豫章中学高三“三模”数学（B卷)详解详析
一、单选题：本大题共8小题，共40.0分。
1.我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
【答案】D 解：由某个密码使用的符号对应的字节数分别为，，，，，，，
可得，所以这组数据的分位数为．故选：．
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D 解：由题知，，所以或，
所以．故选D．
3.已知，， ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B 解：，，，当且仅当，即，时等号成立．故选B．
4.已知是虚数单位，，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 解：若，则，则，充分性成立；因为，若，则，则不一定有，如，，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件．故选A．
5.已知圆截直线所得弦的长度小于，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D 解：圆的方程整理得，圆心为，半径为，所以，
即，圆心到直线的距离为，当直线与圆所
得弦的长度小于，必须，解得，则，故选D．
6.已知函数若没有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A 解：函数，得定义域为，令，则，所以函数在，单调递减，在单调递增，当时，故，即，当时，，要使没有零点，则．故选A．
7.在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省，假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为，若圆柱的体积以均匀速度增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径( )
A. 成正比，比例系数为 B. 成正比，比例系数为
C. 成反比，比例系数为 D. 成反比，比例系数为
【答案】C 解：设圆柱的高为，由圆柱的体积，得，因为圆柱的体积以均匀速度增长，所以，所以，因为圆柱侧面积，所以，圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为．故选：．
8.设是，，，，的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是( )
A. B. C. D.
【答案】D 解：若对一切恒成立，则，，，或，，，，即、且、或、且、，下面讨论、且、的情况：当，，时，是，的一个排列，当，时，是，，的一个排列，当，时，是，，的一个排列，当，，时，是，的一个排列，此时共有种排列情况，同理可知，、且、时也有种排列情况，所以“交替”的排列的数目是．故选D．
二、多选题：本大题共3小题，共18.0分。
9.在中，内角，，所对的边分别是，，若，，，则角的可能取值是( )
A. B. C. D.
【答案】CD 解：由正弦定理可得，则．因为，所以，则或．
10.已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是( )
A. 的值域为 B. 定义域为
C. D. 是奇函数
【答案】BC 解：对， 的值域为，故A错误．对， 定义域为故B正确．对，当是有理数时也为有理数，当是无理数时也为无理数，故成立故C正确．
对，因为，故D错误．故选BC．
11.十七世纪法国数学家费马在平面与立体轨迹引论中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任一点异于，两点向长轴引垂线，垂足为，记，下列说法正确的是( )
A. 的值与点在椭圆上的位置有关 B. 的值与点在椭圆上的位置无关
C. 的值越大，椭圆的离心率越大 D. 的值越大，椭圆的离心率越小
【答案】BD 解：椭圆的方程化为标准方程为：，因为点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，不妨设为若，则，若，则，所以的值与点在椭圆上的位置无关，故A错误，B正确；若，椭圆的离心率为：，若，，所以当时，的值越大，越小，椭圆的离心率越小；当时，
的值越大，越大，椭圆的离心率越小，故C错误，D正确．故选BD．
三、填空题：本大题共3小题，共15.0分。
12.在直四棱柱中，当底面满足条件 时，有写出一种条件即可
【答案】答案不唯一 解：四棱柱是直棱柱，，若，平面，平面，则平面，
平面，又由，则有，反之，由亦可得到故答案为．
13.在等比数列中，、是关于的方程的两个实根，则 ．
【答案】 解：等比数列中，，是方程的根，则，，则，，由等比数列性质可知，所以，而，所以， ，故答案为．
14.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 用坐标表示
【答案】 解：向量，，则，，，所以向量在向量上的投影向量为，．故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77.0分。
15.本小题分在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
求边的值；
求，求的面积．
【答案】解：因为，所以，又因为，则，则，解得．
因为，由正弦定理得，则，因为，则，所以，
所以的面积为．
16.本小题分如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点是棱的中点．
求二面角的余弦值；
点是棱上的点，已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】解：由已知可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图，则各点的坐标为，，，，，，，，因为平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，所以即，取，所以所以，，所以，由图可得二面角的余弦值为．
设其中，所以，因为平面的一个法向量为，所以，．因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，所以，化简得，即，所以．
17.本小题分甲居住在城镇的处，准备开车到单位处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图例如：算作两个路段：路段发生堵车事件的概率为，路段发生堵车事件的概率为
请你为甲选择一条由到的最短路线即此人只选择从西向东和从南向北的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
设甲在路线中遇到的堵车次数为随机变量，求的数学期望．
【答案】解：由到的最短路线有条，即为：，，，；
；
；
故路线发生堵车事件的概率最小．
路线中遇到堵车次数可取值为，，，，，
，，；
故．
18.本小题分
以椭圆：的四个顶点为顶点的四边形的四条边与：共有个交点，且这个点恰好把圆周六等分．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若直线与相切，且与椭圆相交于，两点，求的最大值．
【答案】解：Ⅰ如图，依题意，，，，
，，，椭圆方程为．
Ⅱ当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，，此时当直线的斜率存在时，设直线的方程为，直线与相切，，即，由，消去，整理，得，
，由，得．设，，则，，．
．
当且仅当，即时，取得最大值．综上所述，的最大值为．
19.本小题分设数列的前项和为，已知，，．
证明：为等比数列，求出的通项公式
若，求的前项和，并判断是否存在正整数使得成立若存在求出所有值，若不存在说明理由．
【答案】解： ，，，为等比数列．
，公比为，，，，当时，，也满足此式，．
，，
两式相减得：，．
⑶代入得，令，在成立，，为增函数；，不存在正整数使得成立． 豫章中学高三“三模”数学试卷（B卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，， ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知是虚数单位，，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆截直线所得弦的长度小于，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知函数若没有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省，假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为，若圆柱的体积以均匀速度增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径( )
A. 成正比，比例系数为 B. 成正比，比例系数为
C. 成反比，比例系数为 D. 成反比，比例系数为
8.设是，，，，的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.在中，内角，，所对的边分别是，，若，，，则角的可能取值是( )
A. B. C. D.
10.已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是( )
A. 的值域为 B. 定义域为 C. D. 是奇函数
11.十七世纪法国数学家费马在平面与立体轨迹引论中证明，方程
表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任一点异于，两点向长轴引垂线，垂足为，记，下列说法正确的是( )
A. 的值与点在椭圆上的位置有关 B. 的值与点在椭圆上的位置无关
C. 的值越大，椭圆的离心率越大 D. 的值越大，椭圆的离心率越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直四棱柱中，当底面满足条件 时，有写出一种条件即可
13.在等比数列中，、是关于的方程的两个实根，则 ．
14.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 用坐标表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
求边的值；
求，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点是棱的中点．
求二面角的余弦值；
点是棱上的点，已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
17.本小题分
甲居住在城镇的处，准备开车到单位处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图例如：算作两个路段：路段发生堵车事件的概率为，路段发生堵车事件的概率为
请你为甲选择一条由到的最短路线即此人只选择从西向东和从南向北的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
设甲在路线中遇到的堵车次数为随机变量，求的数学期望．
18.本小题分
以椭圆：的四个顶点为顶点的四边形的四条边与：共有个交点，且这个点恰好把圆周六等分．
求椭圆的方程；
若直线与相切，且与椭圆相交于，两点，求的最大值．
19.本小题分
设数列的前项和为，已知，，．
证明：为等比数列，求出的通项公式
若，求的前项和，
⑶判断是否存在正整数使得成立若存在求出所有值，若不存在说明理由．
