长沙市周南中学 2024 届高三第二次模拟考试
数学试卷
时量: 120 分钟 满分: 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 关于 的方程 在复数范围内的两个根 ,则
A. B. C. D.
3. 已知向量 中, 是单位向量, 与 的夹角为 ,则
A. 2 B. C. D. -1
4. 在空间中,已知 为不同的直线, 为不同的平面,则下列判断正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 已知 ,直线 与曲线 相切,则 的最小值是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 的展开式中 的系数为
A. 180 B. 210 C. 240 D. 250
7. 已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 分别为双曲线 的左、右顶点,过双曲线 的左焦点 作直线 交双曲线于 两点(点 异于 ),则直线 的斜率之比
A. B. C. -3 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 若随机变量 ,且 ,则
B. 若随机变量 满足 ,则
C. 若样本数据 线性相关,则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 . 依据 的独立性 检验 ,可判断 与 有关
10. 过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线 于 两点 ,若 ,则下列说法正确的是
A. 为定值
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线,两切线交于点 ,则点 在以 为直径的圆上
D. 若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于 两点,则
11. 已知函数 的定义域和值域均为 ,对于任意非零实数 ,函数 满足: ,且 在 上单调递减, ,则下列结 论正确的是
A. B.
C. 为奇函数 D. 在定义域内单调递减
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 的通项公式为: ,其前 项和为 ,若 成等比数列, 则 k=___________
13. 已知 ,则 ___________
14. 若平面直角坐标系内 两点满足: (1) 点 都在 的图象上; (2) 点 关于 原点对称,则称点对 是函数 的一个“姊妹点对”,且点对 与 记为一个“姊妹点对”. 已知函数 ,则 的“姊妹点对”有__________个.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1) 求 ;
(2) 若 外接圆的直径为 ,求 的取值范围.
16. (15 分)
某高新技术企业新研发出了一种产品, 该产品由三个电子元件构成, 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ,组装过程中不会造成电子元件的损坏,若有 一个电子元件是次品, 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查, 确保无任 何一件次品流入市场.
(1) 若质检员检测出一件次品, 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2) 现有两种方案, 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件, 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品, 一旦发现次品, 则取出重新更换次品的 电子元件, 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元,该企业每月生产该产品 件 ,请从企业获益的角度选择最优方案.
17. (15 分)
如图,在四棱雉 中,底面 是边长为 2 的菱形, 是等边三角形, ,点 分别为 和 的中点.
(1) 求证: 平面 平面 ;
(2) 求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知椭圆 的对称中心为坐标原点,焦点在 轴上, 的离心率为 ,且过点 , 等轴双曲线 以 的焦点 为顶点,动点 在 的右支上且异于顶点.
(1) 求 与 的方程;
(2) 设直线 的斜率分别为 ,直线 与 相交于点 ,直线 与 相交于点 . 是否存 在常数 使得 ,若存在求出 的值, 若不存在, 请说明理由.
19. (17 分)
微积分的创立是数学发展过程中的里程碑, 它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 对于函数 在区间 上的图像连续不断,从几何上看,定积分 便是由直线 和曲线 所围成的区域(称为曲边梯形 )的面积,根据微积分基本定理可得 ,因为曲边梯形 的面积小于梯形 的面积,即 曲边梯形ABQP＜ 梯形ABQP ,代入数据,进一步可以推导出不等式: .
(1) 请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,
证明: ;
(2) 已知函数 ,其中 .
(1) 证明: 对任意两个不相等的正数 ,曲线 在 和 处的切 线均不重合;
(2) 当 时,若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.长沙市周南中学 2024 届高三第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
答案: A
2. 关于 的方程 在复数范围内的两个根 ,则
A. B. C. D.
答案: D
3. 已知向量 中, 是单位向量, 与 的夹角为 ,则
A. 2 B. C. D. -1
答案: B
解析: ,所以 .
4. 在空间中,已知 为不同的直线, 为不同的平面,则下列判断正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
答案: C
解析: 若 ,则 或 ,故 错误; 错,可相交;
对于 ,若 ,由线面垂直性质可得 ,即 正确;
若 ,则 不一定平行,故 错误.
5. 已知 ,直线 与曲线 相切,则 的最小值是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案: D
解析: 易得切点横坐标 ,则 ,即 .
所以 ,所以 当且仅当 时取等号.
6. 的展开式中 的系数为
A. 180 B. 210 C. 240 D. 250
答案: B
7. 已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
答案: B
解析: “ ”,即 ,
则
,则“ ” 是“ ” 的充要条件.
8. 已知 分别为双曲线 的左、右顶点,过双曲线 的左焦点 作直线 交双曲线于 两点(点 异于 ),则直线 的斜率之比
A. B. C. -3 D.
答案: C
解析: 设 ,由题意得 ,
所以 ,所以 ,
当直线斜率存在时,设直线 方程为 ,
所以联立双曲线方程得: ,所以 ,
所以 ,因为 ,
所以 ,
因为过双曲线 的左焦点 作直线 交双曲线于 两点,
所以 比值为负数,所以 ;
当直线 斜率不存在时,容易验证 ;
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 若随机变量 满足 ,则
B. 若随机变量 ,且 ,则
C. 若样本数据 线性相关,则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 . 依据 的独立性 检验 ,可判断 与 有关
答案: BCD
解析: 对 A,由方差的性质可知,若随机变量 满足 ,
则 ,故 A 错误;
对 ,根据正态分布的图象对称性可得 ,故 正确;
对 ,根据回归直线方程过样本中心点可知 正确;
对 ,由 可判断 与 有关,故 D 正确.
10. 过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线 于 两点 ,若 ,则下列说法正确的是
A. 为定值
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线,两切线交于点 ,则点 在以 为直径的圆上
D. 若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于 两点,则
答案: ACD
解析: 对于: 由已知设过点 的直线方程为 ,
联立方程 ,消去 得 ,可得 ,
又因为 ,所以 ,
则 ,解得 (定值) A 正确;
所以抛物线方程为 ,准线方程为 错误;
对于 C: 抛物线 ,即 ,易得 ,
所以 ,
故直线 垂直,所以点 在以 为直径的圆上, 正确;
对于 D: 由 选项知 ,
因为直线 垂直于直线 ,
所以
则 ,D 正确.
11. 已知函数 的定义域和值域均为 ,对于任意非零实数 ,函数 满足: ,且 在 上单调递减, ,则下列结 论正确的是
A. B.
C. 为奇函数 D. 在定义域内单调递减
答案: AC
解析: 对于 ,令 ,则 ,
因 ,故得 ,故 A 正确;
对于 ,由 ,令 ,则 ,
则 ,即 ,故 是以 为首项,2 为公比的等比数列,
于是 ,故 B 错误;
对于 ,由题意,函数 的定义域为 ,关于原点对称,
令 ,则 (1),
在 中,将 都取成 ,
可得: (2),
将(2)式代入(1)式,可得 ,
化简可得 ,即 为奇函数,故 正确.
对于 在 上单调递减,函数为奇函数,可得 在 上单调递减, 但是不能判断 在定义域上的单调性,例如 ,故 错误.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 的通项公式为: ,其前 项和为 ,若 成等比数列, 则 k=___________
答案: 6
解析: 因为 成等比数列,所以 ,
由于 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,且前 项和为 ,
所以 ,所以 (舍去负根);
所以 (舍去负根).
13. 已知 ,则 ___________
答案:
解析: 由已知可得
14. 若平面直角坐标系内 两点满足: (1) 点 都在 的图象上; (2) 点 关于 原点对称,则称点对 是函数 的一个“姊妹点对”,且点对 与 记为一个“姊妹点对”. 已知函数 ,则 的“姊妹点对”有___________个
答案: 2
解析: 设 ,则点 关于原点的对称点为 ,于是 ,化为 ,
令 ,下面证明方程 有两解.
由 ,解得 ,而 只要考虑 即可.
求导 ,令 ,则 ,
在区间 上单调递增，而 在区间 上只存在一个极值点 .
而 ,
函数 在区间 分别各有一个零点.
也就是说 的 “姊妹点对” 有 2 个.
故答案为: 2.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1) 求 ;
(2) 若 外接圆的直径为 ,求 的取值范围.
解析: (1) 由 ,得 , 分
故得: ,
所以 ,
即 , .4 分
由正弦定理,得 ,
显然 ,所以 ,
所以 . 因为 ,所以 . .6 分
(2) 由正弦定理 ,得 .7 分
故 . (8) 分
又 ,所以 ,
所以 10 分
又 ,所以 , 12 分
所以 ,所以 的取值范围为 . 13 分
16. (15 分)
某高新技术企业新研发出了一种产品, 该产品由三个电子元件构成, 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ,组装过程中不会造成电子元件的损坏,若有 一个电子元件是次品, 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查, 确保无任 何一件次品流入市场.
(1) 若质检员检测出一件次品, 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2) 现有两种方案, 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件, 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品, 一旦发现次品, 则取出重新更换次品的 电子元件, 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元,该企业每月生产该产品 件 ,请从企业获益的角度选择最优方案.解析: (1) 记“质检员检测出一件次品”为事件 ,“该产品仅有一个电子元件是次品”为 . 分 ,所以 . ( 6 分 (2) 设一件产品中所含电子元件为次品的个数为 ,则 , 所以 , , ,
X 0 1 2 3
P
则 的分布列为
所以 . .12 分
若选方案一, 则企业每月支出质检员工资共 9000 元.
若选方案二, 则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计
. 14 分
若 ,则 .
所以当 且 时,选方案一; 当 且 时,选方案二. 15 分
17. (15 分)
如图,在四棱雉 中,底面 是边长为 2 的菱形, 是等边三角形, ,点 分别为 和 的中点.
(1) 求证: 平面 平面 ;
(2) 求平面 与平面 夹角的余弦值.
(1) 证明:
,过 作 于点 分
4 分
平面 平面 平面 平面 . -6 分
(2) 如图建系,则 ,
,
(.8 分
设平面 的一个法向量 ,则由 ,得 分
设平面 的一个法向量
则由 ,得 .12 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 14 分
故平面 与平面 夹角的余弦值为 15 分
18. (17 分)
已知椭圆 的对称中心为坐标原点,焦点在 轴上, 的离心率为 ,且过点 , 等轴双曲线 以 的焦点 为顶点,动点 在 的右支上且异于顶点.
(1) 求 与 的方程;
(2) 设直线 的斜率分别为 ,直线 与 相交于点 ,直线 与 相交于点 . 是否存 在常数 使得 ,若存在求出 的值, 若不存在, 请说明理由.
(1) 证明: 设 的方程分别为 与
由 ,则 ,所以 得 .
所以故 的坐标分别为 ,故 的方程为 4 分
的方程为 . 6 分
(2) 设直线 的斜率分别为 ,点 的坐标分别为 ,
则 , 9 分
的方程为 ,代入 可得: ,
故 , 分
所以
13 分
同理可得 , .15 分
故
即 ,所以存在 ,使得 . 分
19. (17 分)
微积分的创立是数学发展过程中的里程碑, 它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 对于函数 在区间 上的图像连续不断,从几何上看,定积分 便是由直线 和曲线 所围成的区域(称为曲边梯形 )的面积,根据微积分基本定理可得 ,因为曲边梯形 的面积小于梯形 的面积,即 曲边梯形ABQP＜ 梯形ABQP,代入数据,进一步可以推导出不等式:
(1) 请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,
证明: ;
(2) 已知函数 ,其中 .
(1) 证明: 对任意两个不相等的正数 ,曲线 在 和 处的切 线均不重合;
(2) 当 时,若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
解析: (1) 在曲线 取一点 . -2 分
过点 作 的切线分别交 于 , 分
,
即 . 分
(2) (1) 由函数 ,可得 ,
不妨设 ,曲线 在 处的切线方程为
,即 (6) 分
同理曲线 在 处的切线方程为 ,
假设 与 重合,则 , ( 8 分
代入化简可得 ,
两式消去 ,可得 ,整理得 ,
由(1)的结论知 ,与上式矛盾
即对任意实数 及任意不相等的正数 与 均不重合. .11 分
(2) 当 时,不等式 恒成立,
所以 在 恒成立,
所以 , .12 分
下证: 当 时, 恒成立. 因为 ,所以
设
(i) 当 时,由 知 恒成立,
即 在 为增函数,所以 成立; .14 分
(ii) 当 时,设 ,可得 ,
由 知 恒成立,即 在 为增函数.
所以 ,即 在 为减函数,所以 成立,
综上所述,实数 的取值范围是 . 分
