期末专题复习2 实数
1 算术平方根
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。
的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数.
规定：的算术平方根是.
2 平方根
(1)一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根.
这就是说，如果，那么叫做的平方根.
(2)求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方和开平方互为你运算.
3 立方根
(1)一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。
这就是说，如果，那么叫做的立方根.
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算.
(3)一个数的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，是根指数.
4 实数
有理数和无理数统称实数.
按大小分类如下：
5实数的性质
(1)实数与数轴上的点是一一对应的；
(2)有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
实数的相反数是；
一个正实数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是.
即
是实数)
【题型一】 求一个数的平方根或立方根
【典题1】 下列各式正确的为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
变式练习
1. 下列说法正确的是( )．
A．是的平方根 B．2是的算术平方根
C．的平方根是2 D．8的立方根是2或
【答案】B
【分析】根据平方根，立方根的定义判断解答即可，本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】没有平方根；的算术平方根是2；的平方根是；8的立方根是2．
故选B．
2. 的平方根是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．根据算术平方根以及平方根的定义解决此题．
【详解】解： ，
的平方根是．
故选：A
3.下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查算术平方根、绝对值，解题的关键是掌握算术平方根的定义、绝对值性质．根据算术平方根的定义、绝对值的性质逐一计算可得．
【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算错误，不符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
4.下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根定义和算术平方根定义，根据算术平方根和立方根定义进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误．
故选：C．
4.已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键．
(1)根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可；
(2)根据(1)所得结果，求出，进而得出算术平方根即可．
【详解】(1)解：的平方根是，的立方根是2，，
，，，
，，；
(2)解：由(1)可知，，，，
，
的算术平方根是5．
【题型二】平方根或立方根的实际应用
【典题1】 一个正数的两个不同的平方根和，则这个正数的立方根是( )
A． B．8 C． D．4
【答案】D
【分析】根据正数的平方根互为相反数，得到，得到，继而得到这个正数是，得到，本题考查了平方根的性质，立方根的计算，熟练掌握平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】∵正数的平方根互为相反数，且正数的两个不同的平方根和，
∴，
∴，
∴这个正数是，
∴，
故选D．
【典题2】如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为( )
A．4－5 B．3 C．4－ D．4＋
【答案】A
【分析】首先根据面积确定大长方形的长和宽，然后再利用长方形的面积减去两个小正方形的面积．
【详解】解：两个面积分别为16和5的正方形，
大正方形的边长为4，小正方形的长为，
阴影部分的长方形的宽为，长为，
阴影部分图形的面积和为：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，关键是正确理解题意，确定长方形的长和宽．
变式练习
1. 若一个数的平方根是和，则这个数是( )
A．1 B． C．4 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求得，继而得，即可由求出答案．
【详解】解：∵一个数的平方根是和，
∴，
解得：，
∴，
∴，即这个数为16．
故选：D．
2.如图1，将两块边长均为2cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在两个相邻的整数( )
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：所拼成的大正方形的面积为，其边长为，
，，而，
，
故选：A．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
3.体积为5的正方体棱长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体体积公式进行计算即可．
【详解】解：设正方体的棱长为a，则有：
解得，
所以，正方体的棱长为，
故选：B
【点睛】本题主要考查了立方根的应用，正确掌握立方体的体积公式是解答本题的关键．
4.将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块(厚度忽略不计)进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x-2，根据其面积为19得出(x-2)2=19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由AD=2x可得答案．
【详解】解：设木块的长为x，
根据题意，知：(x-2)2=19，
则，
∴或(舍去)
则，
故选：C．
【点睛】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间的关系．
【题型三】 实数的分类和性质
【典题1】 以下说法正确的是( )
A．0不是实数 B．是一个无理数
C．实数的绝对值是正实数 D．的立方根是
【答案】D
【分析】直接利用实数的相关性质分别判断得出答案．
【详解】A、0是实数，故此选项不合题意；
B、是一个有理数，故此选项不合题意；
C、实数的绝对值是非负实数，故此选项不合题意；
D、=-3的立方根是，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
【典题2】计算∶
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
变式练习
1. 下列四个实数，是无理数的为( )
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐一进行判断即可．
本题主要考查了无理数的定义，实数分为有理数和无理数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数为无理数，本题中带根号且开不尽的是无理数．
【详解】A. 0是有理数，故A选项不符合题意；
B. 是无理数，故B选项符合题意；
C. 是有理数，故C选项不符合题意；
D. 是有理数，故D选项不符合题意．
故选：B．
2.下列实数中，比3大的有理数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据无理数的概念判断，，是无理数，再比较大小即可．
【详解】解：∵，而，是有理数，，是无理数，
∴比3大的有理数是；
故选：D．
【点睛】本题考查的是有理数与无理数的识别，实数的大小比较，熟记无理数的概念是解本题的关键．
3.的倒数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】乘积是1的两个数互为倒数．
【详解】×()=1
所以的倒数是.
故选D.
【点睛】此题考查倒数，解题关键在于掌握倒数的定义.
4.的绝对值为( )
A． B．- C．- D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义和实数的估计解答．
【详解】∵56，∴0，∴||．
故选A．
【点睛】本题考查了实数的性质，解决本题的关键是估算的大小．
5.下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A． 与 B．()2与 C．与 D．-与
【答案】C
【分析】先根据实数的性质求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：A、=2，=2，即=，不互为相反数，故本选项不符合题意；
B、()2=2，=2，即()2= ，不互为相反数，故本选项不符合题意；
C、与互为相反数，故本选项符合题意；
D、-=，不互为相反数，故本选项不符合题意.
故选C．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根、相反数、实数的性质等知识点，能求出每个式子的值是解题关键．
6.(1)计算并化简(结果保留根号)：
① ；② ；
③ ；④ ；
(2)计算(结果保留根号)： ．
【答案】(1)① ；② ；③；④ ；(2)
【分析】本题考查实数的运算．
(1)直接进行绝对值的化简即可求解；
(2)先进行绝对值的化简，然后合并即可得出结论．
【详解】解：(1)① ；② ；
③ ；④ ；
(2)原式 ．
．
7.计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算：
(1)先计算立方根和算术平方根，再计算乘方，最后计算加减法即可；
(2)根据实数的运算法则求解即可．
【详解】(1)解；
；
(2)解：
．
【题型四】 综合性问题
【典题1】 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)7；．
(2)
(3)
【分析】此题考查的是求无理数的整数部分、小数部分和实数的运算，掌握求无理数的取值范围是解决此题的关键．
(1)先求出的取值范围即可解题；
(2)先求出和的取值范围，即可求出a，b的值，代入即可解题；
(3)先求出的取值范围，即可求出的整数部分和小数部分，从而求出x和y，从而求出结论．
【详解】(1)解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
(2)解：∵，，
∴，，
∴，，
∴；
(3)解：∵，
∴，
∴，，
∴．
变式练习
1. 观察下列各式：
①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可．
【详解】根据题意，第n个等式为
＝
∴＝＝
故选择：C．
【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．
2.已知一个正数的平方根是和，的立方根是，c是的整数部分，d的平方根是它本身．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算：
(1)根据平方根，立方根的定义，无理数的估算，求出a，b，c，d的值即可；
(2)先求出代数式的值，再求出它的平方根即可．
【详解】(1)解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵d的平方根是它本身，
∴；
(2)∵，，，
∴，
∴的平方根为．
3.阅读下面的文字，解答问题：
我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，
例如：．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，即．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分就是其小数部分，又例如：，．
请解答下列问题：
(1)______，______；
(2)如果，求的值；
(3)的值为______．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义
(1)先估算出的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；
(2)先估算出，的范围，得出a和b的值．
(3)计算出整数部分为1、2、3……的算术平方根的个数即可求解．
【详解】(1)解：∵
∴
∴，
(2)解：∵
∴
∴
(3)∵，，
∴中，为的有个，为的有个……
∴
【A组---基础题】
1.下列运算中，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，根据算术平方根，立方根的定义进行逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
2.如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是( )
A．441 B．49 C．7或21 D．49或441
【答案】B
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值．
【详解】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，
∴a+3和2a﹣15互为相反数，
即(a+3)+(2a﹣15)＝0；
解得a＝4，
则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；
则这个数为＝49；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
3.李老师想制作一个体积为的正方体教具，它的棱长大约是(结果精确到)( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先对棱长的值进行一个估计，然后选取一个最接近的答案．
【详解】解：∵93<900<103，93=729，103=1000，
∴|93-900|>|103-900|，
∴，，
∴(cm)，
故选D．
【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及近似数的求解是解题关键．
4.下列各数：，，，，，(每两个之间依次增加个)，其中无理数的个数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数对每个数字逐一分析判断即可．
【详解】解：，，，，，(每两个之间依次增加个)，
其中无理数有：，，(每两个之间依次增加个)共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
5.下列各组数中互为相反数的是( )
A．3和 B．﹣|﹣|和﹣(﹣)
C．﹣和 D．﹣2和
【答案】B
【分析】根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可．
【详解】解：A、＝3，3和两数不互为相反数，故本选项错误；
B、﹣|﹣|＝﹣，﹣(﹣)＝，﹣|﹣|和﹣(﹣)两数互为相反数，故本选项正确；
C、﹣＝﹣2，＝﹣2，﹣和两数不互为相反数，故本选项错误；
D、﹣2和两数不互为相反数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．
6.的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ；
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解．
【详解】解：的绝对值是；
的立方根是；
，
的算术平方根是，
故答案为：，，．
6.若且的算术平方根为，则 ．
【答案】5
【分析】先求出b=16，再代入，根据立方根的定义即可解答．
【详解】解：∵的算术平方根为，
∴b=16，
∴，
∴，
∴a =5．
故答案为5．
【点睛】本题考查算术平方根的定义和立方根的定义，熟知定义是解题关键．
7.已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求：
(1)、、的值；
(2)的立方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键．
(1)根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可；
(2)将(1)中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可．
【详解】(1)解：的算术平方根是，的平方根是，
，，
解得：，，
，
，
的整数部分是，即，
，，；
(2)解：，，，
，，
的立方根是．
8.计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
(1)利用开平方、开立方进行计算后，再进行加减运算即可．
(2)利用开平方、开立方、取绝对值进行化简后，再进行加减运算即可．
【详解】(1)解：
．
(2)解：
．
9.【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：
如果，其中a是整数，且，那么，．
【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值．
解：∵，
∴．
∴且，解得：，．
请解答：
(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
【答案】(1)2，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算、方程组的解，利用平方根求方程的解，估计无理数是本题的关键．
(1) 根据夹逼法可得，依此可求m和n；
(2)根据夹逼法可得，依此可求a和b，代入可得结论；
(3)因为x、y为有理数，所以也是有理数，根据材料可得方程组，解出可解答．
【详解】(1)解：
，
，其中m是整数，且，
，，
故答案为：2，；
(2)∵，
∴，，
∴；
(3)∵，
∴
∴且，解得：，
∴当时，
时，．
【B组---提高题】
1.如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是( )
1 第一排
第二排
1 第三排
1 1 第四排
……
…… 第四列 第三列 第二列 第一列
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】观察数列可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案．
【详解】解：由题意可得：
每三个数一循环，1、、，则前7排共有个数，
在排列中是第个数，
，
表示的数正好是第10轮的最后一个，即表示的数是，
前2014排共有个数，而，
表示的数正好是第676369轮的第一个数，即表示的数是1，
，
与表示的两个数的积是，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化类，实数的运算，根据题意得出每三个数一循环是解题的关键．
2.同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．
运用上述知识，解决下列问题：
(1)若，其中，为有理数，则__________，__________；
(2)如果，其中，为有理数，求的平方根．
【答案】(1)，2
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，读懂所给材料是解题的关键．
(1)根据题意可得：，，然后进行计算即可解答；
(2)将已知等式进行整理可得：，从而可得，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】(1)解：因为，其中，为有理数，
所以，，
解得，，
故答案为：，2；
(2)解：因为，
所以，
所以，
因为，为有理数，
所以，
解得，
所以，
所以的平方根是．
期末专题复习2 实数
1 算术平方根
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。
的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数.
规定：的算术平方根是.
2 平方根
(1)一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根.
这就是说，如果，那么叫做的平方根.
(2)求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方和开平方互为你运算.
3 立方根
(1)一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。
这就是说，如果，那么叫做的立方根.
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算.
(3)一个数的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，是根指数.
4 实数
有理数和无理数统称实数.
按大小分类如下：
5实数的性质
(1)实数与数轴上的点是一一对应的；
(2)有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
实数的相反数是；
一个正实数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是.
即
是实数)
【题型一】 求一个数的平方根或立方根
【典题1】 下列各式正确的为( )
A． B． C． D．
变式练习
1. 下列说法正确的是( )．
A．是的平方根 B．2是的算术平方根
C．的平方根是2 D．8的立方根是2或
2. 的平方根是( )
A． B． C． D．
3.下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
4.下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
4.已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的算术平方根．
【题型二】平方根或立方根的实际应用
【典题1】 一个正数的两个不同的平方根和，则这个正数的立方根是( )
A． B．8 C． D．4
【典题2】如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为( )
A．4－5 B．3 C．4－ D．4＋
变式练习
1. 若一个数的平方根是和，则这个数是( )
A．1 B． C．4 D．16
2.如图1，将两块边长均为2cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在两个相邻的整数( )
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
3.体积为5的正方体棱长为( )
A． B． C． D．
4.将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块(厚度忽略不计)进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为( )
A． B． C． D．
【题型三】 实数的分类和性质
【典题1】 以下说法正确的是( )
A．0不是实数 B．是一个无理数
C．实数的绝对值是正实数 D．的立方根是
【典题2】计算∶
变式练习
1. 下列四个实数，是无理数的为( )
A．0 B． C． D．
2.下列实数中，比3大的有理数是( )
A． B． C． D．
3.的倒数是( )
A． B． C． D．
4.的绝对值为( )
A． B．- C．- D．
5.下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A． 与 B．()2与 C．与 D．-与
6.(1)计算并化简(结果保留根号)：
① ；② ；
③ ；④ ；
(2)计算(结果保留根号)： ．
7.计算
(1) (2)
【题型四】 综合性问题
【典题1】 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的值．
变式练习
1. 观察下列各式：
①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为( )
A． B． C． D．
2.已知一个正数的平方根是和，的立方根是，c是的整数部分，d的平方根是它本身．
(1)求a，b，c，d的值；(2)求的平方根．
3.阅读下面的文字，解答问题：
我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，
例如：．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，即．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分就是其小数部分，又例如：，．
请解答下列问题：
(1)______，______；
(2)如果，求的值；
(3)的值为______．
【A组---基础题】
1.下列运算中，正确的是( )
A． B． C． D．
2.如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是( )
A．441 B．49 C．7或21 D．49或441
3.李老师想制作一个体积为的正方体教具，它的棱长大约是(结果精确到)( )
A． B． C． D．
4.下列各数：，，，，，(每两个之间依次增加个)，其中无理数的个数为( )
A． B． C． D．
5.下列各组数中互为相反数的是( )
A．3和 B．﹣|﹣|和﹣(﹣)
C．﹣和 D．﹣2和
6.的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ；
6.若且的算术平方根为，则 ．
7.已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求：
(1)、、的值；
(2)的立方根．
8.计算：
(1)； (2)．
9.【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：
如果，其中a是整数，且，那么，．
【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值．
解：∵，
∴．
∴且，解得：，．
请解答：
(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
【B组---提高题】
1.如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是( )
1 第一排
第二排
1 第三排
1 1 第四排
……
…… 第四列 第三列 第二列 第一列
A． B． C． D．1
2.同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．
运用上述知识，解决下列问题：
(1)若，其中，为有理数，则__________，__________；
(2)如果，其中，为有理数，求的平方根．
