2023-2024学年河北省张家口市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.若为实数，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足向量在向量上的投影向量为，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则另一个顶点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
10.已知为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若是纯虚数，则
B.
C. 若复数，则在复平面内对应的点在第一象限
D. 若，则
11.在，下列说法正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，，，则必有两解
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知单位向量满足，则 ______．
14.在中，角，，的对边分别为，，，且的面积，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知四边形为平行四边形，．
求平行四边形的面积；
设点满足，点为线段上一点，若，求实数的值．
16.本小题分
已知在复数范围内，关于的一元二次方程有两个虚数根和，若，且的虚部为正数．
求实数的值；
求的值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
求角；
已知角的内角平分线交于点，若，求的周长．
18.本小题分
如图，某市城建部门计划在一块半径为，圆心角为的扇形空地内设计一个五边形花境，具体方案设计如下：在圆弧上取点与，不重合，点，分别在半径，上，且，，连接，，，在由，，组成的五边形内种植三种花境植物，设．
求的取值范围；
已知内花境植物种植费用为元，，内花境植物种植费用为元，试预测此五边形花境最低造价为多少万元？
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”．
已知函数为向量的“相伴函数”，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
在中，，向量的“相伴函数”为，且的最大值为，若点为的外心，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：角终边经过点，则，
故选：．
利用任意角的三角函数的定义可得答案．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：向量，，
则，解得．
故选：．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
为实数，
．
解得．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
由已知利用诱导公式即可求解．
本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：令，
则，
因为在上单调递增，
所以，
解得．
故选：．
由已知结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数的单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：向量在向量上的投影向量为，且，
，可得．
．
故选：．
由向量在向量上的投影向量为，且，可以求得，进而求解结论．
本题考查了投影向量的运算，考查计算能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，所以，解得，
又，且在递增区间上，
所以，解得，，
又，所以，
所以，
又，
所以，解得，
所以，
所以．
故选：．
由周期求出，再由求出，最后由求出，即可得到函数解析式，再代入由诱导公式计算可得结果．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
先利用两角差的正切公式求出，然后利用和差角公式进行二倍角公式对所求式子进行化简，再结合同角基本关系进行化简即可求解，
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：记点，，分别为，，，第个顶点为，
当线段为平行四边形对角线时，，则点，故B正确，
当线段为平行四边形对角线时，，则点，故D正确，
当线段为平行四边形对角线时，，则点，故C正确．
故选：．
根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设，，则，A正确；
设，则，，B错误；
若复数，
则，在复平面内对应的点在第一象限，C正确；
若，则所对应的点是以原点为圆心，以为半径的圆，
则的几何意义是单位圆上点到点的距离，
则，D正确．
故选：．
由已知结合复数的四则运算，基本概念及几何意义检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若，由正弦定理可得，
即有，由，，可得或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
若，，，则，
又，所以必有两解，故B正确；
若是锐角三角形，可得，即，
所以，即，故C正确；
取，，，可得，
不能推得为锐角三角形，故D错误．
故选：．
由正弦定理和二倍角的正弦公式、三角函数的诱导公式，可得三角形的形状，可判断；由正弦定理和三角形的边角关系，可判断；由锐角三角形的性质、正弦函数的单调性可判断；取，，，计算判断．
本题考查三角形的正弦定理和三角形的形状判断，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
则．
故答案为：．
结合复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数模的公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：单位向量满足，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据向量数量积的性质，即可求解．
本题考查向量数量积的性质，化归转化思想，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，即，，
因为，
所以，，
则，
因为，当且仅当时取到等号，
所以．
故答案为：．
先利用面积公式和余弦定理求得，结合基本不等式可得答案．
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，还考查了不等式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：因为，
所以，，
因为，，
所以，，
所以的面积，，
所以平行四边形的面积为．
设，
因为，
所以，
又，
所以，解得．
【解析】由平面向量数量积的坐标运算可得，，从而知，的值，再由三角形的面积公式，求解即可；
设，根据已知条件，可得，从而建立关于和的方程组，解之即可．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：根据题意，，即，变形可得，
若一元二次方程有两个虚数根和，必有，
又由的虚部为正数，
则，，
若，则，则有，解可得，
故；
根据题意，由的结论，，，
则，
故．
【解析】根据题意，用表示和，由于，计算可得的值；
根据题意，求出的值，进而计算可得答案．
本题考查复数的运算，涉及一元二次方程在复数范围内求根，属于基础题．
17.【答案】解：因为在中，，
所以，可得，
又，
所以，
又，可得，即，
因为，可得，
所以，可得；
因为，角的内角平分线交于点，，，
又，
所以，可得，
由余弦定理得：，
整理得，
解得或舍去，
所以，即的周长为．
【解析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求范围，进而可求的值；
由，可得，再结合余弦定理可求出，从而可求出的周长．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：依题意，令扇形所在圆半径为，即，，，
，
，
而，则，，
因此，而，
所以的取值范围．
由知，，
，，
因此五边形花境造价
，
令，则，
因此，
显然函数在上单调递减，
当，即时，，
于是当时，万元，
所以预测此五边形花境最低造价为万元．
【解析】利用直角三角形边角关系求出，，，，结合勾股定理求出的函数关系，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求出范围；
求出，，的面积，结合已知求出五边形花境造价的函数关系，再借助换元法求出最小值即得．
本题主要考查三角函数的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，
，令，
当时，，作出的简图如下，
函数在上有两个零点，所以；
由题意，
因为的最大值为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
即外接圆的半径为，
由余弦定理可得，即，
，
因为是外心，即为各边中垂线的交点，
所以，
，
，
，
由，
所以，
当且仅当时，取到最大值．
【解析】先求出，利用换元法，作出简图，结合零点个数可得答案；
先根据的最值求出，结合外心的性质表示出，利用正弦定理可得答案．
本题考查了三角函数和平面向量的综合应用，属于中档题．
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