邓州市2023~2024学年中招第一次模拟考试
数学试卷
注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟；
2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1．的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
2．如下图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，其高度大约是18500000米．数18500000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，若，于点A，则∠1为（ ）
A．32° B．38° C．52° D．58°
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，E、F分别是OA、OD的中点，则EF的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中先随机抽取一本，放回后再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，，在同一函数图象上，则这个函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在正方形ABCD中，点E为DC边的中点，点P为线段BE上的一个动点，设，，图2是点P运动时，y随x变化的函数图象，其中点H为图象的最低点，则正方形的面积为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出单项式的一个同类项________．
12．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围为________．
13．在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5cm，若杠杆AC的长度为120cm，其中BC段的长度为20cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压________cm．
14．如图，扇形AOB中，，点P为OB上一点，连结AP，当点O关于AP的对称点Q恰好落在上时，则图中阴影部分的面积为________．
15．如图，矩形ABCD的边AD长为2，将沿对角线AC翻折得到，与AB交于点E，再将沿CE进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则AB的长为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）（第15题图）
16．（10分）（1）计算：；
（2）．
17．（9分）2023年6月6日是第28个“全国爱眼日”，某初级中学为了解本校学生的视力情况，从本校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下：
调查问卷 1．你近视吗？近视的度数（度）为 A．不近视 B． C． D． E． 2．你近视的主要原因是什么？ a．先天遗传 b．过度使用电子产品 c．长期在过明或过暗的环境下用眼 d．距离书本太近或躺着看书 e．作息不规律或睡眠不足 f．户外活动时间太短 g．其他
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，被调查学生的近视度数的中位数落在________（填字母），近视度数在200度及以上的学生人数占被调查人数的百分比为________；
（2）小明同学帮助学校绘制100名学生近视原因条形统计图时，发现被调查人数之和远远超出100人，经核实，小明绘制的条形统计图无误，请帮助小明解释出现该情况的原因。
（3）若该校学生共有1500人，请估计全校近视的学生有多少人？
18．（9分）在平面直角坐标系中，直线和双曲线相交于A、B两点．
（1）求直线AB的解析式和点B的坐标．
（2）直接写出不等式的解集．
（3）将直线AB沿y轴向下平移1个单位，得到直线，请你写出一个反比例函数，使方程在实数范围内无解．
19．（9分）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料。某实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，活动报告如下：
项目主题 桥梁模型的承重试验
活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
方案设计 示意图 状态一（空水桶） 状态而（水桶没加一定量的水）
说明：C为AB的中点
请综合以上信息，解答下列问题：在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：，，．结果精确到1cm）
20．（9分）《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题：
已知，如图所示，及外一点P．
（1）按要求完成作图步骤并准确标注字母，
尺规作图：作出线段OP的垂直平分线交OP于点A；以点A为圆心，AP为半径作，与交于点B（点B位于直线OP上侧），连接PB．
（2）请问（1）中作图得到的PB是的切线吗？若是，请说明理由
（3）设（1）中所作垂直平分线交BP于点C，若半径为3，，求OP的长．
21．（9分）为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和玫瑰花两种花．若购进2支康乃馨和3支玫瑰花共花费16元；购进3支康乃馨和6支玫瑰花共花费30元．
（1）康乃馨和玫瑰花的进价分别为多少元一支？
（2）该商家计划购进康乃馨和玫瑰花共400支，每支康乃馨售价为5元，每支玫瑰花售价为8元，且购买康乃馨的数量不少于玫瑰花数量的，请求如何购买，商家获得利润最大，最大利润是多少元？
22．（10分）如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数图1的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离 0 1
竖直高度 10 10
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.4s的时间才能完成极具难度的270C动作．请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
23．（10分）综合与实践课上，老师让同学们以“旅转”为主题开展数学活动．
[问题情景]
如图1：在矩形ABCD中，．将边AB绕点A逆时针旋转α度（），得到线段AE，过点E作交直线BC于点F．
[初步感知]
（1）当时．四边形ABFE的形状为________．周长为________cm（直接写出答案）．
[深入探究]
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形。请你仅以图1判定四边形ABFE是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形ABFE的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接CE，当是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此时BF的长度．
邓州市2023∽2024学年中招第一次
模拟考试数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B C C D D A B
二、填空题（每小题3分，共15分）
题号 11 12 13 14 15
答案 （答案不唯一） 25 或
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（共10分，每小题5分）
（1）解：原式 3分
5分
（2）解：原式 3分
5分
17．（9分）
（1）B 2分 34% 4分
（2）被调查的同学近视原因是由多个原因导致的，以至于重复导致总人数超过100人。 6分
（3）（人）
答：估计全校近视的学生有1080人．· 9分
18．（9分）
解：（1）把代入中，
故
把代入中，得
故直线AB为： 2分
解得： 4分
（2）或 7分
（3）（答案不唯一） 9分
19．（9分）
解：设水桶下降的高度，在中，
3分
在中
∵ 易得 5分
∴ 6分
解得： 8分
答：水桶下降的高度约为13cm． 9分
20．（9分）
解：（1）略··2分
（2）PB是的切线．3分
理由如下：
∵OP是的直径
∴
即于点B
∴PB是的切线．·······5分
（3）连接OC
∵AC为OP的垂直平分线
∴
在中
∴
在中
9分
21．（9分）
解：（1）设康乃馨的进价为x元一支，玫瑰花的进价为y元一支．
根据题意，得
解得
答：康乃馨的进价为2元一支，玫瑰花的进价为4元一支． 4分
（2）设购买康乃馨的数量为m支，商家获利w元．
由题意,知：
解得 6分
∵
∴w随m的增大而减小．
∵
∴时，w有最大值．
此时
（元）
答：购进康乃馨160支，玫瑰花240支时，利润最大，最大利润为1440元． 9分
22．（10分）
解：（1）设
代入得
解得
∴． 4分
（2）令，得
解得，（舍去）
∴
即运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD为2m．···6分
（3）由（1）得
∴
∴ 8分
当时，，解得（负舍去）
∵
∴运动员甲能完成此动作。 10分
23．（10分）
（1）正方形 1分
24 2分
（2）该四边形是筝形． 3分
理由如下：连接AF
由翻折性质知
∵
∴
∴
∴四边形ABFE是筝形． 5分
在中，
∵，
∴
∴
∴四边形ABFE的周长为
8分
（3）3或12 10分
