陕西省西安市高新第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知非零向量，满足=2，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数，则（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
5. 已知，则的值是（ ）
A B. C. D.
6. 我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点为平面内不同的四点，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 记锐角的内角的对边分别为已知，设甲：；乙：的取值范围为，以下说法正确的是（ ）
A. 甲为真命题，乙为真命题 B. 甲为真命题，乙为假命题
C. 甲为假命题，乙为假命题 D. 甲为假命题，乙为真命题
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的函数是（ ）
A B. C. D.
10. 已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若则等腰三角形
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则一定等边三角形
D. 若，则一定是等腰三角形
12. 已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点，则（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，向量，，点满足，则点的坐标为__________．
14. 一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于__________．
15. 在中，点在边上，已知，，的面积为，则_____．
16. 函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.
四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数与都是纯虚数．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值．
18. 已知向量，.
（1）若向量与平行，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
19. 已知中，角所对的边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且平分，求的长度.
20. 已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）首先将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得函数的图象向右平移个单位长度，最后再将所得函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的值域．
21. 某市政府计划在一处河道湿地修建一个公园．湿地公园呈五边形形状，如图所示，其中长为600米，在BC上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条绿道其中绿道终点两点分别在边界上，且．
（1）绿道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）为了方便游客，打算在湿地公园原有规划基础上增添一条商业步道EF，若建设绿道平均每米需花费200元，建设商业步道平均每米需花费400元，试求建设绿道与商业步道总花费的最小值．
22. 已知函数,.
（1）若，求的单调区间；
（2）求函数在上的最值；
（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.陕西省西安市高新第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合N，由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C
2. 在复平面内，复数对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】复数z的对应点位于第二象限．
故选：B．
3. 已知非零向量，满足=2，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两向量的垂直关系及向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以，即，于是有，
设与的夹角为，则
，
因为，
所以.
故选：B.
4. 设函数，则（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】由分段函数定义，对数运算性质及对数函数单调性，计算即可得到所求和.
【详解】因为在单调递增，所以，
所以，
则，
故选：D.
5. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】使用整体处理以及两角和与差得公式解决问题.
【详解】由得：
，
所以，，
所以，.
故选：A.
6. 我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，根据勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得.
【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则，
解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积.
故选：B
7. 已知点为平面内不同的四点，若，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算和坐标表示，即可求解.
【详解】由，可知，
即，即，
.
故选：A
8. 记锐角的内角的对边分别为已知，设甲：；乙：的取值范围为，以下说法正确的是（ ）
A. 甲为真命题，乙为真命题 B. 甲为真命题，乙为假命题
C. 甲为假命题，乙为假命题 D. 甲为假命题，乙为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据边角互化，结合三角函数恒等变换，化简求解，即可判断甲命题的真假，根据，再根据甲命题的结论，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由正弦定理可知，，
即,
即，
由，则，，
所以，即，故甲为假命题，
,
因为是锐角三角形，所以，，
所以，则，所以的取值范围为，故乙正确.
故选：D
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据奇函数定义及基本函数的的单调性结合函数单调性的性质，逐项判断即可.
【详解】函数定义域为，，
即函数是偶函数，A不是；
函数的定义域为，都是奇函数，也都是增函数，
因此是奇函数，又是增函数，B是；
由，且，
所以是奇函数，
令在单调递增，单调递增，
根据复合函数单调性得，在单调递增，C是；
的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，在单调递增，D不是
故选：BC
10. 已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件，分别以各边为轴旋转，前两个均为圆锥，第三个为两个圆锥的组合体，然后利用圆锥的面积公式分别计算即可．
【详解】设直角三角形中，，则，
①当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥，
则表面积为；
②当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥，
则表面积为；
②当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成2个共底面的圆锥，
则表面积为；
故选：BCD．
11. 在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若则是等腰三角形
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则一定是等边三角形
D. 若，则一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和可判断A；利用正弦定理得到，结合余弦定理可判断B；利用正弦定理换边为角，结合等边三角形的判定可判断C；利用正弦定理化边为角，结合二倍角的正弦公式可判断D.
【详解】对于A，因为所以
即，所以，
结合，可得或（舍去），
所以是等腰三角形，故A正确；
对于B，由正弦定理可得，则，
所以为锐角，但无法判断两角是否为锐角，故B错误；
对于C，因为，所以，
即，
又因为，可得，即是等边三角形，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，所以或，
即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故选：AC.
12. 已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点，则（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】可证明，结合平面向量线性运算法则可判断A；由结合平面向量数量积的定义可判断B；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C；由投影的计算公式可判断D.
【详解】因为是边长为2的等边三角形，，
所以为的中点，且，以为原点如图建立直角坐标系，
则，，，，
由可得，则，
取的中点，连接，易得且，
所以≌，，则，，
对于A，，故A正确；
对于B，由可得，故B正确；
对于C，，，，，
所以，所以，故C错误；
对于D，，，
所以在方向上的投影为，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，向量，，点满足，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先得到，，设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得即可.
【详解】因为点，向量，，
所以，，
设，则，
，
因为，所以，解得，所以.
故答案为：
14. 一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于__________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用等体积法，转化求解水的高度即可．
【详解】设正方形的边长为，则当面水平放置时，水的体积为，
当面水平放置时，设水面高度为，则，解得，
故答案为：4．
15. 在中，点在边上，已知，，的面积为，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据的面积求出，然后根据余弦定理求出，从而可得，所以，利用“等角对等边”，得到．
【详解】因为，，的面积为，
所以，即，可得．
在中，由余弦定理得
，
解得（负值舍去），即，所以．
在中，因为，所以．
故答案为：．
16. 函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于在区间上有且只有两个零点，所以，
即，由得，，，
∵，∴，
∴或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到，再根据零点个数得到不等式组，解出即可.
四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数与都是纯虚数．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得，从而得到，即可求出其模；
（2）由（1）可得，根据虚根成对原理得到也是方程的根，利用韦达定理计算可得.
【小问1详解】
由题意可设，
则，
又为纯虚数，
则，解得，所以，则；
【小问2详解】
由（1）可得，
故是关于的方程的一个根，
则也是关于的方程的一个根，
故，解得．
18. 已知向量，.
（1）若向量与平行，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)或；(2).
【解析】
【分析】(1)利用向量共线的坐标表示求解；
(2)两向量夹角为锐角可转化数量积为大于零，但需排除向量共线的情况.
【详解】由题知，，.
(1)若向量与平行，则，.
解得或.
(2) 若向量与的夹角为锐角，
由得，，.解得.
又由(1)知，当时，向量与平行.
所以若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为.
19. 已知中，角所对的边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且平分，求的长度.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算即可；
（2）结合（1）问，求出，利用，计算出的长度即可.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得：，
因为，所以，即，
由余弦定理可得，
在中，,
所以.
【小问2详解】
由（1）问可知,，
所以，解得，
设，由平分，所以,
即,
解得：，
故的长度为.
20. 已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）首先将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得函数的图象向右平移个单位长度，最后再将所得函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象的信息，振幅，周期，五点法，求函数中的参数，即可求解；
（2）首先根据三角函数图象的变换规律求得函数的解析式，再根据函数的性质，即可求函数的值域.
【小问1详解】
由图象可知，，
，所以，得；
当时，，则，
由于，得，
所以；
【小问2详解】
函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，得，
将所得函数的图象向右平移个单位长度，得，
再向上平移1个单位得到，即，
当时，，，
所以函数的值域是.
21. 某市政府计划在一处河道湿地修建一个公园．湿地公园呈五边形形状，如图所示，其中长为600米，在BC上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条绿道其中绿道终点两点分别在边界上，且．
（1）绿道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）为了方便游客，打算在湿地公园原有规划基础上增添一条商业步道EF，若建设绿道平均每米需花费200元，建设商业步道平均每米需花费400元，试求建设绿道与商业步道总花费的最小值．
【答案】（1）米
（2）元
【解析】
【分析】（1）易由两个三角形的正弦定理求，再根据已知角的相等关系，易求得和为定值；
（2）由于绿道总长为定值，所以要使得总花费最小，只需要商业步道取到最小值，所以可由余弦定理来计算，结合不等式就可得到最小值，问题就可以解决.
【小问1详解】
因为，，
所以在中，由正弦定理得：，
同理在中，，
即
，
所以这两条绿道的总长度是为定值，且总长度为米；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：
因为，，
所以
，
即，此时当且仅当为中点取等号，
此时建设绿道与商业步道总花费最小，
即元.
22. 已知函数,.
（1）若，求的单调区间；
（2）求函数在上的最值；
（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减, 在上单调递增； （2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）分段结合二次函数图形讨论函数的单调性即可；（2）分，，，四段讨论函数的单调性，求出最值；（4）令，分别解出，，（舍），得，然后化简求出取值范围即可.
【详解】（1）
当时，函数的对称轴是，开口向上，
故在上单调递减, 在上单调递增.
当时，函数在上单调递增.
综上： 在上单调递减, 在上单调递增.
（2）①当时，
的对称轴是，
在上递减，在上递增
而
最小值，最大值；
②当时的对称轴是，
，
的最小值为，最大值，
③当时，
的最小值为，最大值，
④ 当时，的对称轴是
的最小值，最大值，
综上：①当时，的最小值，最大值；
②当时，的最小值为，最大值；
③当时，的最小值为，最大值
④当时，的最小值，最大值
（3）
当时,令,可得
，，
因为，所以，（舍去）
所以,
在上是减函数,所以.
【点睛】本题考查了绝对值函数的单调性，值域与零点问题，绝对值函数常转化为分段函数分类讨论求解.
