七年级数学（一）
试卷满分100分，考试时间90分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 如果一个正方形的面积等于2，则这个正方形的边长为（ ）
A. 1 B. 1.5 C. D.
3. 估计的值在（ ）
A. 1和2 之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
4. 如图，街道与平行，拐角，则拐角的度数为（ ）
A. 43° B. 53° C. 107° D. 137°
5. 如果点的坐标为，则点到轴的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D.
6. 下列命题是真命题的为（ ）
A. 分数都是有理数 B. 最小的正实数是1 C. 无限小数都是无理数 D. 最小的整数是0
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 的相反数为
B. 的绝对值是
C. 若，则
D. 若，则
8. 已知，且，则用含有的式子来表示，正确的为（ ）
A. B. C. D.
9. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则的度数是（ ）
A. 110° B. 90° C. 75° D. 45°
10. 三角形三个顶点的坐标分别为，则三角形的面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在题中横线上.
11. 计算的结果为___________.
12. 若制作一个体积为的正方体形状的包装箱，则这个包装箱的棱长应为____________.
13. 请你任意写出一个点，使得满足二元一次方程，这个点可以为____________.
14. 如图，已知，，，则的度数为____________°.
15. 如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿所在直线向右平移，所得对应图形为三角形，设平移时间为秒，若要使成立，则的值为____________.
16. 如图，点在数轴上，点表示的数是-1，将点向右平移了个单位长度得到点，且点是的中点，则点表示的数为________________；的中点表示的数为____________.
三、解答题：本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.（本小题6分）
比较下列各组数的大小：
（1）；
（2）；
（3）
18.（本小题6分）
解方程组
19.（本小题8分）
为了解天津市的地铁线路图，某班同学将网上查到的部分线路示意图（如图1），并利用网格画出如图2所示的示意图.现在根据图2建立了平面直角坐标系，表示“直沽站”的点的坐标为，且测得点站恰好在格线的交点上（允许有测量误差）.
（1）你找一找“周邓纪念馆站”（点）的位置，在图2的坐标系中在哪个象限？“小白楼站”（点）的位置在哪个象限？
（2）在这个平面直角坐标系中，图中表示“远洋国际中心站”的点的坐标为____________；表示“津湾广场站”的点的坐标为____________；表示“东南角站”的点的坐标为____________；表示“天津站”的点的坐标为______________；
20.（本小题8分）
已知：如图，直线被直线所截，.
求证：.
证明：
∵（已知），且（ ），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ），
∵（已知）
∴（ ）
即，
∴（ ）
21.（本小题8分）
如图，三角形，点是的边上的一点，点是的边上的一点，且，.
（1）等于多少度？为什么？
（2）①请你利用三角板和直尺，过点画出的平行线，交于点；
②画图后，的度数是多少度？说明理由.
（3）通过这道题，能说明三角形的内角和是180°吗？说明理由.
22.（本小题8分）
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料，每只小牛1天约需饲料.你能否通过计算检验他的估计是否准确？
23.（本小题8分）
如图1，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，长方形的顶点，点在第二象限.
（1）点的坐标为____________；长方形的面积为_______________；
（2）将长方形沿轴向右平移，得到长方形，点的对应点分别为.长方形与重叠部分的面积为.
小王同学猜想：当点恰好落在边上时（如图2）最大；小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角三角形的中央位置（如图3），即的中点与的中点恰好重合时最大.
请你探究一下这两种位置中，哪一种位置的比较大，并说明理由.（提示：设与长方形的边分别交于两点，可令图2中的）
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C A A D C B
二、填空题
11. 12. 13. （答案不唯一） 14. 56 15. 2或6 16. ；
三、解答题
17. 解：略
18. 解：由①得：③，
将③代入②解得：，
将代入③，解得：，
∴方程组的解为.
19. 解：（1）在第三象限；在第四象限；
（2）
20. 证明：∵（已知），且（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等式性质）
即，
∴（内错角相等，两直线平行）.
21. 解：
（1）66°，∵，∴；
（2）70°，∵，∴，
∵，∴；
（3）能，∵，∴，
又由（2）知，
∴.
即的内角和是180°.
22. 解：设每只大牛1天约需饲料，每只小牛1天约需饲料.
根据题意，得
，解得
∴每只大牛1天约需饲料，每只小牛1天约需饲料.
答：李大叔对于大牛的估计正确，对于小牛的估计不对.
23. 解：（1）；3.6；
（2）小王同学猜想：当点恰好落在边上时，如图2，
∵是等腰直角三角形，可知，
再由平移长方形可知，，∴，
∴是等腰直角三角形.
∴，∴的面积.
∴长方形与重叠部分的面积为.
小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角三角形的中央位置时，
如图3，可知此时的，
∴的面积.
∴长方形与重叠部分的面积为.
而，∴，
∴小张同学的方法使得重叠部分的面积更大.
（注：以上为参考答案，其他解法相应给分）.
