第二章·机械振动 第01节 机械振动 简谐运动
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目
标
导
航
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知识要点 难易度
1．什么是机械振动，简谐振动 2．理解弹簧振子是一种理想化模型，理解平衡位置和位移 3．理解弹簧振子的x-t图象，根据图像分析运动变化（s,v,t,a,F） 4．会利用简谐振动的对称性分析问题 5．利用周期性对t做去整取零 ★ ★ ★★★ ★★★ ★★
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知
识
精
讲
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知识点01 机械振动和简谐振动
1．机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动。
平衡位置：做机械振动物体静止时的位置．
2、机械振动的动力学原因：物体在回复力作用下做机械振动。
回复力：总是指向平衡位置的力。
3、简谐振动
①定义：质点在F=-kx的回复力作用下，位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动．
②特点：简谐运动是最简单、最基本的振动。弹簧振子，单摆是简谐振动
【例1】（多选）下列运动属于机械振动的是( )
A．说话时声带的运动
B．弹簧振子在竖直方向的上下运动
C．体育课上同学进行25米折返跑
D．竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动
【例2】若某一过程中振子的速率在减小，则此时振子的（ ）
A．速度与位移方向一定相反 B．加速度与速度方向可能相同
C．位移可能在减小 D．回复力一定在增大
知识点02 弹簧振子及其随时间变化规律
1．弹簧振子：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球就构成一弹簧振子。是一种理想模型，其振动是简谐振动。如图所示：
回复力F＝－kx 式中F为回复力，x为离开平衡位置的位移，k是比例常数。
对弹簧振子来说k是弹簧的劲度系数，式中的负号，表示回复力的方向与位移方向相反。
2．弹簧振子的位移—时间（x-t）图像
(1) 建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立坐标轴．
小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．
※注意：坐标原点只能取平衡点，但可以取振子在不同位置为0时刻．
(2) 图象：横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，如下图所示：
(3) 形状：正(余)弦曲线．
振动图像规律：
① 0-1s，O→A，位移（+）增大，加速度（-）增大，速度（+）减小
② 1-2s，A→O，位移（+）减小，加速度（-）减小，速度（-）增大
③ 2-3s，O→B，位移（-）增大，加速度（+）增大，速度（-）减小
④ 3-4s，B→O，位移（-）减小，加速度（+）减小，速度（+）增大
3．描述振动的物理量
振幅：振动质点离开平衡位置的最大距离，标量。（物理意义：描述振动的强弱）上图中A=2cm
周期：振动质点完成一次全振动所需时间。（物理意义：描述振动的快慢）上图中T=4s
频率：1秒内全振动的次数，f=1/T（物理意义：描述振动的快慢；单位：赫兹）上图中f=0.25s-1
4．简谐振动图象解读
(1) 可直接读出振幅A，周期T。间接计算路程：1/4T通过的路程=A。
(2) 振子在某一时刻相对于平衡位置的位移x大小和方向。
(3) 根据图像的斜率判断速度v的方向，增大或减小变化趋势。
(4) 根据F=-kx间接判断受到回复力的大小，方向，从而进一步判断加速度的变化。
(5) 对称性：速度大小，加速度大小，回复力大小，时间对平衡点具有对称性。
5．能量转化：简谐振动是振子动能和弹簧势能之间的转换
平衡位置动能最大，弹簧弹性势能=0；最大位移处动能=0，弹簧弹性势能最大。
【例3】如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子静止的位置，其振动图象如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
(1)在t＝0时刻，振子所处的位置为________，正在向________(选填“左”或“右”)方向运动．
(2)A、B两点间的距离为________cm.
(3)在乙图中，振子在t＝1s、t＝2s和t＝3s时所处的位置依次是________、________和________．
(4)在t＝2 s时，振子速度的方向与t＝0时速度的方向________．
(5)质点在前4 s内的位移等于________cm，其路程为________cm.
【例4】如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.4 s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.8 s时，振子在O点和B点之间
C．t＝0.6 s和t＝1.2 s时刻，振子的速度完全相同
D．t＝1.5 s到t＝1.8 s的时间内，振子的加速度逐渐减小
知识点03 简谐运动的函数表达式及图像
简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)．
1．x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱．
2．式中ω叫做“圆频率”，它与周期频率的关系为ω＝＝2πf. 可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．简谐运动的表达式也可写成：x＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ)．
3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，单位为弧度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
5．相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同ω．的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
【例5】有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移．
(1)求该振子的振幅和周期；
(2)画出该振子的位移—时间图象；
(3)写出该振子的振动方程．
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考
点
题
型
)
考点01 简谐振动的规律
【例6】(多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．振子每次通过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
【例7】(多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是（）
A．振子从A点运动到C点时位移大小为OC，方向向右
B．振子从C点运动到A点时位移大小为CA，方向向右
C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小
D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大
考点02 简谐振动图像问题
【例8】某弹簧振子的振动图象如图所示。根据图象判断，下列说法正确的是
A．第1 s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反
B．第2 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm
C．第2 s末和第3 s末振子相对于平衡位置的位移不相同，但瞬时速度方向相反
D．第1 s内和第2 s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反
【例9】（多选）将某弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，弹簧振子的振动图像如图所示，则在t＝0.15 s时( )
A．振子正在做加速度减小的加速运动 B．振子正在做加速度增大的减速运动
C．振子速度方向沿x轴正方向 D．振子的位移一定大于2 cm
考点03 根据简谐振动的对称性求时间
【简谐运动的对称性】
如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有：
(1) 时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.
(2) 速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
【例10】如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)( )
A．0.5 s B．1.0 s C．2.0 s D．4.0 s
考点04 简谐振动的多解问题
【例11】一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动。若从过O点开始计时，经过5s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过 2s 它第二次经过 M点。该小球做简谐运动的周期可能是多少
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方
法
总
结
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1，简谐振动图像关于平衡点具有对称性。
2，求t时刻的运动状态，对周期T去整取零。
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巩
固
练
习
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1．(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )
A．做机械振动的物体必有一个平衡位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
2、（多选）简谐振动的特点是（ ）
A．回复力跟位移成正比且方向相反 B．速度跟位移成正比且方向相反
C．加速度跟位移成正比且方向相反 D．加速度跟位移成正比且方向相同
3．(多选)弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是( )
A．振子在A、B两点时的速度为零，位移不为零
B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变
C．振子所受的弹力方向总跟速度方向相反
D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动
4．如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是( )
A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿垂直x轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
5．如图甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，图乙为弹簧振子的示意图，弹簧振子在F、G之间运动，E是振动的平衡位置，试根据图象分析以下问题：
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是______(选填“E”“F”或“G”)，从初始位置开始，振子向______(选填“左”或“右”)运动。
(2)在图乙中，找出图象中的A、B、C、D点各对应振动过程中的哪个位置？A对应______，B对应_______，C对应_______，D对应_______。
(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时速度方向________(选填“相同”或“相反”)。
(4)振子在前4 s内的位移等于________。
6．A、B两物体做简谐运动，在A物体振动20次的时间内，B物体振动15次，A、B两物体振动的周期之比为_______，频率之比为_______，若要求A、B都振动20次，需要的时间之比为_______。
7．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示．由振动图像可以得知（ ）
A．振子的振动周期等于t1
B．在时刻，振子的位置在a点
C．在时刻，振子的速度为零
D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动
8．(多选)如图所示为质点P在0～4 s内的振动图象，下列叙述正确的是( )
A．再过1 s，该质点的位移是正向最大 B．再过1 s，该质点的速度方向向上
C．再过1 s，该质点运动到平衡位置 D．再过1 s，该质点的速度为零
9．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大 B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大 D．由M→N位移始终减小
10．(多选)一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置.下列说法正确的是( )
A.质点通过位置c时速度最大，加速度为零
B.质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为
C.质点从位置a到位置c和从位置b到位置d所用时间相等
D.质点从位置a到位置b和从位置b到位置c的平均速度相等
11．做简谐振动的物体，当振子位移为负值时（ ）
A．速度不一定为正，加速度一定为正 B．速度一定为正，加速度一定为负
C．速度一定为负，加速度一定为正 D．速度一定为负，加速度也一定为负
12．一个质点做简谐运动，振幅是4cm，频率是2.5Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5s质点的位移和路程分别是（ ）
A．4cm，24cm B．－4cm，100cm C．0，100cm D．4cm，100cm
13．某质点的振动图像如图，则下列说法正确的是（ ）
A．该质点振动的周期是2s
B．在1～2s内质点做初速度为零的变加速运动
C．在1.5s和2.5s末，质点的速度相同，加速度相同
D．在2.5s和3.5s末，质点的位移相同，速度相同
14．如图是甲、乙两质量相等的振子做简谐振动的图像，则（ ）
A．在1－3s内，甲走过的路程是4cm，乙走过的路程是1cm
B．甲的最大速度和乙的最大速度大小相等
C．前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2s末甲的速度最大，乙的加速度最大
15．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置。如图乙所示是振子做简谐运动的位移—时间图象。下面四个图象中：
（1）能正确反映振子加速度变化情况的是 （ ）
（2）能反映振子速度变化情况的是 （ ）
16．如图所示为一个弹簧振子做简谐振动的图像，以某时刻为计时零点（t＝0），经过1/4周期时，振子具有正方向最大加速度，则其振动图像是（ ）
17. 一个弹簧振子的振动周期为0.4s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过1.36s时（ ）
A．振子向右做加速运动 B．振子向右做减速运动
C．振子向左做加速运动 D．振子向左做减速运动
18. 一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是( )
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
19．(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s
20． (多选)有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是( )
A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同
B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同
C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是
D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是第二章·机械振动 第01节 机械振动 简谐运动
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知识要点 难易度
1．什么是机械振动，简谐振动 2．理解弹簧振子是一种理想化模型，理解平衡位置和位移 3．理解弹簧振子的x-t图象，根据图像分析运动变化（s,v,t,a,F） 4．会利用简谐振动的对称性分析问题 5．利用周期性对t做去整取零 ★ ★ ★★★ ★★★ ★★
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知
识
精
讲
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知识点01 机械振动和简谐振动
1．机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动。
平衡位置：做机械振动物体静止时的位置．
2、机械振动的动力学原因：物体在回复力作用下做机械振动。
回复力：总是指向平衡位置的力。
3、简谐振动
①定义：质点在F=-kx的回复力作用下，位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动．
②特点：简谐运动是最简单、最基本的振动。弹簧振子，单摆是简谐振动
【例1】（多选）下列运动属于机械振动的是( )
A．说话时声带的运动
B．弹簧振子在竖直方向的上下运动
C．体育课上同学进行25米折返跑
D．竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动
【答案】 ABD
【解析】 声带振动产生声音，A正确；弹簧振子是机械振动，B正确；折返跑不是机械运动，但不是振动，C错误；水面波纹是机械振动，D正确。
【例2】若某一过程中振子的速率在减小，则此时振子的（ ）
A．速度与位移方向一定相反 B．加速度与速度方向可能相同
C．位移可能在减小 D．回复力一定在增大
【答案】D
【解析】速率减小，振子远离平衡位置，速度和位移同向，A错误；
加速度和位移反向，B错误；位移增大，C错误；
F=-kx，位移增大，回复力增大，D正确。
知识点02 弹簧振子及其随时间变化规律
1．弹簧振子：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球就构成一弹簧振子。是一种理想模型，其振动是简谐振动。如图所示：
回复力F＝－kx 式中F为回复力，x为离开平衡位置的位移，k是比例常数。
对弹簧振子来说k是弹簧的劲度系数，式中的负号，表示回复力的方向与位移方向相反。
2．弹簧振子的位移—时间（x-t）图像
(1) 建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立坐标轴．
小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．
※注意：坐标原点只能取平衡点，但可以取振子在不同位置为0时刻．
(2) 图象：横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，如下图所示：
(3) 形状：正(余)弦曲线．
振动图像规律：
① 0-1s，O→A，位移（+）增大，加速度（-）增大，速度（+）减小
② 1-2s，A→O，位移（+）减小，加速度（-）减小，速度（-）增大
③ 2-3s，O→B，位移（-）增大，加速度（+）增大，速度（-）减小
④ 3-4s，B→O，位移（-）减小，加速度（+）减小，速度（+）增大
3．描述振动的物理量
振幅：振动质点离开平衡位置的最大距离，标量。（物理意义：描述振动的强弱）上图中A=2cm
周期：振动质点完成一次全振动所需时间。（物理意义：描述振动的快慢）上图中T=4s
频率：1秒内全振动的次数，f=1/T（物理意义：描述振动的快慢；单位：赫兹）上图中f=0.25s-1
4．简谐振动图象解读
(1) 可直接读出振幅A，周期T。间接计算路程：1/4T通过的路程=A。
(2) 振子在某一时刻相对于平衡位置的位移x大小和方向。
(3) 根据图像的斜率判断速度v的方向，增大或减小变化趋势。
(4) 根据F=-kx间接判断受到回复力的大小，方向，从而进一步判断加速度的变化。
(5) 对称性：速度大小，加速度大小，回复力大小，时间对平衡点具有对称性。
5．能量转化：简谐振动是振子动能和弹簧势能之间的转换
平衡位置动能最大，弹簧弹性势能=0；最大位移处动能=0，弹簧弹性势能最大。
【例3】如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子静止的位置，其振动图象如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
(1)在t＝0时刻，振子所处的位置为________，正在向________(选填“左”或“右”)方向运动．
(2)A、B两点间的距离为________cm.
(3)在乙图中，振子在t＝1s、t＝2s和t＝3s时所处的位置依次是________、________和________．
(4)在t＝2 s时，振子速度的方向与t＝0时速度的方向________．
(5)质点在前4 s内的位移等于________cm，其路程为________cm.
【答案】(1)O点 右 (2)6 (3)B点 O点 A点 (4)相反 (5)0 12
【解析】（1）t=0，根据图像x=0，可得到振子在O处，下一时刻x>0，所以向B运动
（2）AB间距离是2A，所以AB=6cm
（3）根据图像t=1s时，x=3cm，所以在B点；t=2s时，x=0，所以在O点；t=3s时，x=-3cm，所以在A点；
（4）t=0时，振子向右运动，t=2s时，振子向左运动，所以速度方向相反；
（5）t=4s时，x=0，所以位移=0，路程为4个振幅，即12cm。
【例4】如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.4 s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.8 s时，振子在O点和B点之间
C．t＝0.6 s和t＝1.2 s时刻，振子的速度完全相同
D．t＝1.5 s到t＝1.8 s的时间内，振子的加速度逐渐减小
【答案】 D
【解析】t=0.4s，振子从B向O运动，速度方向向左，A错误；
t=0.8s，振子在O和A之间，B错误；
t＝0.6 s，振子速度向左，t＝1.2 s，振子的速度向右，C错误；
t＝1.5 s到t＝1.8 s的时间内，振子从B向O运动，位移减小，回复力减小，加速度减小，D正确。
知识点03 简谐运动的函数表达式及图像
简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)．
1．x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱．
2．式中ω叫做“圆频率”，它与周期频率的关系为ω＝＝2πf. 可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．简谐运动的表达式也可写成：x＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ)．
3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，单位为弧度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
5．相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同ω．的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
【例5】有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移．
(1)求该振子的振幅和周期；
(2)画出该振子的位移—时间图象；
(3)写出该振子的振动方程．
【答案】 (1)10 cm 0.2 s (2)图见解析 (3)x＝10 sin(10πt＋π) cm
【解析】 (1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10 cm，振子在2 s内完成了10次全振动，振子的周期T＝＝0.2 s.
(2)振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是零，经周期振子的位移为负向最大，故其位移—时间图象如图所示．
(3)由函数图象可知振子的位移与时间函数关系式为：x＝10sin(10πt＋π) cm.
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题
型
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考点01 简谐振动的规律
【例6】(多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．振子每次通过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
【答案】 AD
【解析】F=-kx，位移为负值，振子在平衡点左侧，回复力为正，A正确；
振子通过平衡位置时位移为0，速度最大，B错误，D正确；
振子通过平衡位置时，位移为0相同，但速度方向可能不同，C错误；
【例7】(多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是（）
A．振子从A点运动到C点时位移大小为OC，方向向右
B．振子从C点运动到A点时位移大小为CA，方向向右
C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小
D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大
【答案】 AC
【解析】位移定义为从平衡位置指向振子位置，所以运动到C点，位移为OC，方向向右，A正确；
去整取零。t=1.36-1.2=0.16s，振子在第二个1/4周期，向左加速，C正确。
考点02 简谐振动图像问题
【例8】某弹簧振子的振动图象如图所示。根据图象判断，下列说法正确的是
A．第1 s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反
B．第2 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm
C．第2 s末和第3 s末振子相对于平衡位置的位移不相同，但瞬时速度方向相反
D．第1 s内和第2 s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反
【答案】D
【解析】第1s内位移为正，速度为正，方向相同，A错误；
第2s末位移为0，B错误；
第2s末速度方向为负，第3s末位移为-20cm，速度为0，C错误；
第1s内位移为正，速度为正，第2s内位移为正，速度为负，所以位移方向相同，速度方向相反，D正确。
【例9】（多选）将某弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，弹簧振子的振动图像如图所示，则在t＝0.15 s时( )
A．振子正在做加速度减小的加速运动 B．振子正在做加速度增大的减速运动
C．振子速度方向沿x轴正方向 D．振子的位移一定大于2 cm
【答案】 BD
【解析】因为振子在0.1－0.2 s内做减速运动，所以振子在0.1－0.15 s内运动的速度大于在0.15－0.2 s内运动的速度，故在t＝0.15 s时振子的位移一定大于2 cm，选项D正确．
考点03 根据简谐振动的对称性求时间
【简谐运动的对称性】
如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有：
(1) 时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.
(2) 速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
【例10】如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)( )
A．0.5 s B．1.0 s C．2.0 s D．4.0 s
【答案】 B
【解析】由振动的对称性可知：O点为平衡位置，A、B两点对称分布在O点两侧，
质点从O点向右运动到B点的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．
质点从B点向右到达最大位移处D点的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．
所以质点从离开O点到再次回到O点的时间t＝2tOD＝2×(0.25＋0.25)s＝1.0 s，故正确选项为B.
考点04 简谐振动的多解问题
【例11】一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动。若从过O点开始计时，经过5s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过 2s 它第二次经过 M点。该小球做简谐运动的周期可能是多少
【答案】28s, 8s
【解析】假设质点从O向A运动，M在OA之间，则5+1=6s=1/4周期,T=24s。
假设M在OB之间，则5+1=6s=3/4周期,T=8s。
(
方
法
总
结
)
1，简谐振动图像关于平衡点具有对称性。
2，求t时刻的运动状态，对周期T去整取零。
(
巩
固
练
习
)
1．(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )
A．做机械振动的物体必有一个平衡位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
【答案】 AB
【解析】 AB符合机械振动的定义，AB正确；
在平衡位置时位移为0，但路程不一定为0，C错误；
振子位移是振子位置相对于平衡位置的位移，随时间而变化，不是固定值，D错误。
2、（多选）简谐振动的特点是（ ）
A．回复力跟位移成正比且方向相反 B．速度跟位移成正比且方向相反
C．加速度跟位移成正比且方向相反 D．加速度跟位移成正比且方向相同
【答案】AC
【解析】F=-kx，所以A正确；
过平衡点时位移为0，速度最大，所以速度和位移不成正比，B错误；
加速度和回复力成正比，F=-kx，C正确，D错误。
3．(多选)弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是( )
A．振子在A、B两点时的速度为零，位移不为零
B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变
C．振子所受的弹力方向总跟速度方向相反
D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动
【答案】 AD
【解析】振子在A时位移为负，在B时位移为正，瞬时速度都为0，A正确；
通过O点速度方向不变，B错误；
振子所受弹力和位移反向，不是和速度方向，比如从A向O运动时，速度和弹力同向，C错误；
离开O时加速度方向和位移反向，所以减速，D正确。
4．如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是( )
A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿垂直x轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
【答案】 B
【解析】原点O处位移为0，所以原点在平衡位置，A正确；
小球沿x方向振动，B错误；
如果底片不动，拍摄的小球位置会重叠在一起，所以底片沿x轴匀速运动，C正确；
拍摄时间相等，位置变化大，表示速度大，即位置变化快，D正确。
5．如图甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，图乙为弹簧振子的示意图，弹簧振子在F、G之间运动，E是振动的平衡位置，试根据图象分析以下问题：
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是______(选填“E”“F”或“G”)，从初始位置开始，振子向______(选填“左”或“右”)运动。
(2)在图乙中，找出图象中的A、B、C、D点各对应振动过程中的哪个位置？A对应______，B对应_______，C对应_______，D对应_______。
(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时速度方向________(选填“相同”或“相反”)。
(4)振子在前4 s内的位移等于________。
【答案】 (1)E 右 (2)G E F E (3)相反 (4)0
【解析】（1）t=0时，位移为0，所以位置为E，位移增大，所以向右运动。
（2）由图像可知，A，B，C，D对应于G，E，F，E。
（3）t=0时，速度为正，t=2s时，速度为负，所以反向相反。
（4）T=4s，所以任意4s内位移为0。
6．A、B两物体做简谐运动，在A物体振动20次的时间内，B物体振动15次，A、B两物体振动的周期之比为_______，频率之比为_______，若要求A、B都振动20次，需要的时间之比为_______。
【答案】3:4； 4:3； 3:4
【解析】TA=t/20, TB=t/15，所以TA:TB=3:4;
f=1/T，所以频率之比为4:3;
都振动20次，所需时间之比为周期之比=3:4。
7．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示．由振动图像可以得知（ ）
A．振子的振动周期等于t1
B．在时刻，振子的位置在a点
C．在时刻，振子的速度为零
D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动
【答案】D
【解析】从t1到t2，位移从0增大到最大值，所以从O运动到b，D正确。
8．(多选)如图所示为质点P在0～4 s内的振动图象，下列叙述正确的是( )
A．再过1 s，该质点的位移是正向最大 B．再过1 s，该质点的速度方向向上
C．再过1 s，该质点运动到平衡位置 D．再过1 s，该质点的速度为零
【答案】 AD
【解析】 T=4s, t=4s时，质点在平衡位置，再过1s，即1/4周期，质点到达最大位移处，速度为0，所以AD正确。
9．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大 B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大 D．由M→N位移始终减小
【答案】 A
【解析】 从P到Q位移增大，速度减小，所以A正确，B错误；
从M到N速度先增大后减小，位移先减小后增大，所以CD错误。
10．(多选)一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置.下列说法正确的是( )
A.质点通过位置c时速度最大，加速度为零
B.质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为
C.质点从位置a到位置c和从位置b到位置d所用时间相等
D.质点从位置a到位置b和从位置b到位置c的平均速度相等
【答案】 AC
【解析】 过平衡位置时速度最大，位移为0，回复力为0，加速度为0，A正确；
从a到c速度逐渐增大，所以从a到b时间为其一半，位移小于振幅一般，B错误；
从a到c为1/4周期，从b到d也是1/4周期，所用时间相等，C正确；
从a到b的平均速度小于从b到c的平均速度，D错误。
11．做简谐振动的物体，当振子位移为负值时（ ）
A．速度不一定为正，加速度一定为正 B．速度一定为正，加速度一定为负
C．速度一定为负，加速度一定为正 D．速度一定为负，加速度也一定为负
【答案】A
【解析】 F=-kx，所以位移为负时，加速度一定为正，远离平衡位置时速度为正，衡位置时速度为负，即速度可能为正，也可能为负，所以A正确。
12．一个质点做简谐运动，振幅是4cm，频率是2.5Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5s质点的位移和路程分别是（ ）
A．4cm，24cm B．－4cm，100cm C．0，100cm D．4cm，100cm
【答案】D
【解析】 去整取零。T=1/f=0.4s, 去整取零再过2.5s，即等同于再过0.1s，即1/4周期，所以位移为最大，x=4cm。1/4周期路程为A，所以路程为2.5/0.1×4=100cm。
13．某质点的振动图像如图，则下列说法正确的是（ ）
A．该质点振动的周期是2s
B．在1～2s内质点做初速度为零的变加速运动
C．在1.5s和2.5s末，质点的速度相同，加速度相同
D．在2.5s和3.5s末，质点的位移相同，速度相同
【答案】B
【解析】 振动周期T=4s，所以A错误；
t=1s是振子在最大位移，速度为0，1～2s内加速度逐渐减小，所以做变加速运动，B正确；
t=1.5s和2.5s末，由对称性可知，速度相等，但加速度反向，C错误；
在2.5s和3.5s末，质点的位移相同，速度反向，D错误。
14．如图是甲、乙两质量相等的振子做简谐振动的图像，则（ ）
A．在1－3s内，甲走过的路程是4cm，乙走过的路程是1cm
B．甲的最大速度和乙的最大速度大小相等
C．前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2s末甲的速度最大，乙的加速度最大
【答案】D
【解析】在1－3s内，甲走过的路程是3A=6cm，所以A错误；
速度用斜率判断，在平衡位置时，甲和乙的斜率不同，所以速度不同，B错误；
前2s内甲乙的位移为正，所以加速度均为负，C错误；
第2s末甲的位移为0，所以速度最大，乙的位移最大，所以加速度最大，D正确。
15．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置。如图乙所示是振子做简谐运动的位移—时间图象。下面四个图象中：
（1）能正确反映振子加速度变化情况的是 （ ）
（2）能反映振子速度变化情况的是 （ ）
【答案】（1）C （2）A
【解析】 F=-kx，振子加速度变化图像为C。
在O点速度最大，且为正，所以速度图像为A。
16．如图所示为一个弹簧振子做简谐振动的图像，以某时刻为计时零点（t＝0），经过1/4周期时，振子具有正方向最大加速度，则其振动图像是（ ）
【答案】D
【解析】 F=-kx，振子具有正方向最大加速度时，振子位移为负向最大值，D图像表示再过1/4周期到达负向最大值，符合条件，所以D正确。
17. 一个弹簧振子的振动周期为0.4s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过1.36s时（ ）
A．振子向右做加速运动 B．振子向右做减速运动
C．振子向左做加速运动 D．振子向左做减速运动
【答案】C
【解析】去整取零。t=1.36-1.2=0.16s，振子在第二个1/4周期，向左加速，C正确。
18. 一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是( )
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
【答案】 BD
【解析】 由振动图像可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A错误．
一个周期内做质点经过的路程是4A＝8 cm, 10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，B正确．
由图像知x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sin(t)m.当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝π，故C不正确．
在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin135°＝A＝ cm，故D正确．
19．(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s
【答案】 AC
【解析】 假设弹簧振子在水平方向BC之间振动，如图1，若振子开始先向左振动，振子的振动周期为T＝2×0.2 s＋×4 s＝ s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝0.2 s＋×4 s＝ s．如图2，若振子开始先向右振动，振子的振动周期为T＝4×s＝1.6 s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确．
20． (多选)有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是( )
A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同
B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同
C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是
D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是
【答案】 BD
【解析】 AB．1的振幅为3a，2的振幅为9a，所以两个弹簧振子1和2的振幅不同；1的频率为，2的频率为，所以两个弹簧振子1和2的频率相同，故A错误，B正确；
CD．从公式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误；D正确。故选BD。
