2024年江西省南昌市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，最大的数是
A． B．0 C．2 D．4
2．（3分）如图，是由一个长方体和一个竖直的小圆柱组成的几何体，其左视图是
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）如图是根据南昌市2024年2月上旬的每天气温绘成的折线统计图，以下说法正确的是
A．2月上旬某天最大温差为
B．2月上旬最高气温的众数是5
C．2月上旬最低气温平均数是
D．2月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差
5．（3分）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为
A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五
6．（3分）二次函数的图象与轴交于，两点，点在二次函数上，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分） ．
8．（3分）已知华氏温度和摄氏温度的换算关系为：摄氏温度（华氏温度，在1个标准大气压下冰的熔点为，则在1个标准大气压下冰的熔点为 ．
9．（3分）已知关于的一元二次方程的两个根分别为，，已知，则的值为 ．
10．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意得方程： ．
11．（3分）如图，矩形分割成两个矩形和，扇形所在的圆与矩形三边均相切，且，为矩形中半径最大的圆，扇形和恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的值为 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）已知，为实数，，，求的值．
14．（6分）在的正方形网格中，，两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）．
（1）如图1，作以为腰的锐角三角形；
（2）如图2，作以为底的锐角三角形．
15．（6分）2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥党员的先锋带头作用，某校组织部分党员教师打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名党员志愿者中随机抽取两人．
（1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”
（2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率．
16．（6分）如图，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，其中，．
（1）求的值；
（2）求一次函数的解析式．
17．（6分）正方形和如图摆放，点在边上，交于点，，，连接，求的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数（人与车站开放后的时间（分钟）的关系如图所示，其中前分钟只开放了4个安检门．
（1）求的值；
（2）由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中点所示，求在分钟后至少要增设多少个安检门．
19．（8分）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
（1）求测角仪与塔身的水平距离；
（2）求塔身的高度．（结果精确到
（参考数据：，，，
20．（8分）定理证明：
（1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：；
定理应用：
（2）如图2，是的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）为进一步落实“双减”政策，某校对七、八年级学生某天“书面作业”的时间（单位：小时）进行了随机抽样调查，共获得220名七、八年级学生“书面作业”时间数据，绘制成如下统计图表，请根据图表中的信息回答下列问题．
类别 学习时间（小时） 频数（七年级） 频数（八年级）
15 10
40 25
45
10
（1） ， ；
（2）①补全条形统计图；
②七年级甲同学说“我的学习时间是此次抽样调查中七年级所得数据的中位数”．则甲同学的学习时间在哪个范围内．
（3）“双减”政策规定初中生书面作业时间不超过90分钟，已知该校七、八年级学生共有1100人，分别估计该校七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数．
22．（9分）某数学兴趣小组开展数学实验，探索绳子垂下时形状的变化．如图1，是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2，是一单杠示意图，两立柱与之间的距离为，，，，将带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上，已知，绳子自然下垂时近似呈抛物线状态，实验开始时绳子系于，处，，此时，抛物线记为，兴趣小组将绳子两端分别向，滑动，规定绳子两端每次滑动距离均为，直至绳子两端各到，处停止，滑动过程中依次得到抛物线，，，若兴趣小组以点为原点建立平面直角坐标系，绳子两端在滑动过程中，抛物线解析式为．
（1）抛物线的解析式为： ；
（2）当绳子两端系在，处时，身高的小明站在单杠下，其头部刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离．
（3）兴趣小组探究，，之间的特殊位置关系时，发现有一条与轴平行的直线与，，只有三个交点，直接写出这条直线的解析式．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）在矩形中，，点是上一动点，点与点关于对称，连接，，延长交射线于点，延长交或于，如图1，图2．
（1） ；
（2）如图1，求证：；
（3）若，在点从点向点运动的过程中．
①如图2，当时，求的长；
②当时，直接写出的长．
2024年江西省南昌市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，最大的数是
A． B．0 C．2 D．4
【解答】解：负数小于零，正数大于零，正数大于负数，，
最大，
故选：．
2．（3分）如图，是由一个长方体和一个竖直的小圆柱组成的几何体，其左视图是
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看该几何体，其左视图是一列两个相邻的矩形，底层的矩形的长要大得多．
故选：．
3．（3分）下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：、与不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、与不能合并，故不符合题意；
故选：．
4．（3分）如图是根据南昌市2024年2月上旬的每天气温绘成的折线统计图，以下说法正确的是
A．2月上旬某天最大温差为
B．2月上旬最高气温的众数是5
C．2月上旬最低气温平均数是
D．2月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差
【解答】解：．由图中信息可知，2月1日，温差为，2月10日，温差为，最大温差不是，故本选项不符合题意；
．由图中信息可知，2月上旬最高气温的众数是5和7，故本选项不符合题意；
．2月上旬最低气温平均数是，说法正确，故本选项符合题意；
．由图中信息可知，2月上旬最高气温比最低气温的波动比大，即2月上旬最高气温的方差大于最低气温的方差，故本选项不符合题意；
故选：．
5．（3分）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为
A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五
【解答】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第7行的数，
第4行第四个数为1，
第5行第四个数为，
第6行第四个数为，
第7行第四个数为：．
第7行第四个数的相反数为．
依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第8行的数，
第8行第三个数为：．
故答案为：．
6．（3分）二次函数的图象与轴交于，两点，点在二次函数上，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，为方程的两个根，
，
．
点在二次函数上，
，
，
可得方程组，
解得．
，故正确，
，故正确，
，故正确，
，
，即，故错误．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分） 1 ．
【解答】解：．
故答案为：1．
8．（3分）已知华氏温度和摄氏温度的换算关系为：摄氏温度（华氏温度，在1个标准大气压下冰的熔点为，则在1个标准大气压下冰的熔点为 32 ．
【解答】解：摄氏温度（华氏温度，
（华氏温度，
华氏温度．
故答案为：32．
9．（3分）已知关于的一元二次方程的两个根分别为，，已知，则的值为 ．
【解答】解：根据根与系数的关系得，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
10．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意得方程： ．
【解答】解：慢马先行10天，快马天可追上慢马，
快马追上慢马时，慢马行了天．
根据题意得：．
故答案为：．
11．（3分）如图，矩形分割成两个矩形和，扇形所在的圆与矩形三边均相切，且，为矩形中半径最大的圆，扇形和恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的值为 ．
【解答】解：设的半径为，的半径为，
，
扇形的圆心角为，
扇形和恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，
，
，
为矩形中半径最大的圆，
，
设与、、分别相切于点、、，连接、、，
四边形是矩形，，，，
，，
四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
作于点，则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
12．（3分）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 2或 ．
【解答】解：当时，
，，，
，
，
，的坐标分别为，，，
，，
，
，
和轴夹角为，
，，
到轴的距离为2，
当时，
和轴夹角为，
到轴的额距离为，
综上所述，到轴的距离为2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）已知，为实数，，，求的值．
【解答】解：（1）
．
（2），
，
．
14．（6分）在的正方形网格中，，两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）．
（1）如图1，作以为腰的锐角三角形；
（2）如图2，作以为底的锐角三角形．
【解答】解：（1）如图1，即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，即为所求（答案不唯一）．
15．（6分）2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥党员的先锋带头作用，某校组织部分党员教师打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名党员志愿者中随机抽取两人．
（1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是 必然 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”
（2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率．
【解答】解：（1）由题意得，“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是必然事件．
故答案为：必然．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中乙、丁都被抽中的结果有：乙丁，丁乙，共2种，
乙、丁都被抽中的概率为．
16．（6分）如图，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，其中，．
（1）求的值；
（2）求一次函数的解析式．
【解答】解：（1）由题意，将代入反比例函数，
．
．
（2）由（1）得，
设，
．
或．
或．
又一次函数为过，，
或．
（由图，故不合题意，舍去）或．
一次函数的解析式为．
17．（6分）正方形和如图摆放，点在边上，交于点，，，连接，求的度数．
【解答】解：如图，过点作于点，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数（人与车站开放后的时间（分钟）的关系如图所示，其中前分钟只开放了4个安检门．
（1）求的值；
（2）由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中点所示，求在分钟后至少要增设多少个安检门．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得．
（2）设在分钟后增设个安检门，当时实现动态清零．
根据题意，得，
将代入并整理，得，
解得，
当时，解得，
为整数，
在分钟后至少要增设2个安检门．
19．（8分）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
（1）求测角仪与塔身的水平距离；
（2）求塔身的高度．（结果精确到
（参考数据：，，，
【解答】解：（1）如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，
则，，
由题意可知，，，
，
，
，
答：测角仪与塔身的水平距离为；
（2）由（1）可知，，
由题意可知，，，，
，
，
，
答：塔身的高度约为．
20．（8分）定理证明：
（1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：；
定理应用：
（2）如图2，是的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积．
【解答】（1）证明：如图1，连接、、，
，是的两条切线，切点分别为，，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2，连接、，则，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
作于点，则，，
，
，
四边形的面积是．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）为进一步落实“双减”政策，某校对七、八年级学生某天“书面作业”的时间（单位：小时）进行了随机抽样调查，共获得220名七、八年级学生“书面作业”时间数据，绘制成如下统计图表，请根据图表中的信息回答下列问题．
类别 学习时间（小时） 频数（七年级） 频数（八年级）
15 10
40 25
45
10
（1） 35 ， ；
（2）①补全条形统计图；
②七年级甲同学说“我的学习时间是此次抽样调查中七年级所得数据的中位数”．则甲同学的学习时间在哪个范围内．
（3）“双减”政策规定初中生书面作业时间不超过90分钟，已知该校七、八年级学生共有1100人，分别估计该校七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数．
【解答】解：（1）由于样本中八年级学生学习时间在“组”所对应的圆心角为，即占调查人数的，而在“组”的有10人，
所以八年级所调查的学生人数为（人，
因此七年级的调查人数为（人，
所以（人，（人，
故答案为：35，40；
（2）①补全条形统计图如下：
②七年级的样本容量是100，因此中位数是将这100名学生的“书面作业”从小到大排列后，则第50位，第51位数据的平均数，
因此中位数落在“组”，在范围内；
（3）（人，
答：该校七、八年级1100名学生中，估计七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数大约为850人．
22．（9分）某数学兴趣小组开展数学实验，探索绳子垂下时形状的变化．如图1，是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2，是一单杠示意图，两立柱与之间的距离为，，，，将带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上，已知，绳子自然下垂时近似呈抛物线状态，实验开始时绳子系于，处，，此时，抛物线记为，兴趣小组将绳子两端分别向，滑动，规定绳子两端每次滑动距离均为，直至绳子两端各到，处停止，滑动过程中依次得到抛物线，，，若兴趣小组以点为原点建立平面直角坐标系，绳子两端在滑动过程中，抛物线解析式为．
（1）抛物线的解析式为： ；
（2）当绳子两端系在，处时，身高的小明站在单杠下，其头部刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离．
（3）兴趣小组探究，，之间的特殊位置关系时，发现有一条与轴平行的直线与，，只有三个交点，直接写出这条直线的解析式．
【解答】解：（1）当时，，
故答案为：；
（2）当时，，
小明身高1.7米，
，
，
或，
小明到立柱的距离为或；
（3），，，
与的顶点为，
直线与，，只有三个交点．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）在矩形中，，点是上一动点，点与点关于对称，连接，，延长交射线于点，延长交或于，如图1，图2．
（1） 2 ；
（2）如图1，求证：；
（3）若，在点从点向点运动的过程中．
①如图2，当时，求的长；
②当时，直接写出的长．
【解答】（1）解：点与点关于对称，
，，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）证明：连接，
点与点关于对称，
，，，
．
，
，
，
，
，
即：，
；
（3）解：①，
．
由（2）知：，
，
，
，
不妨设：，则，
，
在中，，
，
， （舍去）．
，
；
②如图1，当点在内部时，
，，
，
，
，，
点与点关于对称，
，，，
，
，
．
如图2，当点在的延长线上时，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，
，
，
．
综上所述，的长为或．
