2023-2024年人教版八年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷
专题九，三角形的中位线
知识点1、三角形的中位线
1.三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
中位线定理
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
名师点拨
1.三角形的中位线是三角形内部的一条线段，它的两个端点是三角形两边的中点。
2.三角形的中位线定理是证明线段平行或相等的常用方法之一，解答题目时注意其应用。
3.中点三角形①中点三角形的周长是原三角形周长的一半，②中点三角形的面积是原三角形面积的.
例1-1 .已知一个直角三角形的两条直角边和分别为6、8．点点分别为和的中点，则 ，斜边的高线 ．
变式训练1
1 .如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，分别取的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2 .如图，在凸四边形中，，M，N分别为中点，则线段的值不可能是（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
知识点2、利用三角形的中位线求角度
名师点拨
利用三角形的中位线定理求角度时，注意利用中位线得到平行线的性质，由平行得相等角，再利用其他条件求解
例2-1 .如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．
(1)求证：．
(2)已知，若，求的度数．
易错点拨
根据中位线得到线相等及平行．从平行入手找出相等角，利用的条件，即可证明出
变式训练2
1 .如图，四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则 ．
2．如图，在中，、分别是和两边上的中点，若，，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=DC，∠ABD=100°，∠BDC=44°．则∠GEF的度数是（ ）
A. 10° B. 20° C. 28° D. 30°
4．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
知识点3、利用三角形的中位线求线段长度
名师点拨
应用三角形的中位线定理进行线段的计算时，
①找：找出中位线两个端点所在的边是那个三角形的两边。
②定：确定这个三角形的第三边；
③用：应用三角形中位线定理，写出三角形中位线与第三边的关系。
例3-1 .如图，中，，平分，，E为的中点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
易错点拨
由角平分线+垂线构造等腰三角形，利用三线合一找中点，构造三角形中位线求解，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。
变式训练3
1.如图，在平行四边形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
2 .在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠点落在点处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
3 .如图，中，，，．为边上一点，以为边在右侧构造等边．连接，为中点，则点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为
知识点4、利用三角形的中位线求周长、面积
名师点拨
巧用三角形中位线定理解题： 三角形中位线定理是证明线段相等、 倍分关系及平行的重要方法. 它在同一条件下有两个结论, 一个结论表明位置关系, 另一个结论表明数量关系，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。
例4-1 .如图1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BO=DO，∠BCA=∠CAD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周长．
易错点拨
由平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出FG的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后进行计算即可解答．
变式训练4
1 .如图，为的中位线，在外取点，连接，，，与相交于点，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的周长．
2 .如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积．
3 .如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．
知识点5、利用三角形的中位线证明
名师点拨
三角形中位线定理是证明线段相等、 倍分关系及平行的重要方法. 它在同一条件下有两个结论, 一个结论表明位置关系, 另一个结论表明数量关系，进行有关线段相等，直线位置关系时，如果有中点考虑三角形的中位线，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。
例5-1 .如图，已知在中，平分，且于点F，平分的一个外角，且于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
易错点拨
题目中有角平分线加垂线构造等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得中点，利用中位线求解。
变式训练5
1 .在中，，分别以、为斜边，向的内侧作等腰、等腰，点M是的中点，连接．
(1)若，，求的长．
(2)试探求线段、和的数量关系，并证明你的结论．
2 .如图1，在中，点D在的延长线上，且，分别过点D作交的延长线于点E，连接，交于点G，
(1)求的长，并证明；
(2)如图1，在射线上只用圆规作一点Q，使得（保留作图痕迹，并简要说明作法）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别取的中点M、N，动点H在上运动，求的最小值
知识点6 与中位线有关的格点作图
名师点拨
取非标线段中点通过构造格点三角形来获取中位线,然后确定两条边的中点,从而通过重心来确认任意线段的中点..
例6-1 .如图，在网格图中，的三个顶点都在格点上，点P为三角形内一点，请只用无刻度直尺作图；
(1)请画出中边对应的中位线；
(2)请过点P作线段，与交于点M，与交于点N，且满足点P是的中点．
易错点拨
取与格线的交点D，的中点E，连接即可。
变式训练6
1 .如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画的中位线，使点F在边上．
(2)在图②中画以为对角线的．
(3)在图③中作射线，在其上找到一点H，使．
2 .在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法）
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN=3米，则AB=（ ）
A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米
2．如图，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是BE，DE的中点，螺钉E在滑道AC内上下滑动时，橡皮筋PQ的长度（ ）
A. 螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大
B. 螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大
C. 上下滑动时，PQ的长度时而增大时而减小
D. 上下滑动时，PQ的长度始终不变
3．如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形PBCQ．若DE=5，AF=4，则矩形PBCQ的面积是 （ ）
A. 40 B. 20 C. 15 D. 10
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC=90°，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A. B.
C. D. 3
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点G是BC上一点，连接DE、DG，GE，点F是DE的中点，连接GF，若DG⊥EG，GF=3，则BC的长为（ ）
A. 6 B. 16 C. 18 D. 12
6．如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是（ ）
A. B. 4-2
C. 4- D. 4-4
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A. 直线PQ是AC的垂直平分线
B. CD=AB
C. DE=BC
D. S△ADE：S四边形DBCE=1：4
8．如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（ ）
A. B.
C. 2 D.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在斜边AC上，连接BD，且∠DBC=∠DCB，以点A为圆心，以AD长为半径作弧交BD于点E，连接CE，取CE的中点F，连接DF．下列结论中不正确的是（ ）
A. DB平分∠ADF B. CE=2DF
C. 若DF=2，则BD=4 D. 若BD=4，则DF=2
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
二、填空题(共5题,每小题3分，共15分)
11．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若EF=2，BC=10，则AB的长为___________．
13．如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足_______时（填写一个条件），PQ⊥MN．
14．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．
15．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 _____．
三、解答题(共8题，共75分)
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．
17．（8分）如图，在中，，D，E分别是边的中点，，点F在的延长线上，且．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接与相交于点，若，求的长．
18．（8分）如图，中，分别是的中点，，过点B作，交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若BC=2, ∠BCE=60 ° ，求菱形的面积．
19．（9分）如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的中点，，和互余，求的长度．
20．（9分）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在线段上有一点，且，当运动几秒时，四边形的周长最小，并画图标出点的位置．
21．（8分）数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）若AB=16，CD=30，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长．小兰说：取BD的中点P，连接PE，PF．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；
（2）小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足∠BDC=90°+∠ABD，就能得到AB、CD、EF的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到AB、CD、EF的数量关系，并说明理由．
22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 _____，位置关系是 _____；并加以证明；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
23．（13分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
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知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷
专题九，三角形的中位线
知识点1、三角形的中位线
1.三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
中位线定理
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
名师点拨
1.三角形的中位线是三角形内部的一条线段，它的两个端点是三角形两边的中点。
2.三角形的中位线定理是证明线段平行或相等的常用方法之一，解答题目时注意其应用。
3.中点三角形①中点三角形的周长是原三角形周长的一半，②中点三角形的面积是原三角形面积的.
例1-1 .已知一个直角三角形的两条直角边和分别为6、8．点点分别为和的中点，则 ，斜边的高线 ．
【答案】 5 4.8
【分析】由勾股定理可求出，根据中位线定理即可求出；根据即可求出．
【详解】解：∵
∴
∵点点分别为和的中点
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、中位线的性质定理．掌握中位线的性质是解题关键．
变式训练1
1 .如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，分别取的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，之间的距离是．
故选：D．
2 .如图，在凸四边形中，，M，N分别为中点，则线段的值不可能是（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理及三边关系，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得的取值范围，即可解答．
【详解】解：连接，取中点G，连接，
∵M是边的中点，
∴是的中位线，，
，
∵N是的中点，
∴是的中位线，，
，
在中，由三角形三边关系可知，即，
∴，
当时，即，
故线段长的取值范围是，
线段的值不可能是1．
故选：A．
知识点2、利用三角形的中位线求角度
名师点拨
利用三角形的中位线定理求角度时，注意利用中位线得到平行线的性质，由平行得相等角，再利用其他条件求解
例2-1 .如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．
(1)求证：．
(2)已知，若，求的度数．
易错点拨
根据中位线得到线相等及平行．从平行入手找出相等角，利用的条件，即可证明出
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到是的中位线，得到，进而证明出，然后由得到，即可证明出；
（2）根据平行线和等边对等角性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和求解即可．
【详解】（1）∵点E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
变式训练2
1 .如图，四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到FG∥AD，，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵E，F，G分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
又∵，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，在中，、分别是和两边上的中点，若，，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据三角形的内角和定理可知：，根据DE是的中位线，可知∥BC，即=．
解：∵，，
∴，
∵、分别是和两边上的中点，
即DE是的中位线，
∴∥BC，
∴=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形中位线平行于底边是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=DC，∠ABD=100°，∠BDC=44°．则∠GEF的度数是（ ）
A. 10° B. 20° C. 28° D. 30°
【答案】C
【解析】根据三角形中位线定理得到EG∥DC，EG=DC，FG∥AB，FG=AB，根据平行线的性质求出∠EGF=124°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
解：∵点E、G分别是BC、BD的中点，
∴EG∥DC，EG=DC，
∴∠BGE=∠BDC=44°，
∵点F、G分别是AD、BD的中点，
∴FG∥AB，FG=AB，
∴∠BGF=180°-∠ABD=80°，
∴∠EGF=80°+44°=124°，
∵AB=DC，
∴GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE=×（180°-124°）=28°，
故选：C．
4．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
【答案】或
【解析】分点O在内部和点O在外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出即可．
解：当点O在内部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
当点O在外部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、A、O、M四点共圆，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题．
知识点3、利用三角形的中位线求线段长度
名师点拨
应用三角形的中位线定理进行线段的计算时，
①找：找出中位线两个端点所在的边是那个三角形的两边。
②定：确定这个三角形的第三边；
③用：应用三角形中位线定理，写出三角形中位线与第三边的关系。
例3-1 .如图，中，，平分，，E为的中点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
易错点拨
由角平分线+垂线构造等腰三角形，利用三线合一找中点，构造三角形中位线求解，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。
【答案】A
【分析】延长交于点F，证，再由E为的中点，即可求解；
【详解】解：延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、中位线的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
变式训练3
1.如图，在平行四边形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】如图：连接并延长交于P，连接,过E作交延长线于 I，根据平行四边形的性质得到；再说明，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，根据全等三角形的性质得到，进而求得，再由勾股定理可得，最后运用三角形的中位线定理即可解答．
【详解】解：连接并延长交于P，过E作交延长线于 I,
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E、F分别是边、的中点，，，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，,
∴，
∴，
∴，
∵点G是的中点，,
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，正确的作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
2 .在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠点落在点处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由折叠的性质可知，，，进而得到，推出，再根据平角的性质和三角形内角和定理，得到，即可证明结论；
（2）连接交于点G，由折叠的性质可知，垂直平分，进而推出为的中位线，得到，设，利用勾股定理列方程，解得，即可求出的长．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，，，
是边的中点，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：由题意可知，为对称轴，点B、F为对应点，
连接交于点G，
由折叠的性质可知，垂直平分，
，点G为的中点，
是边的中点，
为的中位线，
，
设，则，
，
，，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行的判定，等边对等角，中位线的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和中位线的性质是解题关键．
3 .如图，中，，，．为边上一点，以为边在右侧构造等边．连接，为中点，则点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含30°的直角三角形的三边关系，全等三角形的性质与判定，根据中，，，，所以，，由是等边三角形，可知．所以．取的中点E，的中点F，连接，所以，所以，可得，所以，由此可得点D的运动轨迹过点E垂直于的一条直线上，且轨迹长度为．再由三角形的中位线定理可知，点Q的运动轨迹为过点F垂直于的线段，进而可得结论．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴．
∴．
如图，取的中点E，的中点F，连接，
，
，
，
，即随着点P的运动，点D的运动轨迹过点E垂直于的一条直线上，且轨迹长度为．
∵点F是的中点，点Q为的中点，
且，
，即．
∴点Q的运动轨迹为过点F垂直于的线段，
∴轨迹的长度为：．
故答案为：．
知识点4、利用三角形的中位线求周长、面积
名师点拨
巧用三角形中位线定理解题： 三角形中位线定理是证明线段相等、 倍分关系及平行的重要方法. 它在同一条件下有两个结论, 一个结论表明位置关系, 另一个结论表明数量关系，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。
例4-1 .如图1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BO=DO，∠BCA=∠CAD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周长．
易错点拨
由平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出FG的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后进行计算即可解答．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据已知可得，然后再利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
（2）连接DF，利用平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出FG的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：在与中，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，，
∵点是的中点，，
∴
∵点，点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长=，
∴的周长为24．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式训练4
1 .如图，为的中位线，在外取点，连接，，，与相交于点，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线的性质得出，则，根据已知，得出，根据已知条件，四边形内角和为，可得，，进而证明，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，，根据中位线的性质得出，，，进而根据三角形周长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形；
∴，，
∵为的中位线，，，，
∴，，，
∴的周长．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
2 .如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据三角形中位线定理可得，同理可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）连接，先根据三角形中位线定理可得，根据同底等高可得，同理可得，从而可得，再根据等底同高可得，从而可得，然后利用同样的方法即可求出四边形的面积．
【详解】证明：（1）分别是的中点，
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图，连接，
分别是的中点，
，
（同底等高），
同理可得：，
，
又是的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得：，
即四边形的面积为4．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、三角形的中线等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用到三角形中位线定理和三角形的中线是解题关键．
3 .如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF//BC，BE=AB=AC=CF，
∴四边形EBCF是等腰梯形；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，
∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF，
∴四边形EFGC是平行四边形，
又∵四边形EBCF是等腰梯形，
∴FG=EC=BF，
∵EF=CG，FC=BE，
∴△EFB≌△CGF（SSS），
∴，
∵GC=EF=1，且EF=BC，
∴BC=2，
∴BG=BC+CG=1+2=3．
∵FG//EC，
∴∠GFB=∠BOC=90°，
∴FH=BG=，
∴．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
知识点5、利用三角形的中位线证明
名师点拨
三角形中位线定理是证明线段相等、 倍分关系及平行的重要方法. 它在同一条件下有两个结论, 一个结论表明位置关系, 另一个结论表明数量关系，进行有关线段相等，直线位置关系时，如果有中点考虑三角形的中位线，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。
例5-1 .如图，已知在中，平分，且于点F，平分的一个外角，且于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
易错点拨
题目中有角平分线加垂线构造等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得中点，利用中位线求解。
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）延长交于M，延长交的延长线与N，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的选择得到，同理，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）延长交于M，延长交的延长线与N，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，,
同理，,
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式训练5
1 .在中，，分别以、为斜边，向的内侧作等腰、等腰，点M是的中点，连接．
(1)若，，求的长．
(2)试探求线段、和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求得，，计算线段的差即可得到的长．
（2）延长，交于点N，证明，得到，，是的中位线，利用中位线定理证明即可．
【详解】（1）∵，，都是等腰直角三角形，
∴，，，
故A，D，E三点共线，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
（2）线段、和的数量关系为．理由如下：
如图，延长，交于点N，
∵，
∴，
∴，，
+
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴线段、和的数量关系为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，勾股定理，熟练掌握中位线定理和勾股定理是解题的关键．
2 .如图1，在中，点D在的延长线上，且，分别过点D作交的延长线于点E，连接，交于点G，
(1)求的长，并证明；
(2)如图1，在射线上只用圆规作一点Q，使得（保留作图痕迹，并简要说明作法）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别取的中点M、N，动点H在上运动，求的最小值
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由两个垂直条件及，可证明，则有，由勾股定理建立方程即可求得；再由线段垂直平分线的判定定理即可得；
（2）由及，可得，则可得也是等腰三角形，且腰长为8，于是以A为圆心，为半径画弧交射线于点Q，则点Q满足条件；
（3）取的中点P，连接，则当点N在线段上时，的值最小，利用中位线定理即可求得最小值．
【详解】（1）解：由题意知：，，
又，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
，
是线段的垂直平分线，
；
（2）解：满足条件的点Q如下图所求，且；
，，
，
，
，
，
，
，
所以是等腰三角形，且腰长为8，
于是以A为圆心，为半径画弧交射线于点Q，则有
（3）解：取的中点P，连接，如图所求，
，，
平分，
N、P分别为的中点，
，
,
当点N在线段上时，的值最小，最小值为线段的长；
在中，由勾股定理得，
，
，
；
在中，由勾股定理得，
，
分别为的中点，
，
即的值最小为．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定定理，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，熟练运用这些知识是关键．
知识点6 与中位线有关的格点作图
名师点拨
取非标线段中点通过构造格点三角形来获取中位线,然后确定两条边的中点,从而通过重心来确认任意线段的中点..
例6-1 .如图，在网格图中，的三个顶点都在格点上，点P为三角形内一点，请只用无刻度直尺作图；
(1)请画出中边对应的中位线；
(2)请过点P作线段，与交于点M，与交于点N，且满足点P是的中点．
易错点拨
取与格线的交点D，的中点E，连接即可。
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取与格线的交点D，的中点E，连接即可；
（2）作点B关于点P的对称点F，过点F的格线与边交于点M，连接并延长交交于点N，则线段即为所作．由作图知，，可证，则，即点P是的中点．
【详解】（1）解：如图，中边对应的中位线即为所作；
；
（2）解：如图，线段即为所作．
【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及三角形的中位线、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
变式训练6
1 .如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画的中位线，使点F在边上．
(2)在图②中画以为对角线的．
(3)在图③中作射线，在其上找到一点H，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用格点找出的中点，即为点F；
（2）由图可知，因此将点A向右移动两格即为点G，连接可得；
（3）连接并延长，与的交点即为点H．
【详解】（1）解：如下图所示；
（2）解：如下图所示；
理由如下：由图可知，，
四边形以为对角线的平行四边形；
（3）解：点H如下图所示．
理由如下：由（2）知四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查格点作图，解题的关键是掌握格点作图的特点、平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质．
2 .在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的判定作出点D即可；
（2）利用格点特征作出AB、AC的中点E、F，线段EF即为所求．
（1）
解：如图，点D即为所求．
（2）
解：如图，线段EF即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN=3米，则AB=（ ）
A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米
【答案】B
【解析】根据三角形中位线定理计算即可．
解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB=2MN=6（m），
故选：B．
2．如图，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是BE，DE的中点，螺钉E在滑道AC内上下滑动时，橡皮筋PQ的长度（ ）
A. 螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大
B. 螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大
C. 上下滑动时，PQ的长度时而增大时而减小
D. 上下滑动时，PQ的长度始终不变
【答案】D
【解析】连接BD，根据三角形中位线定理可得PQ=BD，即可得到结论．
解：连接BD，
∵P，Q分别是BE，DE的中点，
∴PQ是△BDE的中位线，
∴PQ=BD（定值），
∴橡皮筋PQ的长度不变．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形PBCQ．若DE=5，AF=4，则矩形PBCQ的面积是 （ ）
A. 40 B. 20 C. 15 D. 10
【答案】A
【解析】根据图形的拼剪，可得BP=AF，根据三角形中位线定理求出BC，根据矩形的面积公式即可解决问题．
解：由题意，BP=AF=4，
∵点D、E是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∴BC=2DE=2×5=10，
∴矩形PBCQ的面积=BP BC=4×10=40．
故选：A．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC=90°，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A. B.
C. D. 3
【答案】C
【解析】根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据E、F、Q三点共线的时，EF的值最小即可解答．
解：取BC的中点Q，连接DQ，FQ，
∵F为AB的中点，
∴，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，
∴，
∴，
∵∠BEC=90°，
∴，
当E、F、Q三点共线的时，EF的值最小，
∴．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点G是BC上一点，连接DE、DG，GE，点F是DE的中点，连接GF，若DG⊥EG，GF=3，则BC的长为（ ）
A. 6 B. 16 C. 18 D. 12
【答案】D
【解析】由直角三角形三角形的性质求出DE=6，由三角形中位线定理可得出答案．
解：∵DG⊥EG，
∴∠DGE=90°，
∵F为DE的中点，
∴GF=DE，
∵GF=3，
∴DE=6，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∴BC=12．
故选：D．
6．如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是（ ）
A. B. 4-2
C. 4- D. 4-4
【答案】D
【解析】以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，证明△ABC≌△A′BD，可得AC=A′D=2，从而可得DM是△ABP的中位线，所以PB=2DM，当DM最小时，PB有最小值，根据△AA′B是等边三角形，M是AB中点，可得当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值，然后根据勾股定理即可求出结论．
解：如图，以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，
在等边三角形A′AB和等边三角形BCD中，
AB=A′B，BC=BD，∠ABA′=∠CBD=60°，
∴∠ABC=60°-∠ABD，∠A′BD=60°-∠ABD，
∴∠ABC=∠A′BD，
在△ABC和△A′BD中，
，
∴△ABC≌△A′BD（SAS），
∴AC=A′D=2，
∵AD=PD，AM=BM，
∴DM是△ABP的中位线，
∴PB=2DM，
∴当DM最小时，PB有最小值，
∵△AA′B是等边三角形，M是AB中点，
∴当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值，
此时，A′A=4，AM=2，A′M⊥AB，
∴A′M===2，
∴DM=A′M-A′D=2-2，
∴PB的最小值是4-4．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A. 直线PQ是AC的垂直平分线
B. CD=AB
C. DE=BC
D. S△ADE：S四边形DBCE=1：4
【答案】D
【解析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，
∴DA=DC，AE=EC，
∴∠A=∠DCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠B=∠DCB，
∴DB=DC，
∴AD=DB，
∴CD=AB，故选项B正确，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，故选项C正确，
故选：D．
8．如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（ ）
A. B.
C. 2 D.
【答案】D
【解析】由AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，根据矩形ABCD可得△ABE是等腰直角三角形，所以BE=AB=3，从而可求EC=1，连接DE，由勾股定理得DE的长，再根据三角形中位线定理可求FG的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=3，
∵BC=AD=4，
∴EC=1，
连接DE，如图，
∴DE=，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG=．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理，熟记性质与定理是解题关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在斜边AC上，连接BD，且∠DBC=∠DCB，以点A为圆心，以AD长为半径作弧交BD于点E，连接CE，取CE的中点F，连接DF．下列结论中不正确的是（ ）
A. DB平分∠ADF B. CE=2DF
C. 若DF=2，则BD=4 D. 若BD=4，则DF=2
【答案】B
【解析】根据等腰三角形的判定，可得BD=CD，再证明∠ABD=∠BAC，可得AD=BD=CD，再由三角形中位线定理可得DF∥AE，AE=2DF，可得∠FDB=∠AED，进而得到∠ADE=∠FDB，再逐项判断，即可．
解：∵∠DBC=∠DCB，
∴BD=CD，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠ABD=∠ABC=90°，∠DCB+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC，
∴AD=BD=CD，
∵CE的中点F，
∴DF∥AE，AE=2DF，
∴∠FDB=∠AED，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=∠FDB，
∴DB平分∠ADF，故选项A正确，不符合题意；
∵AD=CD，EF=CF，
∴AE=2DF=AD=BD=4，故选项C正确，不符合题意；
∵AD=CD，
∴，
∴，
∴选项D正确，不符合题意；
由AD=BD=CD，
∴BD是 Rt△ABC的中线，不一定是AC上的高，
∴∠BDC不一定为90°，
∴CE，2DF不一定相等，故选项B不正确，符合题意．
故选：B．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
【答案】D
【解析】根据菱形的性质得到OA=OC，AB=BC=CD=AD，再证得OE是△ABC的中位线，求出BC即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AB=BC=CD=AD，
∵点E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC=2OE=8，
∴菱形ABCD的周长为8×4=32，
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，正确掌握菱形的性质是解题的关键．
二、填空题(共5题,每小题3分，共15分)
11．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
故答案为：3
12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若EF=2，BC=10，则AB的长为___________．
【答案】6
【解析】解：延长AF交BC于M，
∵DE为△ABC的中位线，
∴AD=BD，AE=EC，DE∥BC，
∴AF=FM，
∵BF⊥AM，
∴BA=BM，
∵AF=FM，AE=EC，
∴CM=2EF=4，
∴BM=BC CM=6，
∴AB=BM=6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是出现中点想到三角形的中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.
13．如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足_______时（填写一个条件），PQ⊥MN．
【答案】AB=CD
【解析】根三角形中位线的性质，菱形的性质即可解答；
解：∵P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴PN是△ACD的中位线，PN=CD， MQ是△BCD的中位线，MQ=CD，
∴MQ=PN=CD，
同理可得：NQ=PM=AB，
当AB=CD时，MQ=PN=NQ=PM，四边形MQNP是菱形，
∵菱形对角线垂直平分，
∴PQ⊥MN，
故答案为：AB=CD；
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题关键．
14．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．
【答案】
【解析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．
解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC．
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4，
∴∠DEB=60°，DE=2．
∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2，
∴∠FEC=30°，EF=．
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．
∵G是EF的中点，
∴EG=．
在RtΔDEG中，DG=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．
15．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 _____．
【答案】（2+，2+）
【解析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标．
解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=4，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=4，∠BOD=90°，
∴BD=4，
∴CD=4+2，
作CE⊥x轴于E，
∵CE∥OB，
∴，即，
∴CE=DE=4+，
∴OE=DE-OD=，
∴C（，4+），
∵M是AC的中点，
∴M（2+，2+），
故答案为：（2+，2+）．
三、解答题(共8题，共75分)
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．
【解析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB=13，
解∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴，
∵BC=10，
∴BD=5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∵AD=12，
∴，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴．
17．（8分）如图，在中，，D，E分别是边的中点，，点F在的延长线上，且．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接与相交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证出，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，再由等边三角形的性质得，，然后由含角的直角三角形的性质得，，进而得出．
【小问1详解】
解：证明：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，是边的中点，
，
又，
，
平行四边形为菱形；
【小问2详解】
解：连接，交于于，如图，
由（1）得：四边形为菱形，
，，
又∵
，
是等边三角形，
，
，
，
∴，
在中，
，
，
∴
在中，．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质，证出．
18．（8分）如图，中，分别是的中点，，过点B作，交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若BC=2, ∠BCE=60 ° ，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】（1）先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC=CE，即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE=CE
∴BC=CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；
【小问2详解】
解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
由（1）知BC=CE，
∵∠BCE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=CE=BC=2，
∵EG⊥BC，
∴BG=BC=1，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG==，
∴S菱形BCEF=BC EG=2×．
【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
19．（9分）如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的中点，，和互余，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【解析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到DE=E F，DG//EF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先说明∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出EF即可．
解：（1）∵、分别是、的中点，
∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵和互余，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴．
由（1）有四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线、直角三角形的性质等知识点，判定四边形DEFG是平行四边形成为解答本题的关键．
20．（9分）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在线段上有一点，且，当运动几秒时，四边形的周长最小，并画图标出点的位置．
【答案】（1）2.5；（2）存在，，；，；，；（3），图见解析
【解析】（1）先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10-2t，进而由平行四边形的性质建立方程10-2t=5即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
由运动知，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
①当点在的右边时，如图，
∵四边形为菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴
②当点在的左边且在线段上时，如图，
同①的方法得出 ，
∴，
③当点在的左边且在的延长线上时，如图，
同①的方法得出， ，
∴．
如图，
由知，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形的周长为
，
∴最小时，四边形的周长最小，
∴作点关于的对称点，连接交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，极值的确定，三角形中位线定理，解（1）的关键是求出OD的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题．
21．（8分）数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）若AB=16，CD=30，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长．小兰说：取BD的中点P，连接PE，PF．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；
（2）小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足∠BDC=90°+∠ABD，就能得到AB、CD、EF的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到AB、CD、EF的数量关系，并说明理由．
【解析】（1）取BD的中点P，连接PE，PF，先利用三角形的中位线定理证明EP∥AB，EP=AB=8，PF∥CD，PF=CD=15，从而可得∠EPF=90°，然后利用勾股定理求出EF即可；
（2）利用（1）的结论证明EP=AB，PF=CD，∠EPF=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
解：（1）取BD的中点P，连接PE，PF，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴EP是△ABD的中位线，PF是△BDC的中位线，
∴EP∥AB，EP=AB=8，PF∥CD，PF=CD=15，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠BPF=∠BDC=120°，
∴∠DPF=180°-∠BPF=60°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°，
在Rt△EPF中，EF===17，
∴EF的长为17；
（2）小花说得对，EF2=AB2+CD2，
理由：由（1）可得：EP∥AB，EP=AB，PF∥CD，PF=CD，
∴∠EPD=∠ABD，∠BPF=∠BDC=90°+∠ABD，
∴∠DPF=180°-∠BPF=90°-∠ABD=90°-∠EPD，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠EPD+90°-∠EPD=90°，
在Rt△EPF中，EF2=EP2+PF2，
∴EF2=AB2+CD2．
22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 _____，位置关系是 _____；并加以证明；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
【答案】(1)PM=PN;(2)PM⊥PN;
【解析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=CE，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论．
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，，，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
23．（13分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【解析】（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得．
（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．
（1）证明：如图①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF．
（2）成立，
证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH与△ACD中，
∴△ABH≌△ACD（SAS）
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF．
专题检测卷
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精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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