2024年山东省青岛市莱西市中考数学一模试卷
一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“﹣30”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食
C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
2．2024年巴黎奥运会运动项目图标设计大量使用了对称元素．下列分别是划船、篮球、摔跤、冲浪四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．划船 B．篮球
C．摔跤 D．冲浪
3．莱西湖是胶东半岛第一大水库，是山东省第二大水库，最大库容量4.02亿立方米．将数据402000000用科学记数法表示为（ ）
A．402×106 B．4.02×108 C．4.02×106 D．4×108
4．如图所示零件的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算错误的是（ ）
A．2a2+4a2＝6a4
B．6x4÷2x4＝3x4
C．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
D．（﹣3x3）2＝9x6
6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
7．某餐厅供应单价为10元、18元、25元三种价格的盒饭，如图是该餐厅某月三种盒饭销售情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅这个月销售盒饭的平均单价为（ ）
A．17元 B．18元 C．19元 D．20元
8．小华将一副三角板（∠A＝∠D＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AC∥EF，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．函数y1＝x（x＞0），的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．两函数图象的交点坐标为（2，2）
B．直线x＝1分别与两函数图象交于A，B两点，则线段AB的长为3
C．当x＞1时，y2＞y1
D．当x＞0时，y1的值随着x值的增大而增大，y2的值随着x值的增大而减小
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）
11．计算＝ ．
12．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图，小刚将二维码打印在边长为10cm的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ．
13．笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 支．
14．如图，在△ABC中，，，，点D为AB的中点，以C为圆心，CD为半径画弧，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是 .
15．二次函数y＝x2﹣2x﹣2中，当0≤x≤4时，y的取值范围是
16．在平面直角坐标系中，用12个含有30°角的直角三角形拼成如图所示的图形，若A0A1＝，则图中与△OA11A12位似的三角形直角顶点的坐标是 .
三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
17．已知：∠AOB，点P为OA边上一点．
求作：点Q，使点Q在∠AOB的平分线上，且PQ∥OB．
四、解答题（本题满分68分，共9道小题）
18．（1）解不等式组：；
（2）计算：．
19．如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是﹣6，﹣1，5，转盘B上的数字分别是6，﹣7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b＞0，则小聪获胜；若a+b＜0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
20．某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜（分 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜（分 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 88 96
乙种西瓜 88 90
（1）a＝ ，b＝
（2）设甲、乙两种西瓜得分的方差分别为S甲2，S乙2，则S甲2 S乙2（填“＞”，“＜”或”＝”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
21．如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB＝10cm，BC＝6cm，当AB，BC转动到∠ABC＝90°时，∠BCD＝37°时，求点A到CD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．【问题情境】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边AD上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG，BE，则DG与BE的数量关系是 ．
【类比探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝10，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝2：5，连接DG，BE．判断线段DG与BE的数量关系： ．
【拓展提升】
（3）如图3，在（2）的条件下，当GF经过点D时，则矩形CEFG的面积是 ．
23．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校丰富大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两种跳绳共48根，B种跳绳数量不少于A种跳绳数量的2倍，那么购买跳绳所需的最少费用是多少元？
24．如图①，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，以BD为直径作⊙O，点A在⊙O上，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：△ABF≌△CAD；
（2）如图②，当AC与⊙O相切时，四边形AFBO是什么特殊四边形？证明你的结论．
25．如图1，河面上架有一座彩虹桥，桥的支撑梁呈抛物线形．建立如图2所示的平面直角坐标系（桥面AB所在直线为x轴），已知OA＝6m，OB＝16m，OC＝8m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当桥面AB离河面MN的高度是4m时，求抛物线形支拟梁在河面上的跨度MN是多少米？
（3）若点P为线段BC上一点，以OA，OP为邻边做 AOPQ，当点Q在抛物线上时，求P点的坐标．
26．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，OB＝OD＝OA＝4cm，OC＝3cm，点P从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动；同时，点Q从点D出发，沿DO方向匀速向点O运动，速度都为1cm/s．过点Q作EF⊥BD，分别交AD，CD于点E，F，连接PE交AC于M．设运动时间为t（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点P在∠EFC的平分线上？
（2）设四边形EFCP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接MF，是否存在某一时刻t，使得CP∥MF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
