2024年重庆市七校联盟高考数学三诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是纯虚数，则的值为( )
A. B. 1 C. 2 D.
3.已知向量，，若，则( )
A. 3 B. C. D.
4.设，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则a与b异面
D. 若，，，则
5.已知，则( )
A. 2 B. C. 3 D.
6.已知抛物线C：的焦点为F，该抛物线上一点P到的距离为4，则( )
A. 3 B. 4 C. D.
7.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.如图，函数的图象与x轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 为偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线l：，圆C：，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆C相交
C. 当直线l平分圆C时， D. 当点C到直线l距离最大时，
10.已知在直三棱柱中，，，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则( )
A. 直三棱柱的体积为
B. 点到平面的距离为
C. 当点D为线段的中点时，平面平面
D. E、F分别为棱、上的动点，当取得最小值时，
11.已知函数为常数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在处的切线方程为
B. 若有3个零点，则a的取值范围为
C. 当时，是的极大值点
D. 当时，有唯一零点，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则______.
13.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______.
14.有序实数组称为n维向量，…为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知n维向量，其中，，2，…，n，记范数为奇数的的个数为，则______；______用含n的式子表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知函数在点处的切线与直线垂直.
求a的值；
求函数的极值.
16.本小题15分
已知在数列中，，
求证：数列是等差数列，并求数列的前n项和
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值.
17.本小题15分
如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，
求证：平面PBD；
若二面角的余弦值为，求直线PD与底面ABCD所成角的余弦值.
18.本小题17分
已知F，C分别是椭圆：的右焦点、上顶点，过原点的直线l交椭圆于A，B两点，满足，
求椭圆的方程；
设椭圆的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为，的面积为S，当时，求k的取值范围.
19.本小题17分
在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n次，红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为
若袋中这两种颜色球的个数之比为1：3，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y，则
注：表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为k的概率
ⅰ完成如表；
k 0 1 2 3
ⅱ在统计理论中，把使得的取值达到最大时的p，作为p的估计值，记为p，请写出p的值.
把中“使得的取值达到最大时的p作为p的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数p的对数似然函数为，其中求参数p的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合，
又，
故选：
先求出集合A，再利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：是纯虚数，
则，即
则的值为
故选：
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值，进一步求得的值．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：向量，，且，
，
解得
故选：
根据平行向量的坐标关系求解．
本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，
对于A，若，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，，则a与b平行或异面，故B错误；
对于C，若，，则a与b有可能相交或平行，故C错误；
对于D，若，，，则由面面垂直的性质及线面垂直的判定得，故D正确．
故选：
对于A，a与b相交、平行或异面；对于B，a与b平行或异面；对于C，a与b有可能相交或平行；对于D，由面面垂直的性质及线面垂直的判定得
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
整理可得：，
解得
故选：
由题意及两角和，两角差的余弦公式展开整理可得，的关系，进而求出的值．
本题考查两角和，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知：抛物线C：的准线为，
设，，则，解得，
所以
故选：
设，，由题意可得，结合抛物线的定义运算求解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为为奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于对称，
所以
故选：
由已知结合函数的奇偶性及对称性及函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及函数图象的平移在函数求值中的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题可知，，，则，
有，，，
所以，
把代入上式，得，解得负值舍去，
所以，所以，由，解得
所以，解得，
所以，
而，，
所以，故C正确；
A中，可得最小正周期，所以A不正确；
B中，因为，所以是函数的应该对称中心，所以B不正确；
D中，，显然是奇函数，所以D不正确．
故选：
由题意可得点A，B，C的坐标，由题意可得点D的坐标，再由，，，可得，，A的值，即求出函数的解析式，再分别对所给的命题进而判断它们的真假．
本题考查由部分图象求三角函数的解析式及三角函数的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对直线l：，可得，
由且，可得，，
可知直线l恒过定点，选项A正确；
由于，
即定点在圆外，则直线l与圆C不一定相交，选项B错误；
若直线l平分圆C，则直线l过圆心，
可得，解得，选项C正确；
当点C到直线l距离最大时，点C与定点的连线与直线l垂直，
则，解得，选项D正确．
故选：
将直线化为，容易求得定点坐标；由定点在圆外，可判断选项B；当直线l平分圆C，直线l过圆心，求得m的值，判断选项C；当点C到直线l距离最大时，点C与定点的连线与直线l垂直，由此可判断选项
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对A选项，直三棱柱的体积为，选项错误；
对B选项，在该正方体中，易知，平面，
，又，
平面，
点到平面的距离为，选项正确．
对C选项，当D为的中点时，取的中点H，设，
则易知，又易知平面，即，
平面，又平面，
平面平面，选项正确；
对于D选项，在正三棱柱中，其侧面展开图如图：
当取得最小值时，在侧面展开图中连接，分别为交，于点E，F，
由相似可知，点E，F分别为，的三等分点，如图所示，
，
过点E作交于点H，
由勾股定理得，，，
因为，，
所以所以D不正确．
故选：
求解直三棱柱的体积判断A的正误；
求解点到平面的距离，判断B的正误；
证明平面平面，判断C的正误；
当取得最小值时，推出判断D的正误．
本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，点、线、面距离的求法，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A：当时，，
，
所以在处切线的斜率为，
又，
所以在处切线方程为，即，
所以切线方程为，故A正确；
对于B：若有3个零点，则方程有三个根，
因为不是方程的根，
所以有三个根，
所以与有三个交点，
，
所以在上，函数单调递增，
在上，函数单调递减，
在上，函数单调递增，
所以当时，，
所以，
所以a的取值范围为，故B正确；
对于C：当时，，
，
令，
在R上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
又，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以当时，取得极小值，故C错误；
对于D：当时，，
设，则，
令得时，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，，
所以，
所以，
所以在R上单调递增，
又因为，，
即，
所以有唯一零点且，故D正确．
故选：
对于A：当时，，由导数的几何意义可得在处切线的斜率为，又，由点斜式，即判断A是否正确；
对于B：若有3个零点，则方程有三个根，即与有三个交点，即可判断B是否正确；
对于C：当时，，求导分析单调性，即可判断C是否正确；
对于D：当时，，求导分析单调性，极值，即可判断D是否正确．
本题考查导数综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】3
【解析】解：，，
，
故答案为：
根据对数的运算性质求解即可．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，
，
则
故答案为：
先求出，再由，能求出结果．
本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据乘法原理和加法原理得到；
奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5， ，，
根据乘法原理和加法原理得到，
，
，
两式相减得到
故答案为：40；
根据乘法原理和加法原理即可求解；奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5， ，，根据和的展开式相减得到的通项公式．
本题考查了数列新定义的应用，属于中档题．
15.【答案】解：因为，
所以，
因为在点处的切线与直线垂直，
所以，即；
由得，，
因为，
故当时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
故时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值
【解析】先对函数求导，结合导数的几何意义及直线垂直的斜率关系即可求解a；
结合导数与单调性及极值关系即可求解．
本题主要考查了导数几何意义的应用，直线垂直的斜率关系的应用，还考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
16.【答案】证明：因为数列中，，
所以，
故，
即，
所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则，
，
则…；
解：在中，，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
由A为三角形内角得，，
由余弦定理得，，当且仅当时取等号，
所以，
面积，即面积的最大值为
【解析】结合已知递推关系，两边取倒数，然后由等差数列的定义即可证明；
先由求出a，然后结合正弦定理，和差角公式进行化简可求A，再由余弦定理及基本不等式可求bc的范围，最后由三角形面积公式可求．
本题主要考查了数列递推关系的应用，等差数列的定义，裂项求和方法的应用，还考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
17.【答案】证明：取BC的中点O，连接DO，OP，因为
平面平面ABCD，，，，
所以，平面平面，
所以平面PBC，平面ABCD，
所以，
所以，，，
所以，所以，
即，而，
所以平面PBD；
解：由可得在平面PBD的投影为，
设二面角的平面角为，则，
设，则，
由可得，所以，
，
所以，解得，
因为平面ABCD，
所以为直线PD与底面ABCD所成的角，设，
则，
所以
即直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为
【解析】取BC的中点O，连接DO，OP，由题意可证得平面PBC，平面ABCD，进而可证得，，再证得结论；
设二面角的平面角为，则，设，分别求出，的面积，进而可得a的值，再求出直线PD与底面ABCD所成角的正切值，进而求出它的余弦值．
本题考查直线与平面垂直的证法及线面角的余弦值的求法，二面角的平面角的求法，属于中档题．
18.【答案】解：不妨设椭圆的左焦点为，
连接，，
由对称性知四边形为平行四边形，
所以，
由椭圆定义得，
解得，
不妨设椭圆的半焦距为c，
此时，
可得，
解得，
则椭圆的标准方程为；
易知，
所以直线的方程为，直线的方程为，
不妨设，，
联立，消去y并整理得，
由韦达定理得，
所以，
此时，
同理得，，
此时，
则，
因为，
所以，
整理得，
解得，
因为，
所以，
解得或
故k的取值范围为
【解析】由题意，设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性、椭圆的定义以及几何性质列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
得到直线，的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，根据韦达定理得到点M的坐标和，同理得点N的坐标和，代入三角形面积公式中，结合列出等式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以p的值为或，
表格如下：
k 0 1 2 3
由题知，当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大，
所以
对对数似然函数进行求导，，
因此似然方程为，解上面的方程，得，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．
【解析】利用古典概型的知识，分别求出和时的分布列；将两个分布列画在一起，观察，1，2，3时的概率，比较大小得解；
对求导数，并求出导数的零点与频率估计值对照即可．
本题考查了用古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望、排列与组合数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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