2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为，若它的两底面边长分别为和，则此时鱼塘的水深( )
A. B. C. D.
4.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中有( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.函数在上的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.正方形的边长为，点，分别在边，上，且，，如果对于常数，在正方形的四条边上不含顶点有且只有个不同的点，使得成立，那么的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对应的边分别为，，，设的面积为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列对应关系，能构成从集合到集合的函数的是( )
A. ，，， ，
B. ，
C. ，
D. ，，
10.已知为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是( )
A. 的值可能是 B. 的最小正周期可能是
C. 在区间上单调递减 D. 图象的对称轴可能是
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.在中，，，，则 ______；若，，且，则的值为______．
13.在棱长为的正方体中，则它的外接球的表面积为______；若为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为______．
14.函数，若关于的方程恰好有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：
；
已知，，，求的最小值．
16.本小题分
在，，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且_____．
求；
若，求．
17.本小题分
年月日，联合国教科文组织第届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入世界遗产名录，成为全球首个茶主题世界文化遗产经验表明，某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度单位：与时间单位：分钟的部分数据如下表所示：
时间分钟
水温
给出下列三种函数模型：，，
，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前分钟的数据求出相应的解析式：
根据中所求模型，
请推测实验室室温注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定；
求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到．
参考数据：，
18.本小题分
如图所示，为等边三角形，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动．
求出的值．
求的范围．
若，当最大时，求的值．
19.本小题分
已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得其中，，，，，则称为的“重覆盖函数”．
判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由；
若为的“重覆盖函数”，求实数的取值范围；
函数表示不超过的最大整数，如，，，若，为，的“重覆盖函数”，求正实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，
则，
即，，
则．
故选：．
根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列式可求出结果．
本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：设水深为，则，
解得，故此时水深为．
故选：．
根据棱台的体积公式直接计算出水深．
本题考查棱台的体积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：
取的中点，连接，
中，，，
所以，
所以，
所以，
所以，；
在原平面图形中，，，
，
的面积为．
故选：．
把直观图转化为原平面图形，再对选项中的命题真假性判断即可．
本题考查了平面图形的直观图与原图形的转化和应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于：，
．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为函数为奇函数，为偶函数，
则为奇函数，又为奇函数，
故为奇函数，
故选项A，B错误；
当时，，
，
所以，
故选项C正确，选项D错误．
故选：．
利用函数奇偶性排除选项A，，然后利用以和的大小关系，即可判断选项C，．
本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，．
若在上，设，，
，
，．
当时有一解，当时有两解．
若在上，设，
，．
，
，．
当或，有一解，当时有两解．
若在上，设，．，．
，
．
当时有一解，当时有两解．
若在上，设，，
，．
，
，．
当或时有一解，
当时有两解．
综上，若在正方形的四条边上不含顶点有且只有个不同的点，
则．
故选：．
以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，求出数量积的表达式，结合一元二次函数的图象和性质求出有一解，两解的情况，即可得到结论．
本题主要考查数量积的应用，建立坐标系，转化为一元二次函数，利用一元二次函数的图象和性质进行求解是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
令，
可得，
，
，
故选：．
将利用面积公式和余弦定理展开可得，在运用基本不等式化简为，最后结合辅助角公式即可求得的最大值．
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了构造函数法求最值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，
， ，，
由定义知中的任一个元素，中都有唯一的元素和它相对应，
能构成从集合到集合的函数，故A正确；
对于，，，能构成从集合到集合的函数，故B正确；
对于，，，
，，，，
不能构成从集合到集合的函数，故C错误；
对于，，，，
能构成从集合到集合的函数，故D正确．
故选：．
利用函数的概念及构成要素直接求解．
本题考查函数的判断，考查函数的概念及构成要素等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，是中档题．
由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．
【解答】
解：，，，，
，，
，，
，，
则，，则，故A正确；
，
，
不能恒成立，故B错误；
，
，
，故C正确；
，
，
不能恒成立，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：因为函数在区间上有且仅有个对称中心，
且当时，，
所以，，解得，对；
因为，则函数的最小正周期为
且对；
当时，，
因为，则，
所以，函数在区间上单调递减，对；
，所以，图象的对称轴不可能是，错．
故选：．
利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断选项；利用正弦型函数的单调性可判断选项；利用正弦型函数的周期公式可判断选项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，
在中，，，，
由余弦定理可得：
，则；
，
，
又，
，
，解得．
故答案为：；．
根据题意画出图形，结合图形，直接利用余弦定理求解；再利用、表示出，根据平面向量的数量积列方程求出的值．
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，训练了余弦定理的应用，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，则它的外接球半径为，解得，所以外接球的表面积为；
如图所示：
过点作，连接，所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为且为等腰梯形，
过点作于点，过点作，连接，所以为梯形的高，
且，
所以．
故答案为：．
首先利用正方体的对角线和外接球的半径的关系求出的值，进一步求出球的表面积；
首先利用直线间的平行关系求出截面，进一步求出截面的高和截面面积．
本题考查的知识点：正方体和外接球的关系，球的半径的求法，截面积的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的零点问题，属于中档题．
令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的，根据两函数交点情况，得到答案．
【解答】
解：令，由对勾函数的性质可知：
对于一个确定的值，关于的方程最多两个解，
画出的图象如下：
故值域为，
作出函数的图象，如下：
令，解得：，，
令，解得：，，
令，解得：，
当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解；
当时，存在使得，此时方程有三解，
其中时，有个解即时，有个解；
当时，存在使得，此时方程有四解，
时，无解，时，有个解，时，有个解；
当时，存在，，，使得，此时方程有七解，
时，有个解，即，时，有个解，时，有个解，
时，有个解；
当时，存在，，，使得，此时方程有八个解，
当时，有个解，时，有个解，时，有个解，时，有个解；
当时，存在，，使得，此时方程有六解，
当时，有个解，时，有个解，时，有个解；
当时，存在，使得，此时方程有四解，
当时，有个解，时，有个解；
综上：实数的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】解：
；
因为，，，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，的最小值为．
【解析】结合指数及对数的运算性质即可求解；
利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了对数及指数的运算性质的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：若选：由及正弦定理得，
即．
又，
所以．
因为，所以，
即．
因为，所以，
所以，．
若选：在中，由，
得，
由余弦定理的推论得．
因为，所以．
若选：由及正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理的推论得．
因为，所以．
解法一：由知，，
由正弦定理得．
又，所以，
，
解得．
又，且，
所以．
解法二：由知．
又，即，
所以，
所以，故由正弦定理得，
所以．
【解析】若选，利用两角和的正弦公式以及正弦定理化简得，进而得到；若选，化简得，根据余弦定理，得到；若选，利用正弦定理化简得，进而根据余弦定理得到．
解法一：结合，利用正弦定理得到，结合平方关系得到；解法二：根据，得到，根据正弦定理得到．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
故模型不符合，选模型，
则，解得，
所以；
因为当时，，
所以推测实验室室温为；
令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
【解析】由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型不符合，选模型，把前组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式；
利用指数函数的性质求解；
令，结合对数的运算性质求出的值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
18.【答案】解：如下图所示，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，
根据正弦定理可以得到的外接圆半径为：，所以求得点坐标，
于是得到，
因为，所以点在圆上，
不妨设，
故，
进而得到
．
由可知，
当时，，
根据题意可得：，
得到，根据，可得，
又因为，，，
两边同时除以得到：，
令，则，整理得到，
因为，即，
得到，故即的最大值为，
此时，，因此，
所以，
从而得到．
【解析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出，，的坐标，依题意设，求得的坐标，进而可求得结果；
由求得，得到关于角的函数表达式，由对称性考查时的情况可得结果；
依题意可得，令，得，进而由判别式法可求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
19.【答案】解：，，，，
由定义可得，对任意，恰好存在不同的实数，，，，
使得，其中，
即，可得，
所以对于任意，能找到一个，使得，
所以是的“重覆盖函数”，；
由题意可得的定义域为，
即对任意，存在个不同的实数，，
使得其中，，
因为，则，
所以，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，
若仅有个根，由可知，
当时，，所以无解，
则只需，解得，
综上，实数的取值范围是；
，
则对于任意，，要有个根，
，作出函数的图像，如图：
易知，当时，，
此时当时，则有，
解得，
要使，有个根，
则，
又，则，
故正实数的取值范围．
【解析】根据新定义，结合单调性即可求解；
先求出的值域，然后把问题转化为与有两个交点，然后对分类讨论即可求解；
由题意可得，则有对于任意，，要有个根，作出函数的图象，结合图象求解即可．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．
第1页，共1页
