八年级23-24学年下期阶段性消化作业二数学试卷
（全卷共3个大题，满分150分，考试时间120分钟）
班级： 姓名： 考号：
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．某新型病毒的直径是0.000000926，将0.000000926用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ）
A． B．0 C．5 D．6
4．如图，在中，平分，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
5．如图，在直角坐标系中，的顶点B、C、D的坐标分别是，，，则顶点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．当时，
C．函数图象与轴的交点为 D．函数图象经过第二、三、四象限
7．“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时时，离目的地还有（ ）千米．
A．22 B．32 C．238 D．228
8．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．
9．如图，四边形为平行四边形，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F，若，，，则的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．
10．有一列数{，，，}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{，，，}，称这为一次操作，第二次操作是将{，，，}再进行上述操作，得到{，，，}；第三次将{，，，}重复上述操作，得到{，，，}以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个．
①，，，；②；③；④．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．）
11．要使分式有意义，则的取值范围是 ．
12．在中，若，则 ．
13．如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为4，则 ．
14．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
15．如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则 ．
16．如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是 ．
17．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
18．一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位之和等于百位与个位之和均为9，则称为“行知数”此时，规定，例如，，∵，∴是“行知数”，；又如，，∵，∴不是“行知数”．2475是否是“行知数” （填”是“或“否”）；对于“行知数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“行知数”．若是整数，且的千位数字不小于十位数字，在满足条件的所有“行知数”的值中，最大的“行知数”是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，共78分）每小题写出必要的过程和步骤．
19．（1）计算：；
（2）化简：．
20．如图，四边形是矩形，为上一点，．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，为了证明，小马同学的想法为：先证明．再利用矩形性质，得到结论，请根据小马同学的想法完成下面的填空．
证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
又∵，
∴③ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
21．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．
22．如图，已知四边形为平行四边形，分别平分和，交于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)已知点的坐标，求的面积．
24．平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求矩形的面积．
25．某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
26．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图2，若，求；
(3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
【详解】解：，，是整式；
是分式．
故选C．
2．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将0.000000926用科学记数法表示为，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断．
【详解】解：根据题意，，
解得，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质得出，，，结合平分，得出，即，，即可作答．
【详解】解：如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴
则
∴
∴
故选：B
5．D
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，根据平行四边形的性质得出对边平行且相等，进而求出点坐标．
【详解】解：的顶点、、的坐标分别是，，，
，点纵坐标为：3，
．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．当时，，y随x的增大而减小，
∴当时，，故本选项不符合题意；
C．当时，，
∴函数图象与y轴的交点坐标是，故本选项符合题意；
D．∴，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了一次函数的应用，当时，设，利用待定系数法求出函数解析式为，当时，求出的值，即可得解．
【详解】解：当时，设，
将和代入解析式得，
解得：，
当时，，
当时，（千米），
距离目的地还有：（千米），
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，由等腰直角三角形的判定与性质得出，由平行四边形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：，，，
为等腰直角三角形，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练的利用“等面积法”是解题的关键，利用，，求出的长，再利用勾股定理求出，得到，最后根据平行四边形面积即可求出的长．
【详解】解： ，，
，
，，四边形为平行四边形，
，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析得出规律，逐项判断即可得出答案，得出经过两次操作后，所给的数重复出现，即每12个数为一组，是解此题的关键．
【详解】解：{，，，}对应为，
，，，， ，，，，故①②正确；
经过两次操作后，所给的数重复出现，即每12个数为一组，
，
，故③错误；
，
，故④错误；
综上所述，正确的是①②，共2个，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题关键．根据分母不为零列不等式求解即可．
【详解】解：要使分式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
12．##度
【分析】根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图，
在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键
13．
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，据此可得答案．
【详解】解：∵反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，轴，
∴，
∵反比例函数的图象进过第二象限，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
又∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
15．##117度
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据平行四边形性质可得，从而得出，再根据翻折得出，再根据三角形内角和即可求解；
【详解】解：∵四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵将沿对角线折叠使点B落在处，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质、折叠的性质，由平行四边形的性质得出，由等边对等角得出，由折叠的性质可得：，由三角形外角的定义与性质得出，即可得解．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】先解不等式组，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出的值，相乘即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
则根据题意可知，不等式组的解集为：，
关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，
则该不等式的整数解至少包含：，，
，
解得：，
分式方程去分母得：，
解得：，
∵，
∴，
是正整数，且，
∴或，
或，
满足条件的整数的积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤以及解分式方程的步骤是解题关键．
18． 是
【分析】本题考查了新定义题型，整式的加减的应用，利用“行知数”的定义判断即可，设“行知数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，表示出，根据题意得出，且，分类计算即可得出答案，正确推出是解此题的关键．
【详解】解：，
是“行知数”；
设“行知数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，
，，
，，
，
，
是整数，
是的倍数，
的千位数字不小于十位数字，
，
，
，且，
当时，是的倍数，此时，则，
当时，是的倍数，此时，不符合题意，舍去，
当时，是的倍数，此时，则，
当时，是的倍数，此时，则，
故最大的“行知数”为，
故答案为：是，．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减即可；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）如图1，以为圆心，长为半径画弧交于，以为圆心，大于 的长为半径画弧交点为，连接交于，即为所求；
（2）按照步骤作答即可．
【详解】（1）解：如图1，以为圆心，长为半径画弧交于，以为圆心，大于 的长为半径画弧交点为，连接交于，即为所求；
（2）证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．原式，当时，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
根据分式有意义的条件，可有，
∴，
∴当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义得出，由平行四边形的性质得出，即可得出，从而得解；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，即可得证．
【详解】（1）解：平分，，
，
四边形为平行四边形，
，
；
（2）证明：四边形为平行四边形，
，，，
，
分别平分和，
，，
，
在和中，
，
，
．
23．(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出得出，再根据计算即可得解．
【详解】（1）解：在反比例函数图象上，
，
解得：，
反比例函数解析式为：，
将代入反比例函数解析式为：，
，
将，代入一次函数解析式得：，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：如图，
，
在中，当时，，
解得：，
，
，
．
24．(1)见解析；
(2)20．
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等等：
（1）先由平行四边形的性质得到，再由即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是矩形；
（2）先证明，得到，再由勾股定理求出，则矩形的面积为．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
在中，，，
，
矩形的面积为．
25．(1)A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
(2)购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键．
（1）设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可；
（2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，再列不等式求解的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案．
【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
（2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
，即，
，随的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
26．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解；
（3）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
∴，
，即
，
∴；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
