2024年中考数学五月模拟押题卷
注意事项：
1．本试卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
1．有四个数，其中最小的是（ ）
A．4 B． C．﹣3 D．0
【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可．
【解答】解：，
故最小的数为，
故选：B．
【点评】此题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．
2．打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形．
故选：A．
【点评】本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
3．2024年春节期间，文化和旅游部组织开展“欢欢喜喜过大年”春节主题活动，统筹做好安全生产和假日市场工作，文化和旅游市场平稳有序．据初步统计，全国举办“村晚”、戏曲进乡村、新年画活动、图书馆里过大年等群众文化活动约15万场，线上线下约6.69亿人次参与．将6.69亿用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．6.69×108 B．6.69×109 C．6.69×107 D．0.669×108
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：6.69亿＝669000000＝6.69×108，
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．2x3+3x3＝5x6 B．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
C．（ab2）3＝ab6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【分析】根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2x3+3x3＝5x3，故A不符合题意；
B、m2n与﹣2mn2不能合并，故B不符合题意；
C、（ab2）3＝a3b6，故C不符合题意；
D、（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若∠1＝26°，则∠2的度数为（ ）
A．114° B．124° C．134° D．144°
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝26°，然后利用三角形内角和定理可得：∠4＝124°，从而利用对顶角相等可得∠2＝∠4＝124°，即可解答．
【解答】解：如图：
∵EB∥CD，
∴∠1＝∠3＝26°，
∵∠A＝30°，
∴∠4＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣30°﹣26°＝124°，
∴∠2＝∠4＝124°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
6．在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3） B．（2，6） C．（1，5） D．（0，3）
【分析】两直线的交点满足两条直线的解析式，据此即可判断．
【解答】解：直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，得到y＝3x+m，
把x＝1代入y＝x+4得，y＝5，
∴交点不可能是（1，﹣3），故A不合题意；
把x＝2代入y＝x+4得，y＝6，
把（2，6）代入y＝3x+m，求得m＝0，故B不合题意；
把x＝1代入y＝x+4得，y＝5，
把（1，5）代入y＝3x+m，求得m＝2，故C符合题意；
把x＝0代入y＝x+4得，y＝4，
∴交点不可能是（0，3），故D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点满足两条直线的解析式是解题的关键．
7．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由”七巧板”组成的边长为5cm的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概率公式求出即可作出选择．
【解答】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形，
∵大正方形的边长为5cm，
∴大正方形的对角线长为cm，面积为25cm2，
∴阴影部分的边长为cm，
∴S阴影＝（）2＝cm2，
∴P（该点取到阴影部分）＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率，掌握几何概率公式，正确计算出图形的面积是u解题的关键．
8．如图，PA，PB分别与△ABC的外接圆相切，A，B为切点，若AB＝6，，则S△PAB 的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】设△ABC的外接圆圆心是O，连接PO，作直径AM，连接MB，由圆周角定理得到∠M＝∠C，因此sinM＝sinC＝，由sinM＝＝，求出AM＝7.5，由勾股定理得到MB＝＝4.5，由切线长定理推出PA＝PB，PO平分∠APB，由切线的性质定理得到AM⊥PA，由等腰三角形的性质得到PN⊥AB，AN＝AB＝3，由余角的性质得到∠APN＝∠BAM，因此tan∠APN＝tan∠BAM，得到＝，即可求出PN＝4，于是求出△PAB的面积．
【解答】解：设△ABC的外接圆圆心是O，
连接PO，交AB于N，作直径AM，连接MB，
∵∠M＝∠C，
∴sinM＝sinC＝，
∵AM圆的直径，
∴∠ABM＝90°，
∴sinM＝＝，
∵AB＝6，
∴AM＝7.5，
∴MB＝＝4.5，
∵PA，PB分别与圆相切于M、N，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，AM⊥PA，
∴PN⊥AB，AN＝AB＝3，
∵∠APN+∠PAN＝∠BAM+∠PAN＝90°，
∴∠APN＝∠BAM，
∴tan∠APN＝tan∠BAM，
∴＝，
∴＝，
∴PN＝4，
∴△PAB的面积＝AB PN＝×6×4＝12．
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形，关键是由锐角的正弦定义求出AM的长，由锐角的正切定义求出PN的长．
9．如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【解答】解：∵∠MAN＝60°，AC＝AB＝6，
∴△ABC是边长为6的正三角形，
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD＝∠NAD＝30°，AD⊥BC，CD＝DB＝3，
①当矩形EFHG全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0＜x≤3，
∵EG∥AC，
∴∠NAD＝∠AGE＝30°，
∴AE＝EG＝x，
在Rt△AEF中，AE＝x，∠EAF＝60°，
∴EF＝AE＝x，
∴S＝x2；
②图3时，AE+AF＝AC，即x+x＝6，解得x＝4，由图2到图3，此时3＜x≤4，
如图4，由题意可知△EQB是正三角形，
∴EQ＝EB＝BQ＝6﹣x，
∴GQ＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，
∴S＝S矩形EFHG﹣S△PQG
＝x2﹣×（2x﹣6）2
＝﹣x2+12x﹣18，
③图6时，x＝6，由图3到图6，此时4＜x≤6，
如图5，由题意可知△EKB是正三角形，
∴EK＝EB＝BK＝6﹣x，FC＝AC﹣AF＝6﹣x，EF＝x，
∴S＝S梯形EFCK
＝（6﹣x+6﹣x）×x
＝﹣x2+3x，
综上所述，S与x的函数关系式为S＝，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连结AE，点F在AE上，且EF＝CE，连结CF并延长交AB于点G．则BG的长是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】过点F作FH⊥BC于点H，根据正方形的性质和勾股定理求出AE＝，证明△FEH∽△AEB，得＝＝，求出FH＝，EH＝，再证明△CFH∽△CGB，对应边成比例，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，AB＝BC＝2，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝1，
∴AE＝＝，
∵EF＝CE，
∴EF＝CE＝BE＝1，
∵FH∥AB，
∴△FEH∽△AEB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FH＝，EH＝，
∴CH＝CE+EH＝1+，
∵FH∥AB，
∴△CFH∽△CGB，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△FEH∽△AEB．
二．填空题（共4小题）
11．计算：﹣＝ ．
【分析】先把化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣＝＝．
故答案为：
【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．
12．若关于x的一元二次方程mx2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞﹣且m≠0 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝12﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝12+4m＞0，
解得m＞﹣；
所以m的取值范围为：m＞﹣且m≠0．
故答案为：m＞﹣且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为 ．
【分析】解直角三角形得到点C坐标即可求出k．
【解答】解：根据题意可知，△AOB和△BOC是直角三角形，
∵AB＝1，∠AOB＝30°，
∴OB＝，
∵OB＝，∠BOC＝30°，
∴OC＝，
作CD⊥x轴，垂足为D，∠COD＝90°﹣∠AOB﹣∠BOC＝30°，
∵OC＝，
∴CD＝，OD＝，
C（，），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握解直角三角形是关键．
14．如图，矩形ABCD中，P是AD边上的动点，连接点P与AB边的中点E，将△APE沿PE翻折得到△OPE，延长PO交边BC于点F，作∠PFC的平分线FG，交边AD点G．
（1）若∠AEP＝35°，则∠PFG＝ 55 °；
（2）若AB＝2，且E、O、G三点共线，则AP＝ ．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠APE＝55°，由折叠得∠APE＝∠OPE，进而可以解决问题；
（2）过点G作GH⊥CD于点H，得矩形DCHG，矩形AGHB，证明△GFO≌△GFH（AAS），得GO＝GH＝2，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠AEP＝35°，
∴∠APE＝90°﹣35°＝55°，
由折叠可知：∠APE＝∠OPE，
∴∠APF＝2∠APE，
∵GF平分∠PFC，
∴∠PFC＝2∠PFG，
∴∠PFG＝∠APE＝55°，
故答案为：55；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
如图，过点G作GH⊥CD于点H，得矩形DCHG，矩形AGHB，
∴AB＝CD＝GH＝2，∠GHF＝90°，
由折叠可知：∠APE＝∠OPE，
∴∠EOP＝∠A＝90°，
∴∠GOF＝∠GHF＝90°，
∵GF平分∠PFC，
∴∠PFG＝∠HFG，
∵GF＝GF，
∴△GFO≌△GFH（AAS），
∴GO＝GH＝2，
∵E是AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
由折叠可知：AP＝OP，AE＝OE＝1，
∴EG＝EO+GO＝1+2＝3，
∴AG＝＝＝2，
∴PG＝AG﹣AP＝2﹣AP，
在Rt△POG中，根据勾股定理得：PG2＝PO2+OG2，
∴（2﹣AP）2＝AP2+22，
∴AP＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，角平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三．解答题（共9小题）
15．解方程组：．
【分析】利用代入消元法将方程①代入方程②求出x的值，再代入求出y的值即可．
【解答】解：，
①代入②得，3x+2×2x＝7，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，y＝2，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是正确解答的关键．
16．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 （2，1） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们的交点为对称中心．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）对称中心的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
17．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
1+3+1＝12+22；
第2个点阵：
1+3+5+3+1＝ 22 + 32 ；
第3个点阵：
1+3+5+7+5+3+1＝ 32 + 42 ．
（2）观察猜想，写出第n个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值．
【分析】（1）根据点阵图即可求解；
（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式；
（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可．
【解答】解：（1）由图可得：1+3+5+3+1＝22+32，1+3+5+7+5+3+1＝32+42，
故答案为：22，32，32，42；
（2）∵第1个点阵：
1+3+1＝12+22
第2个点阵：
1+3+5+3+1＝22+32
第3个点阵：
1+3+5+7+5+3+1＝32+42
…
∴第n个点阵相对应的等式为：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2；
（3）由（2）可得：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2，
∵2n+1＝201，
∴n＝100，
∴1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1
＝1002+（100+1）2
＝1002+1012
＝10000+10201
＝20201．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第n个点阵相对应的等式为：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2，是解题的关键．
18．如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东37°方向上，求大桥CD的长度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
【分析】过点C作 CE⊥AB于E、过D作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到CD＝EF，CE＝DF，求得BC＝AB＝1500米，在Rt△CBE中，∠CBE＝60°，∠BCE＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点C作 CE⊥AB于E、过D作DF⊥AB于F，
∴四边形DCEF为矩形，
∴CD＝EF，CE＝DF，
∵∠ACB＝∠CBE﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ACB＝∠A，
∴BC＝AB＝1500米，
在Rt△CBE中，∠CBE＝60°∠BCE＝30°，
∴， （米），
∴（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝37°，
∴BF＝750×＝10001732（米），
∴CD＝EF＝BF﹣BE＝1732﹣750＝982（米），
答：大桥CD的长度约是982米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线（请用两种证法解答）；
（2）若DE＝2，，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得∠EDB＝∠EBD，由等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD，根据∠ABC＝90°，得到∠ODB+∠EDB＝90°，由切线的判定即可证得DE与OO相切；
（2）角三角形斜边中线的性质求出BC，根据三角函数的定义即可求出BD．
【解答】（1）证明：方法一：连接OD，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE＝BE＝BC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD．
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
方法二：连接OD，OE如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∵点E为BC的中点，
∴DE＝BE＝BC，
∴DE＝BE＝BC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，OE＝OE
∴∠ODB＝∠OBD，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∵∠ABC＝90°，
∴∠ODE＝∠OBC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∴DE与⊙O相切；
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴，
∴BC＝4，
∵tan∠BAC＝，
∴AB＝8．AD＝2BD，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
即（2BD）2+BD2＝82，
∴（负值已舍去），
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得DE＝BC．
20．小明、小红和小亮三位同学对问题“关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有实数根，求实数m的取值范围”提出了自己的解题思路：
[辨析与解答]
小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于x的一元二次方程根的情况．”
小红说：“用函数思想，设y＝x2﹣2|x|+1，只须m在y的取值范围内．”
小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于x的函数，利用函数图象解决．”
结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数m的取值范围是 m≥0 .请写出你的解题过程．
[应用与拓展]
（1）如果关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是 0＜m＜1 ．
（2）如果关于x的方程|x2﹣2x﹣1|＝m有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是 0＜m＜2 ．
【分析】[辨析与解答]画出函数y＝x2﹣2|x|+1，结合图象即可求解；
[应用与拓展]根据图象即可求得．
【解答】解：[辨析与解答]
画出函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图，
由图象可知，关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有实数根，则实数m的取值范围是m≥0；
故答案为：m≥0；
[应用与拓展]
（1）观察图象，如果关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是0＜m＜1；
故答案为：0＜m＜1；
（2）画出函数y＝|x2﹣2x﹣1|的图象如图：
由图象可知，如果关于x的方程|x2﹣2x﹣1|＝m有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程，数形结合是解题的关键．
21．为进一步落实“把课堂还给学生，让课堂充满生命与活力；把创新还给师生，让校园充满智慧与生机”的新基础教育理念，某校将继续开展内容丰富，形式多样的拓展课．拓展课的正常开展，既可丰富学生的课余生活，也可为学生提供自主发展的机会，某中学对学生最喜欢的五门拓展课（A．《天籁之音》；B．《品韵书法》；C．《电影赏析》；D．《快乐足球》；E．《活力篮球》）进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，收集整理数据后，绘制出以下两幅不完整的统计图．
（1）参与本次问卷调查的总人数为 200 人，在扇形统计图中，E所在扇形的圆心角度数为 126° ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1800名学生，估计最喜欢《电影赏析》的有多少人？
（1）根据统计图所得的信息，请对该学校开设拓展课提一条合理化建议．
【分析】（1）由选择D类的人数及其所占百分比可得调查的总人数，再根据E类的人数除以调查的总人数可知选择E类的人数占比，接着用E类的人数所占乘360°可得其对应圆心角度数；
（2）根据各形式人数和等于调查的总人数求出B的人数，即可补全图形；
（3）用选择C类人数占比乘总人数，即可求解；
（4）根据调查统计表与统计图所得的信息提出建议即可．
【解答】解：（1）10÷5%＝200（人），
70÷200＝35%，
35%×360°＝126°，
故答案为：200；126°．
（2）200﹣50﹣50﹣10﹣70＝20（人），据此补充统计图如下：
（3）（50÷200）×1800＝450（人），
答：估计最喜欢《电影赏析》的有450人．
（4）根据统计图，可发现喜欢《活力篮球》的人数较多，
因此建议：学校可以适当增加篮球的课时量或根据人数情况选择多个班级多个教师开设篮球课程开设（答案不唯一，合理即可）．
【点评】本题考查了条形统计图、用样本估计总体以及扇形统计图，观察统计图，找出数据，根据各数量间的关系列式计算是解题的关键．
22．为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝2m，EF＝0.5m．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷水口到绿化带的水平距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）通过计算求点B的坐标；
（3）绿化带右侧（图中点E的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出d的取值范围．
【分析】（1）易得上边缘的抛物线顶点A的坐标为（2，2），用顶点式设出抛物线解析式，把点H的坐标代入可得二次项系数的值，即可求得上边缘的抛物线的解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，求得点C的坐标即可求得OC的长度；
（2）求得点H在上边缘的抛物线上的对称点，即可判断出下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移几个单位长度得到的，就能求得下边缘的抛物线解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，即可求得点B的坐标；
（3）要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线恰好经过点F；不会淋湿行人，那么上边缘抛物线恰好经过人行道的左边缘，求出相关的d的值，即可求得d的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点A的坐标为（2，2）．
∴设上边缘的抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2+2．
∵经过点H（0，1.5），
∴4a+2＝1.5．
解得：a＝﹣．
∴上边缘的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2．
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2．
（x﹣2）2＝16．
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
∵点C在x轴正半轴，
∴C（6，0）．
∴喷出水的最大射程OC长6 m；
（2）∵点H（0，1.5）在上边缘抛物线抛物线的对称点的坐标为（4，1.5）．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到．
∴下边缘的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2+4）2+2＝﹣（x+2）2+2．
当y＝0时，0＝﹣（x+2）2+2．
解得：x1＝﹣6，x2＝2．
∵点B在x轴的正半轴，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）由题意得：点F的纵坐标为0.5．
若上边缘抛物线恰好经过点F，则0.5＝﹣（x﹣2）2+2．
（x﹣2）2＝12．
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．
∵点F在第一象限，
∴x＝2+2．
∴点E的坐标为（2+2，0）．
∴OE＝（2+2）m．
∵DE＝2m，
∴OD＝2 m．
若上边缘的抛物线恰好经过人行道的左边缘．则：0＝﹣（d+2+1﹣2）2+2．
（d+1）2＝16．
解得：d1＝3，d2＝﹣5．
∵距离d为正数，
∴d＝3．
∴d的取值范围为：3≤d≤2．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数左右平移，只改变自变量的值，左加右减．第三问理解“喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人”与二次函数的关系是解决本题的难点．
23．如图，在正方形ABCD中，点F是CD的中点，连接AF并延长，与BC的延长线交于点E，作∠BAE的平分线交DC的延长线于点G，分别交BD，BC于点H，M．
（1）如图1，求的值；
（2）如图1，求证：△CGE≌△BMA；
（3）如图2，连接HF，FM，求证：FH＝FM．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB∥CD，AB＝AD＝CD＝BC，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠GAF＝∠AGF，可得AF＝GF＝DF，即可求解；
（2）利用相似三角形的性质可证AB＝CE，BM＝CG，由“SAS”可证△CGE≌△BMA；
（3）利用相似三角形的性质可证MG＝AH，由“SAS”可证△AFH≌△GFM，可求解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠BAM＝∠AGD，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF＝CD，
∴AB＝DC＝2DF，AF＝DF，
∵AG平分∠BAE，
∴∠BAM＝∠GAF，
∴∠GAF＝∠AGF，
∴AF＝GF＝DF，
∴CG＝GF﹣CF＝（﹣1）DF，
∴＝；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝1，
∴AD＝CE，
∴AB＝CE，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴CM＝BM，
∵CM+BM＝BC＝2DF，
∴BM＝（﹣1）DF＝CG，
又∵∠ABC＝∠GCE＝90°，
∴△CGE≌△BMA（SAS）；
（3）∵AB∥CD，
∴△ABH∽△GDH，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△ABM∽△GCM，
∴，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴MG＝AH，
又∵∠GAF＝∠AGF，AF＝GF，
∴△AFH≌△GFM（SAS），
∴HF＝MF．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年中考数学五月模拟押题卷
注意事项：
1．本试卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．有四个数，其中最小的是（ ）
A．4 B． C．﹣3 D．0
2．打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．2024年春节期间，文化和旅游部组织开展“欢欢喜喜过大年”春节主题活动，统筹做好安全生产和假日市场工作，文化和旅游市场平稳有序．据初步统计，全国举办“村晚”、戏曲进乡村、新年画活动、图书馆里过大年等群众文化活动约15万场，线上线下约6.69亿人次参与．将6.69亿用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．6.69×108 B．6.69×109 C．6.69×107 D．0.669×108
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．2x3+3x3＝5x6 B．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
C．（ab2）3＝ab6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
5．将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若∠1＝26°，则∠2的度数为（ ）
A．114° B．124° C．134° D．144°
6．在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3） B．（2，6） C．（1，5） D．（0，3）
7．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由”七巧板”组成的边长为5cm的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，PA，PB分别与△ABC的外接圆相切，A，B为切点，若AB＝6，，则S△PAB 的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连结AE，点F在AE上，且EF＝CE，连结CF并延长交AB于点G．则BG的长是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分。请把各题的答案填写在答题卡上）
11．计算：﹣＝ ．
12．若关于x的一元二次方程mx2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为 ．
14．如图，矩形ABCD中，P是AD边上的动点，连接点P与AB边的中点E，将△APE沿PE翻折得到△OPE，延长PO交边BC于点F，作∠PFC的平分线FG，交边AD点G．
（1）若∠AEP＝35°，则∠PFG＝ °；
（2）若AB＝2，且E、O、G三点共线，则AP＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，满分90分）
15．解方程组：．
16．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
17．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
1+3+1＝12+22；
第2个点阵：
1+3+5+3+1＝ + ；
第3个点阵：
1+3+5+7+5+3+1＝ + ．
（2）观察猜想，写出第n个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值．
18．如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东37°方向上，求大桥CD的长度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线（请用两种证法解答）；
（2）若DE＝2，，求AD的长．
20．小明、小红和小亮三位同学对问题“关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有实数根，求实数m的取值范围”提出了自己的解题思路：
[辨析与解答]
小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于x的一元二次方程根的情况．”
小红说：“用函数思想，设y＝x2﹣2|x|+1，只须m在y的取值范围内．”
小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于x的函数，利用函数图象解决．”
结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数m的取值范围是 .请写出你的解题过程．
[应用与拓展]
（1）如果关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是 ．
（2）如果关于x的方程|x2﹣2x﹣1|＝m有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是 ．
21．为进一步落实“把课堂还给学生，让课堂充满生命与活力；把创新还给师生，让校园充满智慧与生机”的新基础教育理念，某校将继续开展内容丰富，形式多样的拓展课．拓展课的正常开展，既可丰富学生的课余生活，也可为学生提供自主发展的机会，某中学对学生最喜欢的五门拓展课（A．《天籁之音》；B．《品韵书法》；C．《电影赏析》；D．《快乐足球》；E．《活力篮球》）进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，收集整理数据后，绘制出以下两幅不完整的统计图．
（1）参与本次问卷调查的总人数为 人，在扇形统计图中，E所在扇形的圆心角度数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1800名学生，估计最喜欢《电影赏析》的有多少人？
（1）根据统计图所得的信息，请对该学校开设拓展课提一条合理化建议．
22．为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝2m，EF＝0.5m．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷水口到绿化带的水平距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）通过计算求点B的坐标；
（3）绿化带右侧（图中点E的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出d的取值范围．
23．如图，在正方形ABCD中，点F是CD的中点，连接AF并延长，与BC的延长线交于点E，作∠BAE的平分线交DC的延长线于点G，分别交BD，BC于点H，M．
（1）如图1，求的值；
（2）如图1，求证：△CGE≌△BMA；
（3）如图2，连接HF，FM，求证：FH＝FM．
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