2024年四川省成都市高考数学摸底测试数学试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的x的值为( )
A.
B.
C. 2
D. 16
5.若实数x，y满足，则的最大值为( )
A. 0 B. 6 C. 7 D. 9
6.全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”.为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分.现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是( )
A. 甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B. 甲、乙两组评分的中位数不相同
C. 甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D. 甲组评分的众数小于乙组评分的众数
7.如图，在正方体中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论中错误的是( )
A. C，G，，F四点共面
B. 直线平面
C. 平面平面
D. 直线EF和HG所成角的正切值为
8.函数的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知直线l：和圆C：，则“”是“圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则( )
A. B.
C. D.
12.如图①，已知边长为4的等边，点E，F分别为边AB，AC的中点.现以EF为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数 为虚数单位，则______.
14.第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项.小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击.假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是______填写具体项目名称
15.已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于P，Q两点，若点在以PQ为直径的圆上，则直线l的方程为______.
16.一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为______.
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题12分
记函数的导函数为，已知，
求实数a的值；
求在的值域.
18.本小题12分
某种产品的价格单位：万元/吨与需求量单位：吨之间的对应数据如表所示.
x 12 11 10 9 8
y 5 6 8 10 11
已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由.
参考公式：，
19.本小题12分
如图，在直三棱柱中，，
求证：平面；
若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
20.本小题12分
已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到其左、右焦点的距离之和为
求椭圆E的方程；
设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足，求四边形AOBN面积的最小值及此时的值.
21.本小题12分
已知函数，其中
当时，求函数的单调区间；
当时，若恒成立，求整数a的最大值.
22.本小题10分
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为设曲线与曲线相交于A，B两点.
求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
已知点，求的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由，得，解得，
所以，
因为，所以
故选：
先求出集合A，再求两集合的交集即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题“，”的否定是“，”．
故选：
直接利用含有一个量词的命题的否定求解即可．
本题考查了命题的否定，涉及了含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为，即可得到．
【解答】
解：双曲线的，，
由双曲线的渐近线方程为，
则所求渐近线方程为
故选：
4.【答案】D
【解析】解：若，则，此时不满足，不符合要求，故舍去，
若，此时不满足，符合要求，故
故选：
根据程序框图，分类讨论求解．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意作可行域如图，
作直线：，由图可知，平移直线到l位置，即过点B时，z取得最大值．
解方程组得，
代入
故选：
先作可行域，再作直线：，平移直线确定最优解，然后可得．
本题主要考查简单线性规划，考查转化能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：甲的数据为，，，，，，，，，，乙组数据为，，，，，，，，，
A选项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，
甲的平均数小，A选项正确；
B选项，甲的中位数为：，乙的中位数为：，甲乙中位数一样，B选项错误；
C选项，甲的极差为，乙的极差为，甲的极差更小，C选项错误；
D选项，甲的众数为，乙的众数为，甲的众数更大，D选项错误．
故选：
根据茎叶图先写出甲乙两组数据，然后分别计算这两组数据的中位数，众数，极差，平均数．
本题主要考查茎叶图的应用，考查转化能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：取BC中点M，连接，FM，
由于F是AD的中点，在正方体中可知，
又，，所以四边形为平行四边形，故，
因此，故C，G，，F四点共面，故A正确，
取AB中点N，连接FN，EN，
由于N，E，F均为中点，所以，，
又因为平面，BD平面，所以平面，
同理平面，，EN，平面EFN，
所以平面平面，平面EFN，故直线平面，B正确，
假设平面平面，则平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可得平面，显然这与与GC相交矛盾，故C错误，
由于，，，所以，
故为直线EF和HG所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为a，则，
由于底面ABCD，平面ABCD，所以，
故，
直线EF和HG所成角的正切值为，D正确．
故选：
根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解
本题主要考查了线面平行和面面平行的判定，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：，
①当时，，则，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以在上的最小值为，
因为，
，
所以在和上各有一个零点，
②当时，，则，
所以在上递增，
因为，，
所以在上有一个零点，
综上，共有3个零点．
故选：
先对函数化简得，然后分和两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可．
此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：如图，
为等腰直角三角形，连接AD，EF，
由题可知，D，E，F，H，I 分别为BC，AB，AC，EF，FD的中点，
设，则，，，，
则，
阴影部分②的面积为，
阴影部分⑦的面积为
则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为
故选：
数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质，进行边长运算即可得出结论．
本题主要考查几何概型的应用，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：圆C：的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线l：，圆心到直线的距离，
此时圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1，故充分性成立；
当圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1时，
圆心到直线的距离，
所以，解得，故必要性成立，
所以“”是“圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1”的充要条件．
故选：
根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆心的距离范围即可求解．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：由，得，
因为，所以
所以，
所以，
令，，则，
所以在上单调递增，
对于A，因为，所以，
所以，，
所以，所以A错误；
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以，所以C错误；
对于BD，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误．
故选：
由已知可得，所以构造函数，求导后可判断出在上单调递增，然后利用函数的单调性逐个分析判断即可．
此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是对已知条件变形，然后构造函数，求导后判断出函数的单调性，再利用函数的单调性分析，考查数学计算能力，属于较难题．
12.【答案】C
【解析】解：取EF，BC中点M，N，连接AM，BM，，MN，NE，
，F分别为AB，AC中点，
，，
是边长为4的等边三角形，
是边长为2的等边三角形，
为EF中点，
，
，即，；
，
，，
，
，
，EF，平面BCFE，
平面BCFE，
，，
为等边三角形，
，
同理可得：，
，
为梯形BCFE的外接圆圆心，
设的外接圆圆心为G，则，
分别过G，N作MN，的平行线，交于点O，
则点O即为四棱锥的外接球球心，即为外接球半径R，
，
，
四棱锥的外接球表面积
故选：
取EF，BC中点M，N，结合等腰三角形三线合一性质、余弦定理和勾股定理可分别证得，，从而得到平面BCFE；根据可知N为梯形BCFE外接圆圆心，设外接圆圆心为G，由球的性质可确定球心位置，根据长度关系可得半径，代入球的表面积公式即可．
本题考查立体几何中的多面体外接球相关问题的求解，解题关键是能够根据球的性质，结合线面垂直关系确定外接球球心的位置，从而根据长度关系求得外接球半径．
13.【答案】
【解析】解：
故答案为：
对复数分子与分母同时求模即可．
本题考查复数模的求法，考查计算能力．
14.【答案】武术
【解析】解：由题意，如图下表所示：
武术 赛艇 射击
小张 会 不会
小王 会 不会 会
小李 会 不会
若他们三人都说的是真话，可得小张会武术，小王会武术和射击，小李会武术．
故答案为：武术．
根据题意，结合三人都说的是真话，利用表格的形式，即可求解．
本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设直线方程为：，，，，
，，
联立，可得，
，，，
点在以PQ为直径的圆上，
，
，
整理得：，即，
，
即，可得
即直线l的方程为：
故答案为：
联立直线方程和抛物线方程得到，再结合点在以PQ为直径的圆上，进而求解结论．
本题主要考查抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】2
【解析】解：因为，，
所以，
则在点处的切线方程为：，即；
在点处的切线方程为：，即，
由已知，则 ，解得，
又，所以，
所以
故答案为：
分别求得函数和在点和点处的切线方程，由条件可得，的关系，化简可得结论．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由函数，可得，
因为，可得，解得；
由得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在，单调递增；在单调递减，
又由，，，，，，，
所以，，
所以函数在的值域为
【解析】求得，根据，列出方程，即可求解；
由得，求得的单调区间和最值，即可求得函数的值域．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得，；
因为，
，
所以，，
所以y关于x的线性回归方程为；
当时，；
所以当该产品定价为6万元时需求量不超过15吨．
【解析】根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式中，求得结果，再把样本中心点代入公式，求出a的值，即可得到线性回归方程；
根据所求的线性回归方程，把代入线性回归方程，即可解．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：如图，连接
，
直三棱柱中四边形为正方形．
又，，，平面，
平面
平面，
又，，，平面，
平面
由题意设，则
当且仅当时取等号，
，此时D，E分别为棱AB，AC的中点．
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
可得，
设平面的一个法向量为
由，得，令，得
又平面的一个法向量为
设二面角的平面角为
，
结合图形，易知二面角为锐角．
二面角的余弦值为
【解析】由线面垂直的判定即可证明；
设，则，则，根据基本不等式得，此时D，E分别为棱AB，AC的中点．再建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：椭圆E的离心率为，且椭圆E上的点到其左、右焦点距离之和为4，
且，解得，，
，，
椭圆E的标准方程为
由题意知，直线l的斜率为0时显然不成立，
设直线l的方程为，，，
由消去x，得，
，则，，
，，
为AB的中点，，
，，，
又点N在椭圆E上，则，解得，
，
，
四边形AOBN的面积，
，
当且仅当时取等号，
当时，四边形AOBN面积最小值为
【解析】利用椭圆离心率公式与定义求得a，b，c，从而得解；
联立直线l与椭圆方程得到，，从而求得关于m的表达式，再利用得到，从而得解．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
21.【答案】解：当时，函数定义域为，
由，解得；由，解得
函数的单调递增区间为，单调递减区间为
由题意当时，，整理得
令函数，
则，
令，则，
当时，恒成立，
在单调递增．
又，，
，使得，即，
时，；时，，
在单调递减，在单调递增，
则，
令函数则，
在单调递增，
又，而，
，
又，
整数a的最大值为
【解析】代入，求导分析导函数的正负区间即可；
参变分离可得，再构造函数求导可得，再构造，求导结合零点存在性定理可得，进而可得整数a的最大值．
本题主要考查了利用导数分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数，结合零点存在性定理，进而确定函数在区间上最值的范围问题．需要根据题意参变分离，构造函数求导，设极值点，再确定零点所在区间，进而代入原函数可得极值范围．属于难题．
22.【答案】解：由曲线的参数方程消去参数t，得曲线的的普通方程为
，，
化简得曲线的直角坐标方程为
由题意得曲线的参数方程为为参数
将其代入，得
设A，B两点对应的参数分别为，
则，
则，为一正一负，
【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
第1页，共1页
