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于的点M的横坐标．
【答案】（1）
（2），最大值为；
（3）的横坐标为：或或或或或或．
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求解，可得为，如图，过作轴于，证明，，可得，设，可得，再利用二次函数的性质解答即可；
（3）先求解，可得直线为，可得新的抛物线为：，证明，，设，如图，当在轴的左侧时，，如图，当在轴的右侧时，，再利用相似三角形的判定方法建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点和．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵点为第二象限内抛物线上一点，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∵，
设为，
∴，解得：，
∴为，
如图，过作轴于，
∵，
∴，，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴当时，最大值为，
此时；
【小问3详解】
∵，
∴，而，
同理可得直线为，
∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将原抛物线往右，往上都平移1个单位；
∴新的抛物线为：，
∵，，，
∴，
，
，
∴，，
设，
如图，当在轴的左侧时，，
∴当时，相似于，
∴，
整理得：或，
解得：或，（不符合题意的根舍去）
当时，相似于，
∴，
整理得：或，
解得：或，（不符合题意的根舍去）
如图，当在轴的右侧时，，
∴当时，相似于，
∴，
整理得：或，
解得：或，（不符合题意的根舍去）
当时，相似于，
∴，
整理得：或，
解得：（不符合题意的根舍去）
综上：的横坐标为：或或或或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
26. 如图，在直角中，．点D为内一点，且，E为线段的中点，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，连接，若，，过点E作交于F，求证：；
（3）如图3，过点D作于点M，于点N，连接，若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，分别求得进而根据为线段的中点，即可求解；
（2）过点作，，连接，设交于点，证明，得是等腰直角三角形，根据平行线分线段成比例可得得出，进而根据，，即可得证；
（3）以为边作等边三角形，的外心为，过点分别作，垂足为，则，四点共圆，在上，为定值，当最小时，最小，连接，当在上时，最小，进而求得，设的中点，连接，过点作于点，设，则，求得，根据得出，进而即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∴
∵为线段的中点，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作，，连接，设交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵E为线段的中点，
∴
∴，
∵
∴
又，
∴
∴
【小问3详解】
如图所示，如图所示，以为边作等边三角形，的外心为，过点分别作，垂足为，则
∵，，
∴四点共圆，
又∵，
∴在上，
∵，，，则，
∴，即为定值，
∴当最小时，最小，
连接，当在上时，最小，
∵，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
如图所示，设的中点，连接，过点作于点，
∴
∴
设，则
∴
又∵
∴
解得：
∴
即的最小值为
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．数学试题（一）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的值等于（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D.
2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形
3. 如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 估计的值应在（ ）
A. 0与1之间 B. 1与2之间
C. 2与3之间 D. 3与4之间
6. 若，则代数式的值为（ ）
A. 7 B. 4 C. D.
7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案用的木棍根数是（ ）
A. 24 B. 29 C. 34 D. 39
8. 如图，点是上两点，连接并延长交切线于点，连接、、、，若，则（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和的中点，于点P，则（ ）
A. B. C. D.
10. 对于整式：、、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列相关说法①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；②若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则；③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有32种不同的结果．正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若分式的值为0，则_____________．
12. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率______．
13. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 __．
14. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为4，则_____________．
15. 如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
16. 如图，已知正方形边长是4，点P是线段上一动点，过点D作于点E．连接，若，则的面积是_____________．
17. 若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解为非正数的所有整数a的和是_______．
18. 一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最小值为______________；在能被7整除的情况下，对于“对称数”，有，且k为正整数，当取得最大值时，_____________．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）
（2）
20. 如图，在中，射线，
（1）尺规作图：在射线上取点D，使得，连接，过点C作的垂线，交于点O、交延长线于点E，连接．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法，结论）
（2）小明在（1）中所作图形发现四边形是菱形，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整：
证明： ① ，
又， ② ，
，
在和中
， ③ ，
又， ④ ，
四边形是平行四边形．（ ⑤ ）
又 平行四边形是菱形．
21. 为了圆梦中考，某校九年级的同学们刻苦训练跳绳，为进一步了解同学们的训练情况，从初三年级甲班和乙班中，各随机抽取40名同学进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟跳绳完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中，，，，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题：
①甲班1分钟跳绳个数的扇形统计图
②乙班1分钟跳绳个数频数分布统计表
分组
频数
③乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，，
④甲班和乙班1分钟跳绳个数的平均数、中位数、A等级所占百分比如下表：
班级 平均数 中位数 等级所占百分比
甲班
乙班
（1）____________，____________，____________；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生跳绳水平相对较差，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知该校九年级共有1600名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于200为优秀，请估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有多少人？
22. 清明节祭拜祖先，悼念已逝亲人的习俗仍在盛行．某花店准备从花市购进菊花、白百合进行销售，若每束菊花进价比每束白百合进价多5元，且用6000元购进菊花的数量是用2500元购进白百合数量的2倍．
（1）求每束菊花的进价是多少元？
（2）该花店准备将每束菊花的售价定为45元，每束白百合的售价定为36元．根据市场需求，花店决定向花市再购进一批花束，且购进白百合的数量比购进菊花的数量的2倍还多100束，若本次购进的两种花束全部售出后，总获利不少于12200元，求该花店本次购进菊花至少多少束？
23. 如图，在中，，，，．若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为．
（1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围；
（2）若函数，请在给定的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
24. 如图，早上一渔船以60海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行2个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上．
（1）求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号）
（2）天气预报显示12：30台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
25. 如图，抛物线经过点和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第二象限内抛物线上一点，连接，点P为线段下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接、，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于的点M的横坐标．
26. 如图，在直角中，．点D为内一点，且，E为线段的中点，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，连接，若，，过点E作交于F，求证：；
（3）如图3，过点D作于点M，于点N，连接，若，，求的最小值．
