压轴题09 电磁感应中的单双棒问题
电磁感应中的单双棒问题在高考物理中占据着举足轻重的地位，是考查学生对电磁感应现象和力学知识综合运用能力的关键考点。
在命题方式上，电磁感应中的单双棒问题通常会以综合性较强的题目形式出现，结合电磁感应定律、安培力、牛顿第二定律等知识点，考查学生对电磁感应现象中导体棒的运动状态、受力情况、能量转化等问题的理解和分析。题目可能要求考生分析导体棒在磁场中的运动轨迹、速度变化、加速度大小等，也可能要求考生求解导体棒产生的感应电动势、感应电流等物理量。
备考时，考生应首先深入理解电磁感应的基本原理和单双棒问题的特点，掌握电磁感应定律、安培力、牛顿第二定律等相关知识点的应用。同时，考生需要熟悉各种类型题目的解题方法和技巧，例如通过分析导体棒受力情况、运用动量定理和能量守恒定律等方法求解问题。
考向一：不含容单棒问题
模型 规律
阻尼式（导轨光滑） 1、力学关系：； 2、能量关系： 3、动量电量关系：；
电动式（导轨粗糙） 1、力学关系：； 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值：（1）最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大。 ；； 最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。
发电式（导轨粗糙） 1、力学关系： 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值： （1）最大加速度：当v=0时，。 （2）最大速度：当a=0时，
考向二：含容单棒问题
模型 规律
放电式（先接1，后接2。导轨光滑） 电容器充电量： 放电结束时电量： 电容器放电电量： 动量关系：； 功能关系：
无外力充电式（导轨光滑） 达到最终速度时： 电容器两端电压：（v为最终速度） 电容器电量： 动量关系：；
有外力充电式（导轨光滑） 力学关系： 电流大小： 加速度大小：
考向三：双棒问题
模型 规律
无外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 稳定条件：两棒达到共同速度 动量关系： 能量关系：；
有外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 力学关系：；。（任意时刻两棒加速度） 稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 稳定时的物理关系： ；；；
无外力不等距式 （导轨光滑） 动量关系：； 稳定条件： 最终速度：； 能量关系： 电量关系：
有外力不等距式 （导轨光滑） F为恒力，则： 稳定条件：，I恒定，两棒做匀加速直线运动 常用关系： 常用结果： 此时回路中电流为：与两棒电阻无关
01 不含容单棒问题
1．如图所示，间距为的平行导轨固定在水平绝缘桌面上，导轨右端接有定值电阻，阻值为，垂直导轨的虚线和之间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，其中导轨的和段光滑。在虚线左侧、到的距离为的位置垂直导轨放置质量为的导体棒，现给处于静止状态的导体棒一个水平向右的恒力作用，经过时撤去恒力，此时导体棒的速度大小，经过时导体棒的速度大小。已知恒力大小为，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导体棒接入电路的电阻为，重力加速度为，导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒与左侧导轨之间的动摩擦因数为0.66
B．导体棒经过磁场的过程中，通过导体棒的电荷量为
C．导体棒经过磁场的过程中，导体棒上产生的热量为
D．虚线和之间的距离为
【答案】D
【详解】A．对导体棒从开始运动至到达虚线的过程，应用动能定理，可得
代入数据，解得动摩擦因数
故A错误；
B．对导体棒经过磁场区域的过程，应用动量定理，可得
通过导体棒横截面的电荷量
解得
故B错误；
C．导体棒通过磁场过程，整个回路中产生的热量
代入数据可得
根据电阻的串并联关系，导体棒上产生的热量
故C错误；
D．设虚线和之间的距离为，可得
解得
故D正确。
故选D。
02 含容单棒问题
2．如图所示，间距为L、竖直固定的两根光滑直杆abcd、下端之间接有定值电阻R，上端接有电容为C、不带电的电容器，bc和两小段等高、长度不计且用绝缘材料平滑连接，ab、cd、、电阻均不计。两杆之间存在磁感应强度大小为B、方向垂直两杆所在平面向里的匀强磁场。现有一个质量为m、电阻不计、两端分别套在直杆上的金属棒，时在大小为4mg（g为重力加速度大小）、方向竖直向上的拉力作用下由静止开始竖直向上运动，速度稳定后，在时到达位置，在位置，瞬间为电容器充电，金属棒速度突变，之后金属棒继续向上运动，在时金属棒未碰到电容器。金属棒在运动过程中始终与两直杆垂直且接触良好，电容器始终未被击穿，则（ ）
A．时金属棒的速度大小为 B．内金属棒上升的高度为
C．内通过金属棒的电流随时间逐渐增大 D．内金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
【答案】B
【详解】A．由题意可得时金属棒运动稳定即匀速直线运动
联立求得
A错误；
B．内，对金属棒应用动量定理可得
其中
代入数据，联立求得
B正确；
CD．根据
及牛顿第二定律可得
联立求得
说明金属棒向上做匀加速直线运动，电流不变，CD错误。
故选B。
03 等间距双棒问题
3．如图所示，MN、PQ是相距为的两平行光滑金属轨道，倾斜轨道MC、PD分别与足够长的水平直轨道CN、DQ平滑相接。水平轨道CN、DQ处于方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。质量、电阻、长度的导体棒a静置在水平轨道上，与a完全相同的导体棒b从距水平轨道高度的倾斜轨道上由静止释放，最后恰好不与a相撞，运动过程中导体棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．棒b刚进入磁场时的速度大小为
B．棒b刚进入磁场时，棒a所受的安培力大小为
C．整个过程中，通过棒a的电荷量为
D．棒a的初始位置到CD的距离为
【答案】D
【详解】A．棒b从静止释放到刚进入磁场过程，根据动能定理可得
解得棒b刚进入磁场时的速度大小为
故A错误；
B．棒b刚进入磁场时，产生的电动势为
回路电流为
棒a所受的安培力大小为
故B错误；
C．棒b进入磁场后，两棒组成的系统满足动量守恒，最终两棒以相同的速度做匀速直线运动，则有
解得两棒最终的速度大小为
对棒a，根据动量定理可得
又
联立可得整个过程中，通过棒a的电荷量为
故C错误；
D．由题意可知棒b最后恰好不与a相撞，则有
解得
可知棒a的初始位置到CD的距离为，故D正确。
故选D。
04 不等间距双棒问题
4．如图所示，用金属制成的平行导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为，有竖直向上的匀强磁场，宽轨部分间距为，有竖直向下的匀强磁场；窄轨和宽轨部分磁场的磁感应强度大小分别为和，质量均为金属棒垂直于导轨静止放置。现将金属棒自弧形导轨上距水平导轨高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，棒始终在窄轨磁场中运动，棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（ ）
A．棒刚进入磁场时，棒的加速度方向水平向左
B．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒和棒组成的系统动量守恒
C．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，通过棒的电量为
D．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒上产生的焦耳热为
【答案】B
【详解】A．根据右手定则，棒进入磁场时，棒的电流方向向外，则棒的电流方向向内，根据左手定则可得，棒的安培力方向向左，所以棒加速度方向水平向左，故A正确；
B．根据左手定则，棒受到的安培力方向都向左，故棒组成的系统合外力不为零，动量不守恒，故B错误；
C．对棒，根据动能定理
解得
当棒达到稳定时
即
对棒，由动量定理
对棒，由动量定理
通过棒的电荷量为
以上各式联立，解得
故C正确；
D．根据能量守恒
解得
则b棒上产生的焦耳热为
故D正确。
本题选不正确的，故选B。
1．（2024·辽宁·三模）如图甲所示，纸面内有和两光滑导体轨道，与平行且足够长，与成135°角，两导轨左右两端接有定值电阻，阻值分别为R和。一质量为m、长度大于导轨间距的导体棒横跨在两导轨上，与轨道接触于G点，与轨道接触于H点。导体棒与轨道垂直，间距为L，导体棒与b点间距也为L。以H点为原点、沿轨道向右为正方向建立x坐标轴。空间中存在磁感应强度大小为B、垂直纸面向里的匀强磁场。某时刻，导体棒获得一个沿x轴正方向的初速度，同时受到沿x轴方向的外力F作用，其运动至b点前的速度的倒数与位移关系如图乙所示。导体棒运动至b点时撤去外力F，随后又前进一段距离后停止运动，整个运动过程中导体棒与两导轨始终接触良好，不计导轨及导体棒的电阻。以下说法正确的是（ ）
A．流过电阻R的电流方向为
B．导体棒在轨道上通过的距离为
C．撤去外力F前，流过电阻R的电流为
D．导体棒运动过程中，电阻产生的焦耳热为
【答案】BC
【详解】A．根据右手定则，流过电阻R的电流方向为，故A错误；
B．由图乙可知，导体棒运动至b点时速度为，由几何关系可得，的距离为，对导体棒从b点开始沿轨道运动直至静止，根据动量定理有
又有
解得
故B正确；
C．导体棒在轨道上运动到任意位置x时，根据图像可知
电动势
通过导体棒的电流
通过电阻R的电流
即
故C正确；
D．撤去外力F前电路中的总热量
由图像面积可知
撤去外力F后导体棒继续运动，整个回路产生的热量
电阻产生的热量
故D错误。
故选BC。
2．（2024·山西·二模）如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜固定，间距，电阻不计。导轨平面与水平面间的夹角，上端MP间接有阻值的电阻，整个装置处于方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒在外力作用下垂直于导轨放置，撤去外力后，棒沿MN方向的位移x与时间t的关系如图乙所示，其中1.0~1.5s间为直线。已知棒运动过程中始终垂直于导轨，且在0~1.0s内通过棒的电荷量是1.0~1.5s内通过棒的电荷量的倍，g取，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中1.5s时对应的纵坐标是2.7m
B．匀强磁场的磁感应强度为0.5T
C．0~1.0s内通过电阻R的电荷量是0.5C
D．0~1.5s内电阻R产生的热量1.2J
【答案】AD
【详解】A．通过导体棒的电荷量为
在0~1.0s内通过棒的电荷量是1.0~1.5s内通过棒的电荷量的倍，则有
解得
A正确；
BC．1.0s后棒做匀速运动，由图像可知
受力平衡，有
根据闭合电路的欧姆定律得
解得
0~1.0s内通过电阻R的电荷量是
故BC错误；
D．在0~1.5s内，对导体棒由能量守恒得
在电路中，电阻R在0~1.5s内产生的热量
联立，解得
故D正确。
故选AD。
3．（2024·山东泰安·二模）如图所示，电阻不计的两光滑平行金属导轨相距，固定在水平绝缘桌面上，左侧圆弧部分处在竖直平面内，其间接有一电容为的电容器，右侧平直部分处在磁感应强度为。方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。电阻为的金属棒ab垂直于两导轨放置且与导轨接触良好，质量为。棒ab从导轨左端距水平桌面高处无初速度释放，离开水平直导轨前已匀速运动。已知电容器的储能，其中C为电容器的电容，U为电容器两端的电压，不计空气阻力，重力加速度。则金属棒ab在沿导轨运动的过程中（ ）
A．通过金属棒ab的电荷量为
B．通过金属棒ab的电荷量为
C．金属棒ab中产生的焦耳热为
D．金属棒ab中产生的焦耳热为
【答案】BC
【详解】AB．当金属棒落下后其速度可由动能定理求得
可求得
之后金属棒切割磁感线，电容器充电，其两端电压逐渐增大，金属棒因为安培力做减速运动，当金属棒的动生电动势与电容器两端电压相等时，金属棒匀速运动。
由动量定理可知
可得
此时，导体棒动生电动势为
因此，此时电容器电压U也为4V，则电容器增加的电荷量为
因此通过导体棒的电荷量也为1C。
故A错误，B正确；
CD．由以上解析可知，动能变化量为
而
所以
故C正确，D错误。
故选BC。
4．（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，有两根足够长、间距为L的光滑竖直金属导轨，导轨上端接有开关、电阻、电容器，其中电阻的阻值为R，电容器（不会被击穿）的电容为C，质量为m的金属棒MN水平放置，整个装置放在垂直导轨平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，不计金属棒和导轨的电阻。闭合某一开关，让MN沿导轨由静止开始释放，金属棒MN和导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。在金属棒MN沿导轨下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．只闭合开关，金属棒MN先做匀加速运动，后做匀速运动
B．只闭合开关，通过金属棒MN的电流为
C．只闭合开关，金属棒MN先做加速运动，后做匀速运动
D．若只闭合开关，金属棒MN下降的高度为h时速度大小为v，则所用的时间为
【答案】BC
【详解】AB．只闭合开关S2，在金属棒MN运动过程中取一段时间，且趋近于零，设金属棒的加速度大小为a，则有
对金属棒，根据牛顿第二定律有
解得
可知金属棒做匀加速直线运动，A错误，B正确；
C．只闭合开关S1，金属棒MN刚释放时有
之后金属棒受重力和安培力共同作用，根据牛顿第二定律有
又
其中金属棒的速度v在增大，则金属棒做加速度减小的加速运动，直到安培力和重力平衡后做匀速直线运动，C正确；
D．若只闭合开关S1，金属棒MN下降高度为h时速度为v，则在这个过程中对金属棒用动量定理有
又
解得
D错误。
故选BC。
5．（2024·福建·三模）如图甲所示，M、N是两根固定在水平面内的平行金属长导轨，导轨间距为L，电阻不计。两虚线PQ、ST与导轨垂直，PQ左侧存在竖直向上的匀强磁场，ST右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。质量为m的金属棒ab与导轨垂直，静置在左侧磁场中。位于两虚线之间的金属棒cd与导轨夹角为，在外力作用下以速度v向右始终做匀速直线运动，从c端进入右侧磁场时开始计时，回路中的电流i随时间t的变化关系如图乙所示，图中部分为直线，为已知量，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．cd棒全部进入磁场时，cd棒产生的电动势大小为BLv
B．时刻cd棒所受的安培力大小为
C．时刻ab棒的速度大小为
D．时间内，通过回路某截面电荷量为
【答案】AC
【详解】A．cd棒全部进入磁场时，cd棒产生的电动势大小为
故A正确；
B．时刻cd棒所受的安培力大小为
故B错误；
C．设电路总电阻为，时刻，回路中感应电动势为
时刻，回路中感应电动势为
解得时刻ab棒的速度大小为
故C正确；
D．由图可知时刻ab棒开始运动，则
时间内，对ab棒，根据动量定理
通过回路某截面电荷量为
解得
故D错误。
故选AC。
6．（2024·湖南岳阳·三模）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．M刚进入磁场时M两端的电势差
B．N在磁场内运动过程中N上产生的热量
C．N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小
D．N在磁场内运动的时间
【答案】CD
【详解】A．根据题意，M刚进磁场，感应电动势为
由右手定则可知
则M两端的电势差
故A错误；
B．根据题意可知，两导体棒在磁场中运动过程中，M、N系统动量守恒，则有
解得
由能量守恒定理可得，此过程整个电路产生的热量为
则N上产生的热量为
故B错误；
C．根据题意可知，N在磁场内运动过程中加速度最小时，所受安培力最小，此时感应电流最小，N出磁场瞬间，感应电动势最小，则有
又有
，
联立解得
故C正确；
D．根据题意，对N由动量定理有
又有
联立得
又有
解得
又有
可得
代入得
故D正确。
故选CD。
7．（2024·山东·模拟预测）如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度，不计导轨电阻，则（ ）
A．M棒刚开始运动时的加速度大小为
B．金属棒M最终的速度为
C．金属棒N最终的速度为
D．整个过程中通过金属棒的电量为
【答案】CD
【详解】A．由法拉第电磁感应定律以及闭合电路欧姆定律得
由牛顿第二定律得
联立解得
故A错误；
BC．最终回路中的电流为0，有
对金属棒M和N分别应用动量定理得
联立解得
故B错误；C正确；
D．又
联立解得
故D正确。
故选CD。
8．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，光滑水平导轨分为宽窄两段（足够长，电阻不计），相距分别为0.5 m和0.3 m，两个材料、粗细都相同的导体棒分别放在两段导轨上，导体棒长度分别与导轨等宽，已知放在窄端的导体棒的质量为0.6 kg，电阻为0.3 Ω，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为1 T，现用的水平向右的恒力拉动，一段时间后，回路中的电流保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．在整个运动过程中，两棒的距离先变大后不变
B．回路中稳定的电流大小为5 A
C．若在回路中的电流不变后某时刻，的速度为4 m/s，则的速度为20 m/s
D．若在回路中的电流不变后某时刻，的速度为4 m/s，则整个装置从静止开始运动了3.5 s
【答案】BC
【详解】A．由题意可知，的质量，电阻，分析可知，当电流不变时，有
即
故
所以的加速度始终比的大，两棒的距离一直变大，故A错误；
B．当电流不变时，由牛顿第二定律可知
解得
故B正确；
C．当时，由
可知
故C正确；
D．分别对两导体棒根据动量定理有
联立解得
故D错误。
故选BC。
9．（2024·江西上饶·二模）图示装置可以用来说明电动汽车“动能回收”系统的工作原理。光滑平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘水平桌面上，ab为垂直于导轨的导体棒，轨道所在空间存在竖直向下的匀强磁场。当开关接1时，ab由静止开始运动，当ab达到一定速度后，把开关接2，如果把电阻换为储能元件就能实现“动能回收”。已知轨道间距，磁感应强度，电源电动势，内电阻，电阻，导体棒ab质量，电阻，导体棒与导轨接触良好，导轨电阻不计且足够长。求：
（1）开关与1接通的瞬间导体棒ab获得的加速度大小；
（2）当导体棒ab达到最大速度时，将开关与2接通，求开关与2接通后直至ab棒停止运动的过程中流过导体棒ab的电量及电阻产生的热量。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）开关与1接通，由闭合电路的欧姆定律有
在开关与1接通瞬间，由牛顿第二定律有
代入数据解得，开关与1接通的瞬间导体棒ab获得的加速度大小
（2）导体棒ab未达到最大速度前，做加速度减小的加速运动，设导体棒的最大速度为，导体棒切割磁感线运动产生反电动势
当导体棒获得最大速度，则
代入数据解得
此时将开关与2接通，设导体棒还能运动的时间为，取此时导体棒前进的速度方向为正方向，由动量定理可得
代入数据求得
由能量守恒知，导体棒和电阻产生的总的焦耳热为
由串联电路特点知R产生的焦耳热为
代入数据可得
10．（2024·山西太原·一模）如图所示，两平行且等长的粗 金属导轨ab、cd间距为L，倾斜角度为θ，ab、cd之间有垂直导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，ac之间电容器的电容为C1。光滑等长的水平金属导轨ef、gh间距为L，ef、gh之间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B2，fh之间电容器的电容为C2。质量为m的金属棒PQ垂直导轨放置，在沿斜面向上恒力F的作用下由静止开始运动，经过时间t后以速度v飞出导轨，同时撤去F，PQ水平跃入ef、gh导轨，PQ始终与ef、gh导轨垂直。导轨与棒的电阻均不计，重力加速度为g，求：
（1）金属棒PQ分别在B1、B2中运动时电流的方向；（请分别说明P→Q或Q→P）
（2）导轨ef、gh足够长，电容器C2带电量的最大值；
（3）金属棒PQ与导轨ab、cd的动摩擦因数。
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）由右手定则可知，导体棒在B1中电流方向由P→Q，导体棒在B2中电流方向由Q→P；
（2）PQ水平跃入轨道的速度为v1，则
PQ水平跃入导轨后，切割磁感线，C2处于充电状态，PQ稳定后做匀速直线运动，速度为v1，则
根据动量定理，以右为正方向
解得
（3）PQ在倾斜轨道上运动时加速度为a，则
PQ做匀加速直线运动
解得
11．（2024·山西朔州·二模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，两导轨之间的距离为d=1m，导轨所在空间GH到JK之间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，GH到JK之间的距离为L=3.0m。质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m，阻值均为R=0.5Ω的导体棒a和导体棒b静止放置在导轨上。初始时，导体棒b在JK的左侧且到JK的距离为L1=1m，导体棒a在GH的左侧。现给导体棒a一个水平向右的初速度v0=6m/s，导体棒b经过JK时的速度大小为v1=2m/s，已知两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，两导体棒没有发生碰撞，求：
（1）导体棒a刚经过GH瞬间，导体棒b的加速度大小；
（2）导体棒a从GH运动到JK的过程中，导体棒a上产生的焦耳热。
【答案】（1）7.5m/s2；（2）0.9875J
【详解】（1）导体棒a刚经过GH瞬间，感应电动势为
所以感应电流为
所以导体棒b的加速度大小为
（2）导体棒b开始运动到出磁场的过程中，感应电流为
对导体棒b，根据动量定理
对导体棒a，根据动量定理
其中
解得
，
导体棒b出磁场到导体棒a出磁场的过程中，根据动量定理
其中
解得
根据能量守恒，系统产生的热量为
导体棒a上产生的焦耳热为
12．（2024·浙江·二模）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B，导轨右侧连接一个电容为C的电容器。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，质量为m，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，质量为2m。初始时刻开关断开，两棒静止，两棒之间压缩一轻质绝缘弹簧（但不链接），弹簧的压缩量为L。释放弹簧，恢复原长时MN恰好脱离轨道，PQ的速度为v，并触发开关闭合。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，右侧导轨足够长，所有导轨电阻均不计。求
（1）脱离弹簧瞬间PQ杆上的电动势多大？PQ两点哪点电势高？
（2）刚要脱离轨道瞬间，MN所受安培力多大？
（3）整个运动过程中，通过PQ的电荷量为多少？
【答案】（1）2Bdv，Q点电势高；（2）；（3）
【详解】（1）脱离弹簧瞬间PQ杆上的感应电动势大小为
根据右手定则，Q点电势高。
（2）弹簧伸展的过程中，对PQ由动量定理得
对MN由动量定理得
解得导体棒MN的速度为
PQ速率为v时，回路中的感应电动势大小为
回路中的感应电流大小为
则MN所受的安培力大小为
（3）脱离前，通过PQ的电荷量为
代入数据解得
脱离后，PQ向右运动，设最终速度为，由动量定理可得
脱离后，通过PQ的电荷量为
解得
整个运动过程中，通过PQ的电荷量为压轴题09 电磁感应中的单双棒问题
电磁感应中的单双棒问题在高考物理中占据着举足轻重的地位，是考查学生对电磁感应现象和力学知识综合运用能力的关键考点。
在命题方式上，电磁感应中的单双棒问题通常会以综合性较强的题目形式出现，结合电磁感应定律、安培力、牛顿第二定律等知识点，考查学生对电磁感应现象中导体棒的运动状态、受力情况、能量转化等问题的理解和分析。题目可能要求考生分析导体棒在磁场中的运动轨迹、速度变化、加速度大小等，也可能要求考生求解导体棒产生的感应电动势、感应电流等物理量。
备考时，考生应首先深入理解电磁感应的基本原理和单双棒问题的特点，掌握电磁感应定律、安培力、牛顿第二定律等相关知识点的应用。同时，考生需要熟悉各种类型题目的解题方法和技巧，例如通过分析导体棒受力情况、运用动量定理和能量守恒定律等方法求解问题。
考向一：不含容单棒问题
模型 规律
阻尼式（导轨光滑） 1、力学关系：； 2、能量关系： 3、动量电量关系：；
电动式（导轨粗糙） 1、力学关系：； 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值：（1）最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大。 ；； 最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。
发电式（导轨粗糙） 1、力学关系： 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值： （1）最大加速度：当v=0时，。 （2）最大速度：当a=0时，
考向二：含容单棒问题
模型 规律
放电式（先接1，后接2。导轨光滑） 电容器充电量： 放电结束时电量： 电容器放电电量： 动量关系：； 功能关系：
无外力充电式（导轨光滑） 达到最终速度时： 电容器两端电压：（v为最终速度） 电容器电量： 动量关系：；
有外力充电式（导轨光滑） 力学关系： 电流大小： 加速度大小：
考向三：双棒问题
模型 规律
无外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 稳定条件：两棒达到共同速度 动量关系： 能量关系：；
有外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 力学关系：；。（任意时刻两棒加速度） 稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 稳定时的物理关系： ；；；
无外力不等距式 （导轨光滑） 动量关系：； 稳定条件： 最终速度：； 能量关系： 电量关系：
有外力不等距式 （导轨光滑） F为恒力，则： 稳定条件：，I恒定，两棒做匀加速直线运动 常用关系： 常用结果： 此时回路中电流为：与两棒电阻无关
01 不含容单棒问题
1．如图所示，间距为的平行导轨固定在水平绝缘桌面上，导轨右端接有定值电阻，阻值为，垂直导轨的虚线和之间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，其中导轨的和段光滑。在虚线左侧、到的距离为的位置垂直导轨放置质量为的导体棒，现给处于静止状态的导体棒一个水平向右的恒力作用，经过时撤去恒力，此时导体棒的速度大小，经过时导体棒的速度大小。已知恒力大小为，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导体棒接入电路的电阻为，重力加速度为，导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒与左侧导轨之间的动摩擦因数为0.66
B．导体棒经过磁场的过程中，通过导体棒的电荷量为
C．导体棒经过磁场的过程中，导体棒上产生的热量为
D．虚线和之间的距离为
02 含容单棒问题
2．如图所示，间距为L、竖直固定的两根光滑直杆abcd、下端之间接有定值电阻R，上端接有电容为C、不带电的电容器，bc和两小段等高、长度不计且用绝缘材料平滑连接，ab、cd、、电阻均不计。两杆之间存在磁感应强度大小为B、方向垂直两杆所在平面向里的匀强磁场。现有一个质量为m、电阻不计、两端分别套在直杆上的金属棒，时在大小为4mg（g为重力加速度大小）、方向竖直向上的拉力作用下由静止开始竖直向上运动，速度稳定后，在时到达位置，在位置，瞬间为电容器充电，金属棒速度突变，之后金属棒继续向上运动，在时金属棒未碰到电容器。金属棒在运动过程中始终与两直杆垂直且接触良好，电容器始终未被击穿，则（ ）
A．时金属棒的速度大小为 B．内金属棒上升的高度为
C．内通过金属棒的电流随时间逐渐增大 D．内金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
03 等间距双棒问题
3．如图所示，MN、PQ是相距为的两平行光滑金属轨道，倾斜轨道MC、PD分别与足够长的水平直轨道CN、DQ平滑相接。水平轨道CN、DQ处于方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。质量、电阻、长度的导体棒a静置在水平轨道上，与a完全相同的导体棒b从距水平轨道高度的倾斜轨道上由静止释放，最后恰好不与a相撞，运动过程中导体棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．棒b刚进入磁场时的速度大小为
B．棒b刚进入磁场时，棒a所受的安培力大小为
C．整个过程中，通过棒a的电荷量为
D．棒a的初始位置到CD的距离为
04 不等间距双棒问题
4．如图所示，用金属制成的平行导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为，有竖直向上的匀强磁场，宽轨部分间距为，有竖直向下的匀强磁场；窄轨和宽轨部分磁场的磁感应强度大小分别为和，质量均为金属棒垂直于导轨静止放置。现将金属棒自弧形导轨上距水平导轨高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，棒始终在窄轨磁场中运动，棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（ ）
A．棒刚进入磁场时，棒的加速度方向水平向左
B．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒和棒组成的系统动量守恒
C．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，通过棒的电量为
D．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒上产生的焦耳热为
1．（2024·辽宁·三模）如图甲所示，纸面内有和两光滑导体轨道，与平行且足够长，与成135°角，两导轨左右两端接有定值电阻，阻值分别为R和。一质量为m、长度大于导轨间距的导体棒横跨在两导轨上，与轨道接触于G点，与轨道接触于H点。导体棒与轨道垂直，间距为L，导体棒与b点间距也为L。以H点为原点、沿轨道向右为正方向建立x坐标轴。空间中存在磁感应强度大小为B、垂直纸面向里的匀强磁场。某时刻，导体棒获得一个沿x轴正方向的初速度，同时受到沿x轴方向的外力F作用，其运动至b点前的速度的倒数与位移关系如图乙所示。导体棒运动至b点时撤去外力F，随后又前进一段距离后停止运动，整个运动过程中导体棒与两导轨始终接触良好，不计导轨及导体棒的电阻。以下说法正确的是（ ）
A．流过电阻R的电流方向为
B．导体棒在轨道上通过的距离为
C．撤去外力F前，流过电阻R的电流为
D．导体棒运动过程中，电阻产生的焦耳热为
2．（2024·山西·二模）如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜固定，间距，电阻不计。导轨平面与水平面间的夹角，上端MP间接有阻值的电阻，整个装置处于方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒在外力作用下垂直于导轨放置，撤去外力后，棒沿MN方向的位移x与时间t的关系如图乙所示，其中1.0~1.5s间为直线。已知棒运动过程中始终垂直于导轨，且在0~1.0s内通过棒的电荷量是1.0~1.5s内通过棒的电荷量的倍，g取，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中1.5s时对应的纵坐标是2.7m
B．匀强磁场的磁感应强度为0.5T
C．0~1.0s内通过电阻R的电荷量是0.5C
D．0~1.5s内电阻R产生的热量1.2J
3．（2024·山东泰安·二模）如图所示，电阻不计的两光滑平行金属导轨相距，固定在水平绝缘桌面上，左侧圆弧部分处在竖直平面内，其间接有一电容为的电容器，右侧平直部分处在磁感应强度为。方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。电阻为的金属棒ab垂直于两导轨放置且与导轨接触良好，质量为。棒ab从导轨左端距水平桌面高处无初速度释放，离开水平直导轨前已匀速运动。已知电容器的储能，其中C为电容器的电容，U为电容器两端的电压，不计空气阻力，重力加速度。则金属棒ab在沿导轨运动的过程中（ ）
A．通过金属棒ab的电荷量为
B．通过金属棒ab的电荷量为
C．金属棒ab中产生的焦耳热为
D．金属棒ab中产生的焦耳热为
4．（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，有两根足够长、间距为L的光滑竖直金属导轨，导轨上端接有开关、电阻、电容器，其中电阻的阻值为R，电容器（不会被击穿）的电容为C，质量为m的金属棒MN水平放置，整个装置放在垂直导轨平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，不计金属棒和导轨的电阻。闭合某一开关，让MN沿导轨由静止开始释放，金属棒MN和导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。在金属棒MN沿导轨下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．只闭合开关，金属棒MN先做匀加速运动，后做匀速运动
B．只闭合开关，通过金属棒MN的电流为
C．只闭合开关，金属棒MN先做加速运动，后做匀速运动
D．若只闭合开关，金属棒MN下降的高度为h时速度大小为v，则所用的时间为
5．（2024·福建·三模）如图甲所示，M、N是两根固定在水平面内的平行金属长导轨，导轨间距为L，电阻不计。两虚线PQ、ST与导轨垂直，PQ左侧存在竖直向上的匀强磁场，ST右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。质量为m的金属棒ab与导轨垂直，静置在左侧磁场中。位于两虚线之间的金属棒cd与导轨夹角为，在外力作用下以速度v向右始终做匀速直线运动，从c端进入右侧磁场时开始计时，回路中的电流i随时间t的变化关系如图乙所示，图中部分为直线，为已知量，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．cd棒全部进入磁场时，cd棒产生的电动势大小为BLv
B．时刻cd棒所受的安培力大小为
C．时刻ab棒的速度大小为
D．时间内，通过回路某截面电荷量为
6．（2024·湖南岳阳·三模）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．M刚进入磁场时M两端的电势差
B．N在磁场内运动过程中N上产生的热量
C．N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小
D．N在磁场内运动的时间
7．（2024·山东·模拟预测）如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度，不计导轨电阻，则（ ）
A．M棒刚开始运动时的加速度大小为
B．金属棒M最终的速度为
C．金属棒N最终的速度为
D．整个过程中通过金属棒的电量为
8．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，光滑水平导轨分为宽窄两段（足够长，电阻不计），相距分别为0.5 m和0.3 m，两个材料、粗细都相同的导体棒分别放在两段导轨上，导体棒长度分别与导轨等宽，已知放在窄端的导体棒的质量为0.6 kg，电阻为0.3 Ω，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为1 T，现用的水平向右的恒力拉动，一段时间后，回路中的电流保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．在整个运动过程中，两棒的距离先变大后不变
B．回路中稳定的电流大小为5 A
C．若在回路中的电流不变后某时刻，的速度为4 m/s，则的速度为20 m/s
D．若在回路中的电流不变后某时刻，的速度为4 m/s，则整个装置从静止开始运动了3.5 s
9．（2024·江西上饶·二模）图示装置可以用来说明电动汽车“动能回收”系统的工作原理。光滑平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘水平桌面上，ab为垂直于导轨的导体棒，轨道所在空间存在竖直向下的匀强磁场。当开关接1时，ab由静止开始运动，当ab达到一定速度后，把开关接2，如果把电阻换为储能元件就能实现“动能回收”。已知轨道间距，磁感应强度，电源电动势，内电阻，电阻，导体棒ab质量，电阻，导体棒与导轨接触良好，导轨电阻不计且足够长。求：
（1）开关与1接通的瞬间导体棒ab获得的加速度大小；
（2）当导体棒ab达到最大速度时，将开关与2接通，求开关与2接通后直至ab棒停止运动的过程中流过导体棒ab的电量及电阻产生的热量。
10．（2024·山西太原·一模）如图所示，两平行且等长的粗 金属导轨ab、cd间距为L，倾斜角度为θ，ab、cd之间有垂直导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，ac之间电容器的电容为C1。光滑等长的水平金属导轨ef、gh间距为L，ef、gh之间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B2，fh之间电容器的电容为C2。质量为m的金属棒PQ垂直导轨放置，在沿斜面向上恒力F的作用下由静止开始运动，经过时间t后以速度v飞出导轨，同时撤去F，PQ水平跃入ef、gh导轨，PQ始终与ef、gh导轨垂直。导轨与棒的电阻均不计，重力加速度为g，求：
（1）金属棒PQ分别在B1、B2中运动时电流的方向；（请分别说明P→Q或Q→P）
（2）导轨ef、gh足够长，电容器C2带电量的最大值；
（3）金属棒PQ与导轨ab、cd的动摩擦因数。
11．（2024·山西朔州·二模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，两导轨之间的距离为d=1m，导轨所在空间GH到JK之间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，GH到JK之间的距离为L=3.0m。质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m，阻值均为R=0.5Ω的导体棒a和导体棒b静止放置在导轨上。初始时，导体棒b在JK的左侧且到JK的距离为L1=1m，导体棒a在GH的左侧。现给导体棒a一个水平向右的初速度v0=6m/s，导体棒b经过JK时的速度大小为v1=2m/s，已知两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，两导体棒没有发生碰撞，求：
（1）导体棒a刚经过GH瞬间，导体棒b的加速度大小；
（2）导体棒a从GH运动到JK的过程中，导体棒a上产生的焦耳热。
12．（2024·浙江·二模）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B，导轨右侧连接一个电容为C的电容器。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，质量为m，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，质量为2m。初始时刻开关断开，两棒静止，两棒之间压缩一轻质绝缘弹簧（但不链接），弹簧的压缩量为L。释放弹簧，恢复原长时MN恰好脱离轨道，PQ的速度为v，并触发开关闭合。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，右侧导轨足够长，所有导轨电阻均不计。求
（1）脱离弹簧瞬间PQ杆上的电动势多大？PQ两点哪点电势高？
（2）刚要脱离轨道瞬间，MN所受安培力多大？
（3）整个运动过程中，通过PQ的电荷量为多少？
