第2讲 电场能的性质
学习目标 1.知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的含义，掌握静电力做功与电势能变化的关系。 2.掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。 3.会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。
1.思考判断
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。(×)
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。(×)
(3)静电力做功与路径无关。(√)
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。(×)
(5)由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关。(√)
(6)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。(√)
(7)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。(×)
2.如图所示，实线为某电场的电场线，虚线为等势面，A、B为电场线上的两个点，下列判断正确的是( )
A.A点的电场强度比B点的电场强度小
B.A点电势比B点电势高
C.带正电的检验电荷从A点移动到B点电势能增加
D.带负电的检验电荷从A点移动到B点动能减少
答案 C
考点一 静电力做功、电势能和电势
1.静电力做功
2.电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
静电力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
3.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，计算得到的值越大，电势能越大
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加
能量守恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
例1 (2023·湖北卷，3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是( )
A.若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B.若EM
D.若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM>EN
答案 C
解析 若φM>φN，根据沿着电场线的方向电势降低及正点电荷产生的电场特点可知，M点到电荷Q的距离比N点的近，故A错误；若EM
图1
A.C点电场强度垂直于该点所在的等势面，方向向右
B.A、B、C、D、E五个点中，C点的电场强度大小最大
C.一正电荷从A点移到E点，电势能增大
D.一电子从E点移到A点，静电力做正功
答案 BC
解析 C点电场强度垂直于该点所在的等势面，方向向左，故A错误；等差等势面的疏密程度表示电场强度的大小，所以A、B、C、D、E五个点中，C点的电场强度大小最大，故B正确；正电荷在电势高处电势能大，故C正确；电子从E点移到A点，静电力做负功，故D错误。
1.(多选)(2023·广东卷，9)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图2所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒，当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色，下列说法正确的有( )
图2
A.像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B.像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C.像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D.像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
答案 AC
解析 像素呈黑色时，胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；像素呈白色时，胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，黑色微粒向下迁移，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力方向向上，位移方向向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力方向向上，位移方向向上，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。
考点二 电势差与电场强度的关系
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
(3)两个推论：①如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
②如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2.非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
例3 (多选)(2023·山西怀仁一中模拟)如图3所示的直角三角形，ac＝2ab、bc＝20 cm，d点为bc边上的点，已知∠cad＝∠dab，空间存在一平行于abc面的匀强电场。b点的离子源能向各个方向发射一系列的电子，电子的初动能为Ekb＝2 000 eV，其中到达a、c两点的电子动能分别为2 100 eV、1 900 eV，忽略电子间的相互作用。则下列说法正确的是( )
图3
A.a点的电势比b点的电势高100 V
B.匀强电场的电场强度大小为1 000 V/m
C.该电场的方向由a指向d
D.图中的虚线框内c点的电势最高
答案 AC
解析 由b到a由动能定理可得－eUba＝Eka－Ekb＝2 100 eV－2 000 eV，解得Uba＝－100 V，则a点的电势比b点的电势高100 V，A正确；由b到c由动能定理可得－eUbc＝Ekc－Ekb＝1 900 eV－2 000 eV，解得Ubc＝100 V，可知bc间的电势差为100 V，所以ac间的电势差为Uac＝100 V－(－100 V)＝200 V，则b点与ac中点电势相等，连接b点与ac中点即为等势线，如图所示，由几何关系可知，电场线方向沿ad方向，电场强度大小为E＝＝ V/m＝1 000 V/m，B错误，C正确；电场线方向沿ad方向且由a指向d，则图中的虚线框内，顶点a的电势最高，D错误。
等分法及其应用
(1)等分法
如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。
(2)“等分法”的应用思路
2.(多选)(2023·河南高三校联考)如图4所示，半径为0.5 m的圆处在匀强电场中，电场线与圆所在的平面平行。AB和CD是圆的两个直径，O为圆心，两直径的夹角为60°。沿直线从A到B，每过1 cm电势降0.1 V，沿直线从C到D，每过1 cm电势降0.2 V，则下列判断正确的是( )
图4
A.B点电势比D点电势高
B.匀强电场的电场强度大小为20 V/m
C.电场方向与AB垂直
D.将一个带负电的粒子从C沿圆弧顺时针移动到D，电势能不断增大
答案 ABD
解析 由题意知，从O到B电势降低5 V，从O到D电势降低10 V，因此B点比D点电势高，故A正确；OD中点与B点等势，B点与OD中点连线即为等势线，由几何关系可知，这个连线与OD垂直，因此电场方向沿CD方向，故C错误；电场强度大小E＝＝ V/m＝20 V/m，故B正确；沿圆弧从C点移到D点，电势逐渐降低，带负电的粒子的电势能不断增大，故D正确。
3.如图5所示为电子束焊接机，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中的两点。K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是( )
图5
A.A、K之间的电场强度均为
B.B点电势大于C点电势
C.B点电场强度大于C点电场强度
D.电子由K到A电势能减少了eU
答案 D
解析 A、K之间是非匀强电场，公式U＝Ed不适用，因此A、K之间的电场强度不等于，故A错误；B、C所在等势面为和电场线垂直的圆弧，如图所示，根据沿电场线方向电势降低，可知C点电势大于B点电势，故B错误；电场线的疏密程度表示电场强度的大小，由题图可知C点处的电场线比B点处的密，则C点的电场强度比B点的大，故C错误；电子由K到A，静电力做正功，电势能减少，则W＝－ΔEp＝eU，故D正确。
考点三 电场线、等势面及运动轨迹问题
例4 (多选)(2023·全国乙卷，19)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图6所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球( )
图6
A.在运动过程中，电势能先增加后减少
B.在P点的电势能大于在N点的电势能
C.在M点的机械能等于在N点的机械能
D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
答案 BC
解析 画出O点处点电荷过M、N两点的等势面，如图所示，由图可知带负电的小球在运动过程中电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，A错误；距正点电荷越远，电势越低，则φN＞φP，根据电势能计算式Ep＝qφ，结合小球带负电可知EpN＜EpP，B正确；小球在运动过程中动能、重力势能、电势能的总和保持不变，M、N两点在正点电荷的同一等势面上，因此小球在M、N两点上的电势能相等，则小球在M、N两点上的机械能相等，C正确；结合小球运动方向与受力方向夹角变化可知，小球从M点运动到N点的过程中电场力先做正功后做负功，D错误。
例5 (2023·浙江高三校联考)如图7所示的5条虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子只在静电力作用下在电场中运动(轨迹未画出)，已知
电子经过等势面1时动能为5 eV，经过等势面4时动能为20 eV，等势面2的电势为＋3 V，下列说法正确的是( )
图7
A.电子从等势面1运动至等势面4过程电势能增加15 eV
B.等势面3的电势－6 V
C.电子经过等势面4时具有的电势能－13 eV
D.等势面3、5间的电势差为8 V
答案 C
解析 电子从等势面1运动至等势面4过程，根据动能定理，有W14＝Ek4－Ek1，又W14＝－ΔEp，联立解得ΔEp＝－15 eV即该过程电势能减少15 eV，故A错误；等势面1、4间的电势差为U14＝＝－15 V，依题意有U23＝φ2－φ3＝U14，解得φ3＝8 V，故B错误；同理可得U24＝φ2－φ4＝U14，解得φ4＝13 V，电子经过等势面4时具有的电势能为Ep4＝－eφ4＝－13 eV，故C正确；相邻等势面间电势差相等，则有U35＝U24＝U14＝－10 V，故D错误。
电场线与粒子运动轨迹的求解方法
(1)首先根据带电粒子运动轨迹弯曲的方向判断出受力的方向，带电粒子所受的电场力方向沿电场线指向运动轨迹的凹侧，再根据粒子的电性判断场强的方向。
(2)根据电场线的疏密，判断加速度大小的关系。
(3)带电粒子的轨迹的切线方向为该处的速度方向。
(4)根据电场力的方向与速度方向的夹角是锐角还是钝角判断电场力的做功情况。
A级 基础对点练
对点练1 静电力做功、电势能和电势
1.(2023·湖南株洲一模)如图1，一对固定不动的等量异种点电荷的连线与其中垂线相交于O点，以O点为圆心的两个半径不等的圆，分别与中垂线交于e、f两点，与连线交于g、h两点，两圆的直径均小于两点电荷连线的长度，则( )
图1
A.g点的电场强度大于h点的电场强度
B.g点的电势大于h点的电势
C.e点的电势大于f点的电势
D.将质子从e点移到g点与从f点移到h点静电力做功相等
答案 B
解析 根据等量异种点电荷连线上电场强度分布规律可知，g点的电场强度小于h点的电场强度，故A错误；根据沿电场线方向电势降低，可知g点的电势大于h点的电势，故B正确；根据等量异种点电荷连线中垂线上各点电势相等，可知e点的电势等于f点的电势，故C错误；根据电势差定义式，可得Ueg＝φe－φg，Ufh＝φf－φh又φe＝φf，φg>φh，解得Ueg
图2
A.避雷针附近的电场是匀强电场
B.A点的电场强度比B点小
C.a、b、c、d等势面中a的电势最低
D.有一带负电的雨点从乌云中下落，静电力做正功
答案 D
解析 匀强电场的等势线应是一簇平行线，由题图可知避雷针附近的电场不是匀强电场，故A错误；等差等势面越密集电场强度越大，所以A点的电场强度比B点大，故B错误；乌云带负电，则电场线终止于乌云，根据沿电场线方向电势降低可知a、b、c、d等势面中a的电势最高，故C错误；有一带负电的雨点从乌云中下落，雨点所受静电力方向与速度方向夹角小于90°，静电力做正功，故D正确。
3.(2024·河南洛阳期中)如图3所示，在直角坐标系xOy平面内存在一点电荷产生的电场，电场线的分布关于x轴对称，a、b、c、d是以O为圆心的圆周上的四个点，其中a、b在x轴上，d点在y轴上，则下列判断正确的是( )
图3
A.a、b、c、d各点的电势相等
B.d点的电场强度小于a点的电场强度
C.将一点电荷由a点移到c点，电势能减小
D.将一正点电荷由b点移到d点静电力做的功小于由b点移到c点静电力做的功
答案 D
解析 沿电场线方向电势降低，由题图可知，a、b、c、d各点的电势不相等，故A错误；电场线越密电场强度越大，则d点的电场强度大于a点的电场强度，故B错误；将一点电荷由a点移到c点，由于不知道电性，故无法判断电势能变化，故C错误；由题图可知，bd间的电势差小于bc间的电势差，根据W＝qU可知，将一正点电荷由b点移到d点静电力做的功小于由b点移到c点静电力做的功，故D正确。
对点练2 电势差与电场强度的关系
4.(2023·河北保定高三一模)匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图4所示，AB＝AC。将电荷量为－4×10－6 C的点电荷从A点移到B点，静电力做功8×
10－6 J，再把该电荷从B点移到C点，静电力做功－1.6×10－5 J，关于该电场的下列说法中正确的是( )
图4
A.A、B两点间的电势差UAB＝－2 V
B.若规定A点电势为0，则C点电势为2 V
C.电场强度的方向由B指向A
D.电场强度的方向由C指向B
答案 A
解析 将电荷从A点移到B点，静电力做功为WAB＝qUAB，代入数据解得UAB＝－2 V，故A正确；把该电荷从B点移到C点，静电力做功为WBC＝qUBC，代入数据解得UBC＝4 V，若规定A点电势为0，而UAB＝－2 V＝φA－φB＝0－φB＝－φB，可得φB＝2 V，又UBC＝4 V＝φB－φC＝2 V－φC，解得φC＝－2 V，故B错误；因为该电场为匀强电场，且AB＝AC，则可知BC中点处的电势等于A点处的电势，而沿着电场线的方向电势降低，则可知电场线的方向为B到C，而匀强电场中，电场线的方向和电场强度的方向一致，则可知电场强度的方向为B指向C，故C、D错误。
5.如图5所示，以A、B、C、D为顶点的长方形处于一平行板电容器(图中未画出)形成的匀强电场中，长方形所在平面与两平行板垂直，AB的长度为8 cm，BC的长度为6 cm，D点距带正电荷的电容器极板的距离为20 cm。取无穷远处的电势为零，A、B、C三点的电势分别为9 V、25 V、16 V。则( )
图5
A.D点电势为32 V
B.D点电势为18 V
C.两平行板间的电势差为50 V
D.两平行板间的电势差为100 V
答案 D
解析 在匀强电场中，平行且相等的两线段电势差相等，可得φB－φA＝φC－φD，代入数据可得φD＝0，故A、B错误；如图所示，将CD分为8等分，则每一等分对应1 cm，所以F点的电势为9 V，连接AF，过D点作AF的垂线DG，由几何关系可得DG＝，解得DG＝3.6 cm，所以电场强度的大小为E＝，解得E＝250 V/m，又因为D点的电势为0，且D点距正极板的距离为20 cm，由对称性可知，两极板间的距离为40 cm，所以两极板间的电势差为U＝Ed＝100 V，故D正确，C错误。
6.如图6是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是同一电场线上、以点O为圆心的圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
图6
A.O点电势与Q点电势相等
B.将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C.MO间的电势差等于ON间的电势差
D.在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
答案 B
解析 过O点和Q点作电场的等势面，如图。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，静电力对电荷做正功，电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，由U＝Ed可得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。
对点练3 电场线、等势面及运动轨迹问题
7.(多选)(2023·辽宁卷，9)图7(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
图7
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
答案 CD
解析 由题图可知M点靠近带负电的极杆，P点靠近带正电的极杆，又电势沿电场强度方向降低，则P点的电势比M点的电势高，A错误；等势面的疏密程度反映电场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面密，则M点的电场强度大，B错误；由对称性可知两带正电的极杆在M点产生的电场强度方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加可知M点的电场强度方向沿z轴的正方向，C正确；由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变，D正确。
8.(2024·河北唐山高三统考)如图8所示，实线表示某电场等势面的分布情况，虚线表示该电场中一带电粒子的运动轨迹，A、B分别为带电粒子的轨迹与等势面e、b的交点。带电粒子的重力忽略不计。下列说法正确的是( )
图8
A.粒子带正电
B.粒子在A点受到的静电力小于粒子在B点受到的静电力
C.粒子在A点的电势能大于粒子在B点的电势能
D.粒子一定从A运动到B
答案 B
解析 沿着电场线方向电势逐渐降低，电场线分布如图，曲线运动中合力方向指向弯曲方向，故带电粒子受力大致方向为向上，受力方向与电场方向相反，故粒子带负电，A错误；等势线间距越小(越密集)，电场强度越大，故EB>EA，故粒子在A点受到的静电力与在B点受到的静电力满足FB>FA，故B正确；粒子带负电，A点电势高于B点，粒子从A点运动到B点，静电力做负功，电势能增大，故粒子在A点的电势能小于粒子在B点的电势能，故C错误；由于粒子初速度大小及方向题中未给出，粒子可能从A运动到B，静电力做负功，也可能从B运动到A，静电力做正功，故D错误。
B级 综合提升练
9.(多选)(2023·天津卷，8)如图9，在一个固定的正点电荷产生的电场中，一个正试探电荷q两次以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点、N点，且q在M、N点时的速度大小也相等，则下列说法正确的是( )
图9
A.P点电势高于M点电势
B.M点电势高于N点电势
C.q从P点运动到M点一直做减速运动
D.M、N两点处的电场强度大小相等
答案 AD
解析 由题意可知正试探电荷q两次以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，分别到达M点和N点，且q在M、N点时的速度大小相等，则这两个过程中试探电荷动能的变化量相等，即电场力做的功相等，由W＝qU可知，P、M两点的电势差和P、N两点的电势差相等，故M、N两点的电势相等，B错误；由图可知，正试探电荷q从P点运动到N点的轨迹向右弯曲，则可以判断出试探电荷q在P点受到的电场力方向向右，又根据正试探电荷q从P点运动到M点的轨迹为直线可判断出q从P点到M点，其所受的电场力沿PM方向，所以q从P点到M点一直做加速运动，电场力一直做正功，P点电势高于M点电势，A正确，C错误；由于M、N两点的电势相等，则M、N两点在同一等势面上，又点电荷产生的电场中，等势面是一系列的同心球面，所以M、N两点到固定正点电荷的距离相等，由点电荷的场强公式E＝可知，M、N两点处的电场强度大小相等，D正确。
10.(2024·广东深圳模拟)如图10所示，在匀强电场中的O点固定一点电荷＋Q，a、b、c、d、e、f为以O点为球心的同一球面上的点，aecf平面与电场线平行，bedf平面与电场线垂直，下列判断中正确的是( )
图10
A.a、c两点电势相等
B.b、d两点的电场强度相同
C.将点电荷＋q从球面上d点移到e点，静电力做功为零
D.将点电荷＋q从球面上b点移到c点，静电力做功为零
答案 C
解析 根据点电荷形成的电场可知，a、b、c三点距离点电荷的距离相等，可知电势相同，但a、b、c三点又同时处在匀强电场中，而沿着电场线的方向电势降低，根据电势叠加原理可知φa>φb>φc，因此将点电荷＋q从球面上b点移到c点，静电力做正功，A、D错误；根据电场强度的叠加原理可知，b、d两点的电场强度大小相同，方向不同，B错误；bedf平面与电场线垂直，若只有匀强电场，则可知平面bedf为等势面，又d、e两点又位于点电荷所在的球面上，若只有该点电荷，则可知d、e两点所在的球面为等势面，所以在该复合电场中，d、e两点电势仍然相等，因此将点电荷＋q从球面上d点移到e点，静电力做功为零，C正确。
11.(多选)(2023·海南卷，12)如图11所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
图11
A.M、N两点电场强度相同
B.M、N两点电势相同
C.负电荷在M点的电势能比在O点时要小
D.负电荷在N点的电势能比在O点时要大
答案 BC
解析 根据电场强度叠加原理可知，M、N两点电场强度的大小相等，方向不同，A错误；M、N两点在A、B的电场中位于同一等势面上，且比O点电
势要高，同时M、N两点在C的电场中也是位于同一等势面上，也比O点电势要高，所以M、N两点位于同一等势面上，电势相等，B正确；由于M、N点电势均高于O点电势，根据Ep＝qφ可知，负电荷在M、N点的电势能均小于在O点的电势能，C正确，D错误。
12.如图12所示，有a、b、c三点处在匀强电场中，ab＝5 cm，ac＝20 cm，其中ab与电场方向平行，ab与ac成θ＝120°角，一电子从a移到c静电力做了3.2×10－18 J的负功，已知元电荷e＝1.6×10－19 C。
图12
(1)求匀强电场的电场强度大小及方向；
(2)求电子从b移到c，静电力对它做的功；
(3)设a点电势φa＝0，则c点电势为多少？电子在b点的电势能为多少？
答案 (1)200 V/m 方向水平向右 (2)－4.8×10－18 J
(3)－20 V －1.6×10－18 J
解析 (1)电子从a移到c静电力做负功，所以电场强度方向水平向右
Wac＝－eE·ac·sin 30°
将ac＝20 cm＝0.2 m代入解得E＝200 V/m。
(2)电子从b移到c静电力做负功，有
Wbc＝Wba＋Wac
Wba＝－eE·ab
将ab＝5 cm＝0.05 m代入解得Wbc＝－4.8×10－18 J。
(3)根据Uac＝φa－φc＝E·ac·sin 30°
解得φc＝－20 V
同理可得b点的电势φb＝10 V
电子在b点的电势能为Epb＝－φbe
联立代入数据解得Epb＝－1.6×10－18 J。第2讲 电场能的性质
学习目标 1.知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的含义，掌握静电力做功与电势能变化的关系。 2.掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。 3.会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。
1.思考判断
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。( )
(3)静电力做功与路径无关。( )
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。( )
(5)由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关。( )
(6)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。( )
(7)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。( )
2.如图所示，实线为某电场的电场线，虚线为等势面，A、B为电场线上的两个点，下列判断正确的是( )
A.A点的电场强度比B点的电场强度小
B.A点电势比B点电势高
C.带正电的检验电荷从A点移动到B点电势能增加
D.带负电的检验电荷从A点移动到B点动能减少
考点一 静电力做功、电势能和电势
1.静电力做功
2.电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
静电力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
3.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，计算得到的值越大，电势能越大
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加
能量守恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
例1 (2023·湖北卷，3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是( )
A.若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B.若EM
D.若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM>EN
例2 (多选)(2023·江西模拟预测)如图1，实线为某电子显微镜中静电场中的等势面，A、B、C、D、E为电场中的5个点，下列说法正确的是( )
图1
A.C点电场强度垂直于该点所在的等势面，方向向右
B.A、B、C、D、E五个点中，C点的电场强度大小最大
C.一正电荷从A点移到E点，电势能增大
D.一电子从E点移到A点，静电力做正功
1.(多选)(2023·广东卷，9)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图2所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒，当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色，下列说法正确的有( )
图2
A.像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B.像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C.像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D.像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
考点二 电势差与电场强度的关系
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
(3)两个推论：①如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
②如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2.非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
例3 (多选)(2023·山西怀仁一中模拟)如图3所示的直角三角形，ac＝2ab、bc＝20 cm，d点为bc边上的点，已知∠cad＝∠dab，空间存在一平行于abc面的匀强电场。b点的离子源能向各个方向发射一系列的电子，电子的初动能为Ekb＝2 000 eV，其中到达a、c两点的电子动能分别为2 100 eV、1 900 eV，忽略电子间的相互作用。则下列说法正确的是( )
图3
A.a点的电势比b点的电势高100 V
B.匀强电场的电场强度大小为1 000 V/m
C.该电场的方向由a指向d
D.图中的虚线框内c点的电势最高
听课笔记
等分法及其应用
(1)等分法
如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。
(2)“等分法”的应用思路
2.(多选)(2023·河南高三校联考)如图4所示，半径为0.5 m的圆处在匀强电场中，电场线与圆所在的平面平行。AB和CD是圆的两个直径，O为圆心，两直径的夹角为60°。沿直线从A到B，每过1 cm电势降0.1 V，沿直线从C到D，每过1 cm电势降0.2 V，则下列判断正确的是( )
图4
A.B点电势比D点电势高
B.匀强电场的电场强度大小为20 V/m
C.电场方向与AB垂直
D.将一个带负电的粒子从C沿圆弧顺时针移动到D，电势能不断增大
3.如图5所示为电子束焊接机，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中的两点。K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是( )
图5
A.A、K之间的电场强度均为
B.B点电势大于C点电势
C.B点电场强度大于C点电场强度
D.电子由K到A电势能减少了eU
考点三 电场线、等势面及运动轨迹问题
例4 (多选)(2023·全国乙卷，19)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图6所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球( )
图6
A.在运动过程中，电势能先增加后减少
B.在P点的电势能大于在N点的电势能
C.在M点的机械能等于在N点的机械能
D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
听课笔记
例5 (2023·浙江高三校联考)如图7所示的5条虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子只在静电力作用下在电场中运动(轨迹未画出)，已知
电子经过等势面1时动能为5 eV，经过等势面4时动能为20 eV，等势面2的电势为＋3 V，下列说法正确的是( )
图7
A.电子从等势面1运动至等势面4过程电势能增加15 eV
B.等势面3的电势－6 V
C.电子经过等势面4时具有的电势能－13 eV
D.等势面3、5间的电势差为8 V
听课笔记
电场线与粒子运动轨迹的求解方法
(1)首先根据带电粒子运动轨迹弯曲的方向判断出受力的方向，带电粒子所受的电场力方向沿电场线指向运动轨迹的凹侧，再根据粒子的电性判断场强的方向。
(2)根据电场线的疏密，判断加速度大小的关系。
(3)带电粒子的轨迹的切线方向为该处的速度方向。
(4)根据电场力的方向与速度方向的夹角是锐角还是钝角判断电场力的做功情况。 (共60张PPT)
第2讲 电场能的性质
第八章 静电场
知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的含义，掌握静电力做功与电势能变化的关系。
掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。
会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
初始
qEd
qUAB
零势能
EpA－EpB
零电势
电势
不做功
强弱
φA－φB
定向移动
1.思考判断
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。( )
(3)静电力做功与路径无关。( )
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。( )
(5)由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关。( )
(6)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。( )
(7)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。( )
×
×
√
×
√
√
×
2.如图所示，实线为某电场的电场线，虚线为等势面，A、B为电场线上的两个点，下列判断正确的是( )
C
A.A点的电场强度比B点的电场强度小
B.A点电势比B点电势高
C.带正电的检验电荷从A点移动到B点电势能增加
D.带负电的检验电荷从A点移动到B点动能减少
研透核心考点
2
考点二 电势差与电场强度的关系
考点一 静电力做功、电势能和电势
考点三 电场线、等势面及运动轨迹问题
1.静电力做功
考点一 静电力做功、电势能和电势
2.电势高低的判断
3.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，计算得到的值越大，电势能越大
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加
能量守恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
C
例1 (2023·湖北卷，3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是( )
A.若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B.若EM
D.若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM>EN
解析 若φM>φN，根据沿着电场线的方向电势降低及正点电荷产生的电场特点可知，M点到电荷Q的距离比N点的近，故A错误；若EM
例2 (多选)(2023·江西模拟预测)如图1，实线为某电子显微镜中静电场中的等势面，A、B、C、D、E为电场中的5个点，下列说法正确的是( )
图1
A.C点电场强度垂直于该点所在的等势面，方向向右
B.A、B、C、D、E五个点中，C点的电场强度大小最大
C.一正电荷从A点移到E点，电势能增大
D.一电子从E点移到A点，静电力做正功
解析 C点电场强度垂直于该点所在的等势面，方向向左，故A错误；等差等势面的疏密程度表示电场强度的大小，所以A、B、C、D、E五个点中，C点的电场强度大小最大，故B正确；正电荷在电势高处电势能大，故C正确；电子从E点移到A点，静电力做负功，故D错误。
AC
1.(多选)(2023·广东卷，9)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图2所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒，当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色，下列说法正确的有( )
图2
A.像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B.像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C.像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D.像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
解析 像素呈黑色时，胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；像素呈白色时，胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，黑色微粒向下迁移，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力方向向上，位移方向向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力方向向上，位移方向向上，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
考点二 电势差与电场强度的关系
2.非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
AC
例3 (多选)(2023·山西怀仁一中模拟)如图3所示的直角三角形，ac＝2ab、bc＝20 cm，d点为bc边上的点，已知∠cad＝∠dab，空间存在一平行于abc面的匀强电场。b点的离子源能向各个方向发射一系列的电子，电子的初动能为Ekb＝2 000 eV，其中到达a、c两点的电子动能分别为2 100 eV、1 900 eV，忽略电子间的相互作用。则下列说法正确的是( )
图3
解析 由b到a由动能定理可得－eUba＝Eka－Ekb＝2 100 eV－2 000 eV，解得Uba＝－100 V，则a点的电势比b点的电势高100 V，A正确；由b到c由动能定理可得－eUbc＝Ekc－Ekb＝1 900 eV－2 000 eV，解得Ubc＝100 V，可知bc间的电势差为100 V，所以ac间的电势差为Uac＝100 V－(－100 V)＝200 V，则b点与ac中点电势相等，连接b点与ac中点即为等
等分法及其应用
ABD
2.(多选)(2023·河南高三校联考)如图4所示，半径为0.5 m的圆处在匀强电场中，电场线与圆所在的平面平行。AB和CD是圆的两个直径，O为圆心，两直径的夹角为60°。沿直线从A到B，每过1 cm电势降0.1 V，沿直线从C到D，每过1 cm电势降0.2 V，则下列判断正确的是( )
图4
A.B点电势比D点电势高
B.匀强电场的电场强度大小为20 V/m
C.电场方向与AB垂直
D.将一个带负电的粒子从C沿圆弧顺时针移动到D，电势能不断增大
3.如图5所示为电子束焊接机，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中的两点。K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是( )
图5
D
例4 (多选)(2023·全国乙卷，19)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图6所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球( )
考点三 电场线、等势面及运动轨迹问题
图6
A.在运动过程中，电势能先增加后减少
B.在P点的电势能大于在N点的电势能
C.在M点的机械能等于在N点的机械能
D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
BC
解析 画出O点处点电荷过M、N两点的等势面，如图所示，由图可知带负电的小球在运动过程中电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，A错误；距正点电荷越远，电势越低，则φN＞φP，根据电势能计算式Ep＝qφ，结合小球带负电可知EpN＜EpP，B正确；小球在运动过程中动能、重力势能、电势能的总和保持不变，M、N两点在正点电荷的同一等势面上，因此小球在M、N两点上的电势能相等，则小球在M、N两点上的机械能相等，C正确；结合小球运动方向与受力方向夹角变化可知，小球从M点运动到N点的过程中电场力先做正功后做负功，D错误。
C
例5 (2023·浙江高三校联考)如图7所示的5条虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子只在静电力作用下在电场中运动(轨迹未画出)，已知电子经过等势面1时动能为5 eV，经过等势面4时动能为20 eV，等势面2的电势为＋3 V，下列说法正确的是( )
图7
A.电子从等势面1运动至等势面4过程电势能增加15 eV
B.等势面3的电势－6 V
C.电子经过等势面4时具有的电势能－13 eV
D.等势面3、5间的电势差为8 V
电场线与粒子运动轨迹的求解方法
(1)首先根据带电粒子运动轨迹弯曲的方向判断出受力的方向，带电粒子所受的电场力方向沿电场线指向运动轨迹的凹侧，再根据粒子的电性判断场强的方向。
(2)根据电场线的疏密，判断加速度大小的关系。
(3)带电粒子的轨迹的切线方向为该处的速度方向。
(4)根据电场力的方向与速度方向的夹角是锐角还是钝角判断电场力的做功情况。
提升素养能力
3
B
对点练1 静电力做功、电势能和电势
1.(2023·湖南株洲一模)如图1，一对固定不动的等量异种点电荷的连线与其中垂线相交于O点，以O点为圆心的两个半径不等的圆，分别与中垂线交于e、f两点，与连线交于g、h两点，两圆的直径均小于两点电荷连线的长度，则( )
A级 基础对点练
图1
A.g点的电场强度大于h点的电场强度
B.g点的电势大于h点的电势
C.e点的电势大于f点的电势
D.将质子从e点移到g点与从f点移到h点静电力做功相等
解析 根据等量异种点电荷连线上电场强度分布规律可知，g点的电场强度小于h点的电场强度，故A错误；根据沿电场线方向电势降低，可知g点的电势大于h点的电势，故B正确；根据等量异种点电荷连线中垂线上各点电势相等，可知e点的电势等于f点的电势，故C错误；根据电势差定义式，可得Ueg＝φe－φg，Ufh＝φf－φh又φe＝φf，φg>φh，解得Ueg
2.(2024·广东中山高三检测)如图2所示，雷雨天带有负电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，电场的等差等势面a、b、c、d分布情况如图所示，在等势面中有A、B、C三点。下列说法中正确的是( )
图2
A.避雷针附近的电场是匀强电场
B.A点的电场强度比B点小
C.a、b、c、d等势面中a的电势最低
D.有一带负电的雨点从乌云中下落，静电力做正功
解析 匀强电场的等势线应是一簇平行线，由题图可知避雷针附近的电场不是匀强电场，故A错误；等差等势面越密集电场强度越大，所以A点的电场强度比B点大，故B错误；乌云带负电，则电场线终止于乌云，根据沿电场线方向电势降低可知a、b、c、d等势面中a的电势最高，故C错误；有一带负电的雨点从乌云中下落，雨点所受静电力方向与速度方向夹角小于90°，静电力做正功，故D正确。
D
3.(2024·河南洛阳期中)如图3所示，在直角坐标系xOy平面内存在一点电荷产生的电场，电场线的分布关于x轴对称，a、b、c、d是以O为圆心的圆周上的四个点，其中a、b在x轴上，d点在y轴上，则下列判断正确的是( )
图3
A.a、b、c、d各点的电势相等
B.d点的电场强度小于a点的电场强度
C.将一点电荷由a点移到c点，电势能减小
D.将一正点电荷由b点移到d点静电力做的功小于由b点移到c点静电力做的功
解析 沿电场线方向电势降低，由题图可知，a、b、c、d各点的电势不相等，故A错误；电场线越密电场强度越大，则d点的电场强度大于a点的电场强度，故B错误；将一点电荷由a点移到c点，由于不知道电性，故无法判断电势能变化，故C错误；由题图可知，bd间的电势差小于bc间的电势差，根据W＝qU可知，将一正点电荷由b点移到d点静电力做的功小于由b点移到c点静电力做的功，故D正确。
A
对点练2 电势差与电场强度的关系
4.(2023·河北保定高三一模)匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图4所示，AB＝AC。将电荷量为－4×10－6 C的点电荷从A点移到B点，静电力做功8×10－6 J，再把该电荷从B点移到C点，静电力做功－1.6×10－5 J，关于该电场的下列说法中正确的是( )
图4
A.A、B两点间的电势差UAB＝－2 V
B.若规定A点电势为0，则C点电势为2 V
C.电场强度的方向由B指向A
D.电场强度的方向由C指向B
解析 将电荷从A点移到B点，静电力做功为WAB＝qUAB，代入数据解得UAB＝－2 V，故A正确；把该电荷从B点移到C点，静电力做功为WBC＝qUBC，代入数据解得UBC＝4 V，若规定A点电势为0，而UAB＝－2 V＝φA－φB＝0－φB＝－φB，可得φB＝2 V，又UBC＝4 V＝φB－φC＝2 V－φC，解得φC＝－2 V，故B错误；因为该电场为匀强电场，且AB＝AC，则可知BC中点处的电势等于A点处的电势，而沿着电场线的方向电势降低，则可知电场线的方向为B到C，而匀强电场中，电场线的方向和电场强度的方向一致，则可知电场强度的方向为B指向C，故C、D错误。
D
5.如图5所示，以A、B、C、D为顶点的长方形处于一平行板电容器(图中未画出)形成的匀强电场中，长方形所在平面与两平行板垂直，AB的长度为8 cm，BC的长度为6 cm，D点距带正电荷的电容器极板的距离为20 cm。取无穷远处的电势为零，A、B、C三点的电势分别为9 V、25 V、16 V。则( )
图5
A.D点电势为32 V
B.D点电势为18 V
C.两平行板间的电势差为50 V
D.两平行板间的电势差为100 V
B
6.如图6是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是同一电场线上、以点O为圆心的圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
图6
A.O点电势与Q点电势相等
B.将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C.MO间的电势差等于ON间的电势差
D.在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
解析 过O点和Q点作电场的等势面，如图。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，静电力对电荷做正功，电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，由U＝Ed可得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。
CD
对点练3 电场线、等势面及运动轨迹问题
7.(多选)(2023·辽宁卷，9)图7(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
图7
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
解析 由题图可知M点靠近带负电的极杆，P点靠近带正电的极杆，又电势沿电场强度方向降低，则P点的电势比M点的电势高，A错误；等势面的疏密程度反映电场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面密，则M点的电场强度大，B错误；由对称性可知两带正电的极杆
在M点产生的电场强度方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加可知M点的电场强度方向沿z轴的正方向，C正确；由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变，D正确。
B
8.(2024·河北唐山高三统考)如图8所示，实线表示某电场等势面的分布情况，虚线表示该电场中一带电粒子的运动轨迹，A、B分别为带电粒子的轨迹与等势面e、b的交点。带电粒子的重力忽略不计。下列说法正确的是( )
图8
A.粒子带正电
B.粒子在A点受到的静电力小于粒子在B点受到的静电力
C.粒子在A点的电势能大于粒子在B点的电势能
D.粒子一定从A运动到B
解析 沿着电场线方向电势逐渐降低，电场线分布如图，曲线运动中合力方向指向弯曲方向，故带电粒子受力大致方向为向上，受力方向与电场方向相反，故粒子带负电，A错误；等势线间距越小(越密集)，电场
强度越大，故EB>EA，故粒子在A点受到的静电力与在B点受到的静电力满足FB>FA，故B正确；粒子带负电，A点电势高于B点，粒子从A点运动到B点，静电力做负功，电势能增大，故粒子在A点的电势能小于粒子在B点的电势能，故C错误；由于粒子初速度大小及方向题中未给出，粒子可能从A运动到B，静电力做负功，也可能从B运动到A，静电力做正功，故D错误。
AD
9.(多选)(2023·天津卷，8)如图9，在一个固定的正点电荷产生的电场中，一个正试探电荷q两次以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点、N点，且q在M、N点时的速度大小也相等，则下列说法正确的是( )
B级 综合提升练
图9
A.P点电势高于M点电势
B.M点电势高于N点电势
C.q从P点运动到M点一直做减速运动
D.M、N两点处的电场强度大小相等
解析 由题意可知正试探电荷q两次以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，分别到达M点和N点，且q在M、N点时的速度大小相等，则这两个过程中试探电荷动能的变化量相等，即电场力做的功相等，由W＝qU可知，P、M两点的电势差和P、N两点的电势差相等，故M、N两点的电势相等，B错误；由图可知，正试探电荷q从P点运动到N点的轨迹向右弯曲，则可以判断出试探电荷q在P点受到的电场力方向向右，又根据正试探电荷q从P点运动到M
C
10.(2024·广东深圳模拟)如图10所示，在匀强电场中的O点固定一点电荷＋Q，a、b、c、d、e、f为以O点为球心的同一球面上的点，aecf平面与电场线平行，bedf平面与电场线垂直，下列判断中正确的是( )
图10
A.a、c两点电势相等
B.b、d两点的电场强度相同
C.将点电荷＋q从球面上d点移到e点，静电力做功为零
D.将点电荷＋q从球面上b点移到c点，静电力做功为零
解析 根据点电荷形成的电场可知，a、b、c三点距离点电荷的距离相等，可知电势相同，但a、b、c三点又同时处在匀强电场中，而沿着电场线的方向电势降低，根据电势叠加原理可知φa>φb>φc，因此将点电荷＋q从球面上b点移到c点，静电力做正功，A、D错误；根据电场强度的叠加原理可知，b、d两点的电场强度大小相同，方向不同，B错误；bedf平面与电场线垂直，若只有匀强电场，则可知平面bedf为等势面，又d、e两点又位于点电荷所在的球面上，若只有该点电荷，则可知d、e两点所在的球面为等势面，所以在该复合电场中，d、e两点电势仍然相等，因此将点电荷＋q从球面上d点移到e点，静电力做功为零，C正确。
BC
11.(多选)(2023·海南卷，12)如图11所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
图11
A.M、N两点电场强度相同
B.M、N两点电势相同
C.负电荷在M点的电势能比在O点时要小
D.负电荷在N点的电势能比在O点时要大
解析 根据电场强度叠加原理可知，M、N两点电场强度的大小相等，方向不同，A错误；M、N两点在A、B的电场中位于同一等势面上，且比O点电势要高，同时M、N两点在C的电场中也是位于同一等势面上，也比O点电势要高，所以M、N两点位于同一等势面上，电势相等，B正确；由于M、N点电势均高于O点电势，根据Ep＝qφ可知，负电荷在M、N点的电势能均小于在O点的电势能，C正确，D错误。
12.如图12所示，有a、b、c三点处在匀强电场中，ab＝5 cm，ac＝20 cm，其中ab与电场方向平行，ab与ac成θ＝120°角，一电子从a移到c静电力做了3.2×10－18 J的负功，已知元电荷e＝1.6×10－19 C。
图12
(1)求匀强电场的电场强度大小及方向；
(2)求电子从b移到c，静电力对它做的功；
(3)设a点电势φa＝0，则c点电势为多少？电子在b点的电势能为多少？
答案 (1)200 V/m 方向水平向右 (2)－4.8×10－18 J (3)－20 V －1.6×10－18 J
解析 (1)电子从a移到c静电力做负功，所以电场强度方向水平向右
Wac＝－eE·ac·sin 30°
将ac＝20 cm＝0.2 m代入解得E＝200 V/m。
(2)电子从b移到c静电力做负功，有
Wbc＝Wba＋Wac
Wba＝－eE·ab
将ab＝5 cm＝0.05 m代入解得Wbc＝－4.8×10－18 J。
(3)根据Uac＝φa－φc＝E·ac·sin 30°
解得φc＝－20 V
同理可得b点的电势φb＝10 V
电子在b点的电势能为Epb＝－φbe
联立代入数据解得Epb＝－1.6×10－18 J。
本节内容结束
THANKS 第2练 电场能的性质
A级 基础对点练
对点练1 静电力做功、电势能和电势
1.(2023·湖南株洲一模)如图1，一对固定不动的等量异种点电荷的连线与其中垂线相交于O点，以O点为圆心的两个半径不等的圆，分别与中垂线交于e、f两点，与连线交于g、h两点，两圆的直径均小于两点电荷连线的长度，则( )
图1
A.g点的电场强度大于h点的电场强度
B.g点的电势大于h点的电势
C.e点的电势大于f点的电势
D.将质子从e点移到g点与从f点移到h点静电力做功相等
2.(2024·广东中山高三检测)如图2所示，雷雨天带有负电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，电场的等差等势面a、b、c、d分布情况如图所示，在等势面中有A、B、C三点。下列说法中正确的是( )
图2
A.避雷针附近的电场是匀强电场
B.A点的电场强度比B点小
C.a、b、c、d等势面中a的电势最低
D.有一带负电的雨点从乌云中下落，静电力做正功
3.(2024·河南洛阳期中)如图3所示，在直角坐标系xOy平面内存在一点电荷产生的电场，电场线的分布关于x轴对称，a、b、c、d是以O为圆心的圆周上的四个点，其中a、b在x轴上，d点在y轴上，则下列判断正确的是( )
图3
A.a、b、c、d各点的电势相等
B.d点的电场强度小于a点的电场强度
C.将一点电荷由a点移到c点，电势能减小
D.将一正点电荷由b点移到d点静电力做的功小于由b点移到c点静电力做的功
对点练2 电势差与电场强度的关系
4.(2023·河北保定高三一模)匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图4所示，AB＝AC。将电荷量为－4×10－6 C的点电荷从A点移到B点，静电力做功8×10－6 J，再把该电荷从B点移到C点，静电力做功－1.6×10－5 J，关于该电场的下列说法中正确的是( )
图4
A.A、B两点间的电势差UAB＝－2 V
B.若规定A点电势为0，则C点电势为2 V
C.电场强度的方向由B指向A
D.电场强度的方向由C指向B
5.如图5所示，以A、B、C、D为顶点的长方形处于一平行板电容器(图中未画出)形成的匀强电场中，长方形所在平面与两平行板垂直，AB的长度为8 cm，BC的长度为6 cm，D点距带正电荷的电容器极板的距离为20 cm。取无穷远处的电势为零，A、B、C三点的电势分别为9 V、25 V、16 V。则( )
图5
A.D点电势为32 V
B.D点电势为18 V
C.两平行板间的电势差为50 V
D.两平行板间的电势差为100 V
6.如图6是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是同一电场线上、以点O为圆心的圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
图6
A.O点电势与Q点电势相等
B.将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C.MO间的电势差等于ON间的电势差
D.在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
对点练3 电场线、等势面及运动轨迹问题
7.(多选)(2023·辽宁卷，9)图7(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
图7
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
8.(2024·河北唐山高三统考)如图8所示，实线表示某电场等势面的分布情况，虚线表示该电场中一带电粒子的运动轨迹，A、B分别为带电粒子的轨迹与等势面e、b的交点。带电粒子的重力忽略不计。下列说法正确的是( )
图8
A.粒子带正电
B.粒子在A点受到的静电力小于粒子在B点受到的静电力
C.粒子在A点的电势能大于粒子在B点的电势能
D.粒子一定从A运动到B
B级 综合提升练
9.(多选)(2023·天津卷，8)如图9，在一个固定的正点电荷产生的电场中，一个正试探电荷q两次以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点、N点，且q在M、N点时的速度大小也相等，则下列说法正确的是( )
图9
A.P点电势高于M点电势
B.M点电势高于N点电势
C.q从P点运动到M点一直做减速运动
D.M、N两点处的电场强度大小相等
10.(2024·广东深圳模拟)如图10所示，在匀强电场中的O点固定一点电荷＋Q，a、b、c、d、e、f为以O点为球心的同一球面上的点，aecf平面与电场线平行，bedf平面与电场线垂直，下列判断中正确的是( )
图10
A.a、c两点电势相等
B.b、d两点的电场强度相同
C.将点电荷＋q从球面上d点移到e点，静电力做功为零
D.将点电荷＋q从球面上b点移到c点，静电力做功为零
11.(多选)(2023·海南卷，12)如图11所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
图11
A.M、N两点电场强度相同
B.M、N两点电势相同
C.负电荷在M点的电势能比在O点时要小
D.负电荷在N点的电势能比在O点时要大
12.如图12所示，有a、b、c三点处在匀强电场中，ab＝5 cm，ac＝20 cm，其中ab与电场方向平行，ab与ac成θ＝120°角，一电子从a移到c静电力做了3.2×10－18 J的负功，已知元电荷e＝1.6×10－19 C。
图12
(1)求匀强电场的电场强度大小及方向；
(2)求电子从b移到c，静电力对它做的功；
(3)设a点电势φa＝0，则c点电势为多少？电子在b点的电势能为多少？
第2练 电场能的性质
1.B [根据等量异种点电荷连线上电场强度分布规律可知，g点的电场强度小于h点的电场强度，故A错误；根据沿电场线方向电势降低，可知g点的电势大于h点的电势，故B正确；根据等量异种点电荷连线中垂线上各点电势相等，可知e点的电势等于f点的电势，故C错误；根据电势差定义式，可得Ueg＝φe－φg，Ufh＝φf－φh又φe＝φf，φg>φh，解得Ueg
3.D [沿电场线方向电势降低，由题图可知，a、b、c、d各点的电势不相等，故A错误；电场线越密电场强度越大，则d点的电场强度大于a点的电场强度，故B错误；将一点电荷由a点移到c点，由于不知道电性，故无法判断电势能变化，故C错误；由题图可知，bd间的电势差小于bc间的电势差，根据W＝qU可知，将一正点电荷由b点移到d点静电力做的功小于由b点移到c点静电力做的功，故D正确。]
4.A [将电荷从A点移到B点，静电力做功为WAB＝qUAB，代入数据解得UAB＝－2 V，故A正确；把该电荷从B点移到C点，静电力做功为WBC＝qUBC，代入数据解得UBC＝4 V，若规定A点电势为0，而UAB＝－2 V＝φA－φB＝0－φB＝－φB，可得φB＝2 V，又UBC＝4 V＝φB－φC＝2 V－φC，解得φC＝－2 V，故B错误；因为该电场为匀强电场，且AB＝AC，则可知BC中点处的电势等于A点处的电势，而沿着电场线的方向电势降低，则可知电场线的方向为B到C，而匀强电场中，电场线的方向和电场强度的方向一致，则可知电场强度的方向为B指向C，故C、D错误。]
5.D [在匀强电场中，平行且相等的两线段电势差相等，可得φB－φA＝φC－φD，代入数据可得φD＝0，故A、B错误；如图所示，将CD分为8等分，则每一等分对应1 cm，所以F点的电势为9 V，连接AF，过D点作AF的垂线DG，由几何关系可得DG＝，解得DG＝3.6 cm，所以电场强度的大小为E＝，解得E＝250 V/m，又因为D点的电势为0，且D点距正极板的距离为20 cm，由对称性可知，两极板间的距离为40 cm，所以两极板间的电势差为U＝Ed＝100 V，故D正确，C错误。]
6.B [过O点和Q点作电场的等势面，如图。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，静电力对电荷做正功，电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，由U＝Ed可得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。]
7.CD [由题图可知M点靠近带负电的极杆，P点靠近带正电的极杆，又电势沿电场强度方向降低，则P点的电势比M点的电势高，A错误；等势面的疏密程度反映电场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面密，则M点的电场强度大，B错误；由对称性可知两带正电的极杆在M点产生的电场强度方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加可知M点的电场强度方向沿z轴的正方向，C正确；由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变，D正确。]
8.B [沿着电场线方向电势逐渐降低，电场线分布如图，曲线运动中合力方向指向弯曲方向，故带电粒子受力大致方向为向上，受力方向与电场方向相反，故粒子带负电，A错误；等势线间距越小(越密集)，电场强度越大，故EB>EA，故粒子在A点受到的静电力与在B点受到的静电力满足FB>FA，故B正确；粒子带负电，A点电势高于B点，粒子从A点运动到B点，静电力做负功，电势能增大，故粒子在A点的电势能小于粒子在B点的电势能，故C错误；由于粒子初速度大小及方向题中未给出，粒子可能从A运动到B，静电力做负功，也可能从B运动到A，静电力做正功，故D错误。]
9.AD [由题意可知正试探电荷q两次以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，分别到达M点和N点，且q在M、N点时的速度大小相等，则这两个过程中试探电荷动能的变化量相等，即电场力做的功相等，由W＝qU可知，P、M两点的电势差和P、N两点的电势差相等，故M、N两点的电势相等，B错误；由图可知，正试探电荷q从P点运动到N点的轨迹向右弯曲，则可以判断出试探电荷q在P点受到的电场力方向向右，又根据正试探电荷q从P点运动到M点的轨迹为直线可判断出q从P点到M点，其所受的电场力沿PM方向，所以q从P点到M点一直做加速运动，电场力一直做正功，P点电势高于M点电势，A正确，C错误；由于M、N两点的电势相等，则M、N两点在同一等势面上，又点电荷产生的电场中，等势面是一系列的同心球面，所以M、N两点到固定正点电荷的距离相等，由点电荷的场强公式E＝可知，M、N两点处的电场强度大小相等，D正确。]
10.C [根据点电荷形成的电场可知，a、b、c三点距离点电荷的距离相等，可知电势相同，但a、b、c三点又同时处在匀强电场中，而沿着电场线的方向电势降低，根据电势叠加原理可知φa>φb>φc，因此将点电荷＋q从球面上b点移到c点，静电力做正功，A、D错误；根据电场强度的叠加原理可知，b、d两点的电场强度大小相同，方向不同，B错误；bedf平面与电场线垂直，若只有匀强电场，则可知平面bedf为等势面，又d、e两点又位于点电荷所在的球面上，若只有该点电荷，则可知d、e两点所在的球面为等势面，所以在该复合电场中，d、e两点电势仍然相等，因此将点电荷＋q从球面上d点移到e点，静电力做功为零，C正确。]
11.BC [根据电场强度叠加原理可知，M、N两点电场强度的大小相等，方向不同，A错误；M、N两点在A、B的电场中位于同一等势面上，且比O点电势要高，同时M、N两点在C的电场中也是位于同一等势面上，也比O点电势要高，所以M、N两点位于同一等势面上，电势相等，B正确；由于M、N点电势均高于O点电势，根据Ep＝qφ可知，负电荷在M、N点的电势能均小于在O点的电势能，C正确，D错误。]
12.(1)200 V/m 方向水平向右 (2)－4.8×10－18 J (3)－20 V －1.6×10－18 J
解析 (1)电子从a移到c静电力做负功，所以电场强度方向水平向右Wac＝－eE·ac·sin 30°
将ac＝20 cm＝0.2 m代入解得E＝200 V/m。
(2)电子从b移到c静电力做负功，有Wbc＝Wba＋Wac
Wba＝－eE·ab
将ab＝5 cm＝0.05 m代入解得Wbc＝－4.8×10－18 J。
(3)根据Uac＝φa－φc＝E·ac·sin 30°
解得φc＝－20 V
同理可得b点的电势φb＝10 V
电子在b点的电势能为Epb＝－φbe
联立代入数据解得Epb＝－1.6×10－18 J。
