2024北京十三中初一（下）期中
数 学
2024 年 4 月
1.本试卷共 6 页，共三道大题，26 道小题，满分 100 分。考试时间 100 分钟。
考 2.在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号。
生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须 4.选择题、作图题在答题卡上用 2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题
知 卡上完成作答。
5.考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回。
一、选择题（本题共 16分，每小题 2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．选项是符合题意的.
1． 在平面直角坐标系中，点 M（-2，3）在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列命题中，是假命题的是
A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B. 对顶角相等
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
3．若 a>b，则下列不等式成立的是
a b a b
A．a-3
4．如图，点 E 在射线 BC 上，下列条件中能判断 AD∥BC 的是
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3
C．∠2=∠4 D．∠3=∠4
22 2
5．下列实数 2 ， ， ， 3 5 ， 4 中，无理数有
7 2 1
A．1 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，三角板的顶点在直尺
的一边上，已知∠1=30°，则∠2 的大小是
A．30° B．45°
C．60° D．65°
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7．如图，是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正
东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（ 1， 1），表示本仁殿的点的坐标为
（2， 2），则表示乾清门的点的坐标是
A.（0， 2） B. （0， 2） C.（ 3， 4） D.（2， 0）
8. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，
4 个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的
面积为 81，8 个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其
阴影部分的面积为 64，12 个长方形纸片围成如图③所示的
正方形，其阴影部分的面积为
A．48 B．36 C．50 D．49
二、填空题（每题 2分，共 16分）
9．已知 x 2+ | 2x+y |= 0, 则 x+y = .
10. 解方程 4x2-25=0，则 x=_____________.
x =1，
11．已知 是关于 x，y 的二元一次方程
y = 2
x + ny = 3的一个解，则 n =
12.如图，用边长为 3 的两个小正方形拼成一个大正方形，
则大正方形的边长最接近的整数是
13. 在平面直角坐标系中，点 P(x，y)在第二象限，且 P 到 x 轴，y 轴的距离分别为 3，7，则 P 点的坐标为
________．
14．如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，EM 与 BC
的交点为 G，D、C 分别在 M 、N 的位置上，若∠EFG=50°，
则∠2=_________．
15．已知点 P(2m 1,4 m)在过点 A(2,3)，且与 x 轴平行的直线上，则 P 点坐
标为__________.
16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断
地移动，每移动一个单位，得到点 A1（0，1），A2（1，1），
A3（1，0），A4（2，0），…那么点 A2024的坐标为
三、解答题（共 68分，其中 17题 8分，18题 5分，19、24题每题 6分，21题 8分，20、22-23、25-26每
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题 7分）
1
17.计算 （1） 36 + 3 8 ； （2） 3( 3 2)+ 1 3
16
2x+y = 3
18. 解方程组：
3x 2y = 8
C
x 6 7 3x
19．解不等式 1 ，并把解集在数轴上表示出来
E
.
3 4
F
20. 如图，在△ABC 中， AD 平分 CAB ，F 是 AC 上一点， 1 D
过点 F 作 FE // AD 交 BC 于点 E，点 G 在 AB 上且满足 1+ 2 =180 ． 2
（1）求证：CA // DG ； 3
A B
（2）若 FE ⊥ BC 于点 E ， 3 = 78 ，求 BDG 的度数． G
21. 北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织
400 名学生参加志愿活动，已知用 1 辆小客车和 2 辆大客车每次可运送学生 110 人；用 4 辆小客车和 1 辆大
客车每次可运送学生 125 人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车 a 辆，大客车 b 辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，
请你设计出所有的租车方案．
22.在平面直角坐标系 中，△ 的三个顶点坐标分别为 (-3，2)，
(-3，-2)， (0，-1).
（1）在所给的图中,画出平面直角坐标系； A
再将△ 向右平移 4 个单位长度，然后再向上平移 3 个单位长
度，可以得到△ 1 1 1,画出平移后的△ 1 1 1； C
并求△ 的面积；
B
（2）已知点 在 轴上，且△ 的面积为 3，直接写出 点的
坐标为 ．
23. 请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形 ABCD ，点 E、F 分别在边 CD 两方的延长线上，连接 FA，若∠2+∠3=180°，∠B =∠
1.
求证：∠4=∠F .
证明：∵点 E 在 CD 的延长线上（已知）
∴∠2+∠ =180°
又∵∠2+∠3=180°（已知）
∴∠3=∠ （ ）
又∵∠B=∠1（已知）
∴∠B=∠ （ ）
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∴AB∥FD（ ）
∴∠4=∠F（ ）
1 1
24．对有序数对 (m, n)定义“f 运算”： f (m, n) = ( m + a, n b)，其中 a、b 为常数． f 运算的结果也是
2 2
一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点 A (x, y)规定“F 变换”：点 A (x, y)在 F 变
换下的对应点即为坐标为 f (x, y)的点 A′．
（1）当a = 0,b = 0 时，f (6, 8) =________________；
（2）若点 P ( 2, 2) 在“F 变换”下的对应点是 (3b, a) ，求 a、b 的值．
A E B
E
A 2 B
F
F
1
C G D
C G D 图①
图②
25.在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线 AB，CD 和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺 60°角的顶点 G 放在直线 CD 上，∠F=90°.若∠1=2∠2，
则∠1=______°；
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点 E，G 分别放在直线 AB，CD 上，请用等式表示∠
AEF 与∠FGC 之间满足的数量关系_________________（不用证明）；
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺 60°角的顶点放在点 F 处，即∠PFQ=60°. 如图③，FM 平分∠EFP 交
直线 AB 于点 M，FN 平分∠QFG 交直线 CD 于点 N. 将含 60°角的三角尺绕着点 F 转动，且使 FG 始终在∠
PFQ 的内部，请问∠AMF+∠CNF 的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由.
图③
26．对于平面直角坐标系 xOy 中的任意一点 P (x，y)，给出如下定义：记 a＝x+y，
b＝-x+y，将点 M (a，b)与点 N (b，a)称为点 P 的一对伴随点.
例如，点 M (1，-5)与点 N (-5，1)为点 P (3，-2)的一对伴随点.
（1）点 A (4，1)的一对伴随点坐标为 ；
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（2）将点 C (3m-1，m+1) (m＞0)向左平移 m 个单位长度，得到点C '，若点C '的一对伴随点重合，求
点 C 的坐标；
（3）已知点 E (-3，n)，F (-3，n+1)，点 D 为线段 EF 上的动点，点 G，H 为点 D 的一对伴随点．当点
D 在线段 EF 上运动时，线段 GH 与 x 轴总有公共点，请直接写出 n 的取值范围_____________ .
y
1
O 1 x
备用图
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参考答案
一、选择题（共 16分，每题 2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B C C A D
二、填空题（共 18分，每题 2分）
题号 9 10 11 12
答案 -2 5 2 4
x=±
2
题号 13 14 15 16
答案 (-7,3) 100° （1，3） （1012，0）
三、解答题（共 68分，其中 17题 8分，18题 5分，19、24题每题 6分，21题 8分，20、22-23、25-26每
题 7分）
17． 1
= 6+ 2..........3分
解：（1）原式 4 =
15
= ..........4分
（2）原式= 4 3 2 3 3 1 …………………………………3 分
= 2 3 …………………………………4 分
18．解：
x = 2
........5分
y = 1
19．解： 4(x 6) 12 3(7 3x)． ………………………………1 分
4x 24 12 21+ 9x ． ………………………………2 分
4x 9x 12 21+ 24． ………………………………3 分
5x 15． ………………………………4 分
x 3． ………………………………………5 分
不等式的解集在数轴上表示 ……………………………6 分
20. （1）如图
∵FE∥AD
∴∠1+∠4=180° ……………………………1 分
∵∠1+∠2=180°
∴∠4=∠2 ……………………………2 分
∴CA∥DG ……………………………3 分
（2）∵AD 平分∠CAB
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y
6
∴∠4=∠5 A1
5
∵∠4=∠2 4
3
∴∠2=∠5……………………………4 分 A
2 C1
∵CA∥DG ∴∠3=∠4＋∠5 1 B1 x
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5
∴∠3=∠2+∠5=2∠2 –1 C
–2
∵∠3=78° B
–3
∴∠2=39°……………………………5 分 –4
∵EF∥AD，EF⊥BC
∴AD⊥BC
∴∠ADB=90°……………………………6 分
∵∠2=39°
∴∠BDG=∠ADB - ∠2 = 51°………………7 分
21. 解：（1）设每辆小客车能运送 x名学生，每辆大客车能运送 y 名学生． ………1 分
根据题意得：
………3 分
x = 20
解得： ………5 分
y = 45
答：每辆小客车能运送 20 名学生，每辆大客车能运送 45 名学生；
（2）根据题意得： 20a + 45b = 400 ． ………6 分
9
a = 20 b ．
4
a ，b 为正整数，
a =11 a = 2
或 ．………8 分
b = 4 b = 8
22.（1）平面 直角坐标系如右图 …………………1 分
x + 2y =110
△ A1B1C1如右图 ………………… 2 分
4x + y =125
S=6 …………………5 分
（2）（0,1）或（0，-3） …………………7 分
23. 解： 1 ……………………………… 1 分
1 ……………………………… 2 分
同角的补角相等 ……………………… 3 分
3 ……………………………… 4 分
等量代换 ……………………………… 5 分
内错角相等，两直线平行 ……………………………… 6 分
两直线平行，内错角相等 ……………………………… 7 分
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24．（1） (3, 4) …………………2 分
1+ a = 3b a = 2
（2） …………4 分 …………-6 分
1 b = a b = 1
25.（1）80°； …………………………1 分
（2）∠AEF+∠FGC=90°； …………………………2 分
（3）∠AMF+∠CNF 的值不变. …………………………3 分
过 F 做 FH∥AB
可证得∠AMF+∠CNF=∠MFN…………………………5 分
设∠PFG=a,由 FM 平分∠EFP，FN 平分∠QFG 可得：
∠AMF+∠CNF=∠MFN=75°…………………………7 分
26.解： （1）(5，-3)，(-3，5)； ……………2 分
（2）由题意得C ' (2m 1，m＋1)， ……………………3 分
∵(2m 1)＋(m＋1)＝3m，-(2m 1)+( m＋1)＝-m+2，
∴点C ' 的一对伴随点为(3m， m+2)和( m+2，3m)．
∵点C ' 的一对伴随点重合，
∴3m＝ m+2.
1
解得 m＝ . ……………………4 分
2
1 3
∴点 C 的坐标为( ， )． ……………………5 分
2 2
（3）－3≤n≤2． ……………………7 分
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