专题强化十四 电场中的功能关系及图像问题
学习目标 1.会分析处理电场中的功能关系。 2.理解电场中有关图像的斜率、面积等表示的物理意义，并能结合图像分析电场、电势和电势能的变化。
考点一 电场中的功能关系
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者之和保持不变，
即ΔEk＝－ΔEp。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
例1 如图1所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J。下列说法中正确的是( )
图1
A.粒子带负电
B.粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C.粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D.粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
答案 D
解析 由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中静电力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J，C错误；静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J，D正确。
1.(多选)如图2所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止。现撤去F，小球沿竖直方向运动，在小球由释放到刚离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时的速度为v，不计空气阻力，则上述过程中下列说法正确的是( )
图2
A.小球的重力势能增加－W1
B.小球的电势能增加W2
C.小球与弹簧组成的系统的机械能增加W2
D.撤去F前弹簧的弹性势能为mv2－W1－W2
答案 ACD
解析 根据重力做功与重力势能变化关系可得WG＝W1＝－ΔEp重，小球上升过程重力做负功，小球的重力势能增加了－W1，故A正确；根据电场力做功与电势能变化关系可得W电＝W2＝－ΔEp电，带正电小球上升过程电场力做正功，小球的电势能减少了W2，故B错误；小球与弹簧组成的系统，在小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，由于电场力对小球做正功，大小为W2，小球与弹簧组成的系统机械能增加了W2，故C正确；在小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，根据能量守恒定律可知，减少的弹性势能与减少的电势能之和等于增加的重力势能与增加的动能之和，则有W2＋Ep弹＝－W1＋mv2，解得撤去F前弹簧的弹性势能为Ep弹＝mv2－W1－W2，故D正确。
考点二 电场中的图像问题
角度 电场中的v－t图像
1.由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。
2.根据牛顿第二定律a＝＝，判断电场强度E的大小变化。
3.根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向。
4.由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。
例2 (2024·重庆市八中检测)两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图3甲所示，一个电荷量为2×10－5 C、质量为1 g的小物块从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是( )
图3
A.小物块带负电
B.A、B两点间的电势差UAB＝500 V
C.小物块由C点到A点电势能先减小再增大
D.B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100 V/m
答案 D
解析 根据物块运动的v－t图像可知，小物块带正电，A错误；由v－t图像可知，A、B两点的速度分别为vA＝6 m/s、vB＝4 m/s，再根据动能定理得qUAB＝mv－mv，解得UAB＝－500 V，B错误；从v－t图像可知，由C到A的过程中，物块的速度一直增大，静电力对物块一直做正功，电势能一直减小，C错误；带电粒子在B点的加速度最大，为am＝ m/s2＝2 m/s2，所受的静电力最大为Fm＝mam＝0.001×2 N＝0.002 N，则电场强度最大值为Em＝＝ N/C＝100 V/m，D正确。
角度 电场中的φ－x图像
1.电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。
2.在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图)。
3.电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图。
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图。
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图。
例3 在x轴上分别固定两个点电荷Q1、Q2，Q2位于坐标原点O处。两点电荷形成的静电场中，x轴正半轴上的电势φ随x变化的图像如图4所示。下列说法正确的是( )
图4
A.x3处电势φ最高，电场强度最大
B.Q1带负电，Q2带正电
C.Q1的电荷量小于Q2的电荷量
D.电子从x1处沿x轴移动到x2处，电势能增加
答案 D
解析 根据E＝，可知φ－x图像的斜率表示电场强度，x3处电势φ最高，电场强度为零，A错误；由图可知，x→0时，φ→－∞，说明Q2带负电，而在整个空间存在φ>0的区域，说明Q1带正电，B错误；在x3处电场强度为零，说明两个点电荷在该处电场强度大小相等，方向相反，根据E＝k可知Q1的电荷量大于Q2的电荷量，C错误；电子从x1处沿x轴移动到x2处，电场力对电子做负功，电势能增加，D正确。
2.(2024·安徽马鞍山模拟)在x轴上坐标为－3L和3L的两点固定电荷量不等的两点电荷，坐标为3L处电荷带正电，电荷量大小为Q。两点电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图5所示，其中x＝L处电势最低，x轴上M、N两点的横坐标分别为－2L和2L，则( )
图5
A.两点电荷为异种电荷
B.坐标为－3L处电荷的电荷量大小为2Q
C.负检验电荷在原点O处受到向左的静电力
D.负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先减小后增大
答案 C
解析 正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负，因此由图可知，两点电荷均为正电荷，故A错误；在x＝L处电势最低，此处图线的斜率为0，即该点的合电场强度为0，设坐标为－3L处电荷的电荷量大小为Q′，－＝0，得Q′＝4Q，故原点处的电场强度大小为－＝，方向向右，负检验电荷在原点O处受到的静电力向左，故B错误，C正确；由M点到N点电势先减小后增大，所以负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先增大后减小，故D错误。
角度 电场中的 E－x图像
1.反映了电场强度随位移变化的规律。
2.判定电场强度E的方向：E＞0表示电场强度沿正方向；E＜0表示电场强度沿负方向。
3.图线与x轴围成的“面积”表示两点间电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
4.电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图。
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图。
例4 某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和x轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图6所示，其中x1～x3间的图线关于x2点中心对称，规定x2点为电势零点，已知x2＝2x1＝2d，将一带电荷量为＋q的粒子从坐标原点由静止释放，不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到x3点的过程，下列说法正确的是( )
图6
A.释放后粒子的加速度先不变后减小
B.粒子到达x3点时的动能为qdE0
C.粒子经过的位置中O点电势一定最大
D.粒子在x1和x3处速度达到最大值
答案 C
解析 O～x1间，电场强度沿x轴正方向且大小不变，又粒子带正电，故粒子沿x轴正方向做匀加速直线运动；x1～x2间，电场强度沿x轴正方向，且大小逐渐减小，故粒子沿x轴正方向做加速度减小的加速运动；x2～x3间，电场强度沿x轴负方向，且大小逐渐增大，故粒子沿x轴正方向做加速度增大的减速运动，故A、D错误；x1～x3间的图线关于x2点中心对称，则x1～x2间电场力对粒子做的正功数值上等于x2～x3间电场力对粒子做的负功，粒子到达x3时的动能等于粒子到达x1时的动能，即Ek＝qdE0，故B错误；由题意知x2点的电势为0，有φx1＝－φx3，φx1<φO，可知O点的电势最大，故C正确。
3.(多选)如图7甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为xB＝0.06 m，若α粒子仅在静电力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15 V，下列说法正确的是( )
图7
A.x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向
B.该α粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C.B点电势是A点电势的3倍
D.图乙中E0应为2.5×103 V·m－1
答案 AC
解析 α粒子由A点运动到B点，静电力做功为WAB＝2eUAB＝－60 eV，解得UAB＝－30 V，因为φA＝15 V，所以φB＝45 V，B点电势是A点电势的3倍，因为B点电势高于A点电势，所以电场强度的方向沿x轴负方向，故A、C正确；图乙中电场强度随位移x均匀变化，静电力为变力，所以α粒子沿x轴正方向做变减速直线运动，故B错误；图乙中图像与横轴所围的面积表示A、B两点间的电势差的大小，则E0＝2.5×102 V·m－1，故D错误。
角度 电场中的Ep－x图像、Ek－x图像
1.Ep－x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。
2.Ek－x图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，斜率表示静电力。
例5 (多选)在匀强电场中，一电子从原点O由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图8所示，则( )
图8
A.电场强度方向沿x轴正方向
B.电场强度大小为2.5 N/C
C.x＝5 m处的电势为0
D.电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，动能增加了8 eV
答案 CD
解析 根据电场力做功与电势能的变化关系可知，带负电粒子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，电势能减小，则电场力做正功，因此电场强度方向沿 x轴负方向，故A错误；由题图可知，电势能的变化率不变，所以负电荷受到的电场力不变，则知该电场为匀强电场，根据公式W＝qEx可知，电场强度E＝＝＝2 N/C，故B错误；由图可知，x＝5 m处的电势能Ep为零，根据公式Ep＝qφ可知，x＝5 m处的电势φ＝＝0，故C正确；电子
从原点O运动到x＝4 m处的过程中，只有电场力做功，电势能减小了8 eV，则动能增加了8 eV，故D正确。
例6 (多选)如图9甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
图9
A.带电粒子与场源电荷带异种电荷
B.a点电势比b点电势高
C.a点场强比b点场强大
D.带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
答案 CD
解析 粒子从a点向b点运动，Ek－x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点场强比b点场强大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确。
A级 基础对点练
对点练1 电场中的功能关系
1.如图1所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB＝2v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为( )
图1
A. B.
C. D.
答案 C
解析 粒子在竖直方向做匀减速直线运动，则有v＝2gh，电场力做正功，重力做负功，使粒子的动能由mv变为2mv，则根据动能定理，有qU－mgh＝2mv－mv，解得A、B两点电势差应为U＝，故C正确。
2.(多选)如图2所示，在水平向右的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿绝缘斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了10 J，金属块克服摩擦力做功5 J，重力做功20 J，则以下判断正确的是( )
图2
A.电场力做功5 J
B.合力做功15 J
C.金属块的机械能减少10 J
D.金属块的电势能增加5 J
答案 CD
解析 根据动能定理W合＝WG＋Wf＋WF＝ΔEk，则合力做功为W合＝ΔEk＝10 J，故B错误；重力做正功WG＝20 J，摩擦力做负功Wf＝－5 J，故电场力做功WF＝－5 J，即电场力做功－5 J，电势能增加5 J，故A错误，D正确；除重力外电场力与摩擦力做的总功为－10 J，机械能减少10 J，故C正确。
3.(多选)(2024·河南开封高三联考)如图3所示，方向竖直向上的匀强电场中，将两个带等量异种电荷且质量相同的小球A、B，从同一高度以不同速度水平向右抛出，最终以相同速率落到水平地面上，运动轨迹如图。两球之间的静电力和空气阻力均不考虑，以地面为参考平面，且电势为零，则( )
图3
A.A小球带正电，B小球带负电
B.在运动过程中，两小球的加速度大小相等
C.在运动过程中，两小球的机械能均守恒
D.两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等
答案 AD
解析 以相同的速率落到水平地面上，A球水平位移大于B球水平位移，只有A小球带正电，B小球带负电，落地时A球的水平速度大于B球水平速度，A球的竖直速度小于B球的竖直速度一种可能，A正确；在运动过程中，A球加速度小于g，B球加速度大于g，两小球的加速度大小不相等，B错误；因为有电场力做功，两小球的机械能不守恒，C错误；落地前瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，从抛出点到地面，只有电场力和重力对小球做功，两小球的机械能和电势能之和不变，所以两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，D正确。
4.(多选)如图4所示，竖直平面内有a、b、c三个点，b点在a点正下方，b、c连线水平。第一次，将一质量为m的小球从a点以初动能Ek0水平抛出，经过c点时，小球的动能为5Ek0；第二次，使此小球带正电，电荷量为q，同时加一方向平行于abc所在平面、电场强度大小为的匀强电场，仍从a点以初动能Ek0沿某一方向抛出小球，小球经过c点时的动能为13Ek0。下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度大小为g)( )
图4
A.a、b两点间的距离为
B.a、b两点间的距离为
C.a、c两点间的电势差为
D.a、c两点间的电势差为
答案 BC
解析 不加电场时根据动能定理得mghab＝5Ek0－Ek0＝4Ek0，解得hab＝，故A错误，B正确；加电场时，根据动能定理得mghab＋qUac＝13Ek0－Ek0，解得Uac＝，故C正确，D错误。
对点练2 电场中的图像问题
5.(2024·北京人大附中阶段检测)一带正电粒子仅在电场力作用下沿直线运动，其速度随时间变化的图像如图5乙所示。tA、tB时刻粒子分别经过A点和B点(如图甲所示)，A、B两点的场强大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB，则可以判断( )
图5
A.EA
C.φA＝φB D.φA<φB
答案 B
解析 由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点运动过程中，加速度逐渐减小。根据牛顿第二定律F＝ma可知电场力F逐渐减小。结合F＝qE可知，从A点到B电场强度逐渐减小，即EA>EB，选项A错误，B正确；由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点一直做加速运动，说明电场力方向从A指向B，所以场强方向从A指向B，又由沿电场线方向电势降低，可知φA>φB，选项C、D错误。
6.(多选)(2024·海南一模)在x轴上0～x0范围内，存在沿x轴正方向的电场，其电势φ随x的变化规律如图6所示。现将一质量为m、带电荷量为q的粒子自O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下沿x轴做加速运动，从x0处离开电场，下列说法正确的是( )
图6
A.粒子的电势能减小了qφ0
B.粒子离开电场时的动能为2qφ0
C.粒子在电场中运动的时间为x0
D.粒子离开电场时的速度大小为
答案 AD
解析 粒子做加速运动，电场力做正功，根据动能定理可得W＝qφ0＝Ek－0，又ΔEp＝－W＝－qφ0，可知粒子的电势能减小了qφ0，粒子离开电场时的动能为qφ0，故A正确，B错误；φ－x图像的斜率表示电场强度，所以粒子在电场中做匀加速直线运动，有x0＝at2，a＝＝，联立解得t＝x0，故C错误；根据动能定理有qφ0＝mv2，解得v＝，故D正确。
7.(多选)(2024·四川巴中模拟)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图7所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是( )
图7
答案 BD
解析 带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则电场力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；电场力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；由Ek－x图像斜率大小代表电场力大小，斜率正负代表电场力方向，由图可知，场强先减小后增大，方向一直为正方向，电场力F＝qE，先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x轴变化一致，B正确；由能量守恒定律有E0＝Ek＋Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。
8.(2023·北京北师大实验中学高三检测)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图8所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )
图8
A.x1处电场强度最小，但不为零
B.粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
C.若x1、x3处电势为φ1、φ3，则φ1<φ3
D.x2～x3段的电场强度大小、方向均不变
答案 D
解析 Ep－x图像的斜率表示粒子所受静电力F，根据F＝qE可知x1处电场强度最小且为零，选项A错误；粒子在0～x2段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，做变速运动，x2～x3段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从x1到x3的过程中电势能增加，说明电势降低，即φ1>φ3，选项C错误；x2～x3段斜率不变，所以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确。
B级 综合提升练
9.(多选)如图9所示，在空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C。在由A运动到C的过程中(空气阻力不计)，则( )
图9
A.物块机械能减少
B.物块和弹簧组成的系统机械能减少
C.物块在B点的速度最大
D.对于系统，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和
答案 BD
解析 质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，根据牛顿第二定律F电＝mg－ma＝mg，以C点为重力势能零势能面，则物块在A点机械能E＝mg(H＋h)，物块在C点机械能为零，则物块由A运动到C的过程中，物块机械能减少ΔE＝mg(H＋h)，故A错误；根据题意可知，物块由A运动到C的过程中，物块和弹簧组成的系统机械能减少量等于克服电场力做功ΔE＝－W电＝F电(H＋h)＝mg(H＋h)，故B正确；物块由A运动到C的过程中，下落到B点时，物块受电场力和重力，则加速度仍为g，方向向下，物块继续加速，则物块在B点的速度不是最大，故C错误；对于系统，能量守恒，根据能量守恒定律可知，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和，故D正确。
10.(多选)(2024·贵州贵阳市第一中学月考)如图10所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，所形成静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是( )
图10
A.a、c两点的电场强度相同
B.q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍
C.将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零
D.将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
答案 BC
解析 φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场强度方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。
C级 培优加强练
11.(2023·黑龙江省高三检测)如图11所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C为最低点，圆心角∠BOC＝37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R，整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于轨道所在的平面且垂直于直线OD，现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，电场强度大小E＝，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力。求：
图11
(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；
(2)小物块第一次从D点飞出后上升的最大高度；
(3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程。
答案 (1)10.8mg (2)1.2R (3)15R
解析 (1)由几何关系知，轨道AB与水平面的夹角为37°，小物块从A点第一次到C点的过程，由动能定理知
(qE＋mg)(Lsin 37°＋R－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)·Lcos 37°＝mv－0
在C点由牛顿第二定律知
FN－qE－mg＝m
联立解得FN＝10.8mg
由牛顿第三定律知此时小物块对轨道的压力大小为10.8mg。
(2)小物块从A第一次到D的过程，由动能定理知(qE＋mg)(Lsin 37°－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)·Lcos 37°＝mv－0
小物块第一次到达D点后以速度vD1逆着电场线方向做匀减速直线运动
由动能定理知－(qE＋mg)xmax＝0－mv
联立解得xmax＝1.2R。
(3)分析可知小物块到达B点的速度为零后，小物块就在圆弧轨道上做往复圆周运动
由功能关系知(qE＋mg)Lsin 37°＝μ(qE＋mg)·dcos 37°，解得d＝15R。专题强化十四 电场中的功能关系及图像问题
学习目标 1.会分析处理电场中的功能关系。 2.理解电场中有关图像的斜率、面积等表示的物理意义，并能结合图像分析电场、电势和电势能的变化。
考点一 电场中的功能关系
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者之和保持不变，即ΔEk＝－ΔEp。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
例1 如图1所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J。下列说法中正确的是( )
图1
A.粒子带负电
B.粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C.粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D.粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
听课笔记
1.(多选)如图2所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止。现撤去F，小球沿竖直方向运动，在小球由释放到刚离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和
W2，小球离开弹簧时的速度为v，不计空气阻力，则上述过程中下列说法正确的是( )
图2
A.小球的重力势能增加－W1
B.小球的电势能增加W2
C.小球与弹簧组成的系统的机械能增加W2
D.撤去F前弹簧的弹性势能为mv2－W1－W2
考点二 电场中的图像问题
角度 电场中的v－t图像
1.由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。
2.根据牛顿第二定律a＝＝，判断电场强度E的大小变化。
3.根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向。
4.由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。
例2 (2024·重庆市八中检测)两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图3甲所示，一个电荷量为2×10－5 C、质量为1 g的小物块从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是( )
图3
A.小物块带负电
B.A、B两点间的电势差UAB＝500 V
C.小物块由C点到A点电势能先减小再增大
D.B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100 V/m
听课笔记
角度 电场中的φ－x图像
1.电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。
2.在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图)。
3.电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图。
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图。
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图。
例3 在x轴上分别固定两个点电荷Q1、Q2，Q2位于坐标原点O处。两点电荷形成的静电场中，x轴正半轴上的电势φ随x变化的图像如图4所示。下列说法正确的是( )
图4
A.x3处电势φ最高，电场强度最大
B.Q1带负电，Q2带正电
C.Q1的电荷量小于Q2的电荷量
D.电子从x1处沿x轴移动到x2处，电势能增加
听课笔记
2.(2024·安徽马鞍山模拟)在x轴上坐标为－3L和3L的两点固定电荷量不等的两点电荷，坐标为3L处电荷带正电，电荷量大小为Q。两点电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图5所示，其中x＝L处电势最低，x轴上M、N两点的横坐标分别为－2L和2L，则( )
图5
A.两点电荷为异种电荷
B.坐标为－3L处电荷的电荷量大小为2Q
C.负检验电荷在原点O处受到向左的静电力
D.负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先减小后增大
角度 电场中的 E－x图像
1.反映了电场强度随位移变化的规律。
2.判定电场强度E的方向：E＞0表示电场强度沿正方向；E＜0表示电场强度沿负方向。
3.图线与x轴围成的“面积”表示两点间电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
4.电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图。
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图。
例4 某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和x轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图6所示，其中x1～x3间的图线关于x2点中心对称，规定x2点为电势零点，已知x2＝2x1＝2d，将一带电荷量为＋q的粒子从坐标原点由静止释放，不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到x3点的过程，下列说法正确的是( )
图6
A.释放后粒子的加速度先不变后减小
B.粒子到达x3点时的动能为qdE0
C.粒子经过的位置中O点电势一定最大
D.粒子在x1和x3处速度达到最大值
听课笔记
3.(多选)如图7甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为xB＝0.06 m，若α粒子仅在静电力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15 V，下列说法正确的是( )
图7
A.x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向
B.该α粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C.B点电势是A点电势的3倍
D.图乙中E0应为2.5×103 V·m－1
角度 电场中的Ep－x图像、Ek－x图像
1.Ep－x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。
2.Ek－x图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，斜率表示静电力。
例5 (多选)在匀强电场中，一电子从原点O由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图8所示，则( )
图8
A.电场强度方向沿x轴正方向
B.电场强度大小为2.5 N/C
C.x＝5 m处的电势为0
D.电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，动能增加了8 eV
听课笔记
例6 (多选)如图9甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
图9
A.带电粒子与场源电荷带异种电荷
B.a点电势比b点电势高
C.a点场强比b点场强大
D.带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
听课笔记
(共57张PPT)
专题强化十四 电场中的功能关系及图像问题
第八章 静电场
会分析处理电场中的功能关系。
理解电场中有关图像的斜率、面积等表示的物理意义，并能结合图像分析电场、电势和电势能的变化。
学习目标
目 录
CONTENTS
研透核心考点
01
提升素养能力
02
研透核心考点
1
考点二 电场中的图像问题
考点一 电场中的功能关系
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者之和保持不变，即ΔEk＝－ΔEp。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
考点一 电场中的功能关系
D
例1 如图1所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J。下列说法中正确的是( )
图1
A.粒子带负电
B.粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C.粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D.粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
解析 由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中静电力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J，C错误；静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J，D正确。
ACD
1.(多选)如图2所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止。现撤去F，小球沿竖直方向运动，在小球由释放到刚离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时的速度为v，不计空气阻力，则上述过程中下列说法正确的是( )
图2
A.小球的重力势能增加－W1
B.小球的电势能增加W2
C.小球与弹簧组成的系统的机械能增加W2
解析 根据重力做功与重力势能变化关系可得WG＝W1＝－ΔEp重，小球上升过程重力做负功，小球的重力势能增加了－W1，故A正确；根据电场力做功与电势能变化关系可得W电＝W2＝－ΔEp电，带正电小球上升过程电场力做正功，小球的电势能减少了W2，故B错误；小球与弹簧组成的系统，在小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，由
考点二 电场中的图像问题
角度 电场中的v－t图像
例2 (2024·重庆市八中检测)两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图3甲所示，一个电荷量为2×10－5 C、质量为1 g的小物块从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是( )
图3
A.小物块带负电
B.A、B两点间的电势差UAB＝500 V
C.小物块由C点到A点电势能先减小再增大
D.B点为中垂线上电场强度最大的点，电场
强度E＝100 V/m
D
1.电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。
角度 电场中的φ－x图像
2.在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图)。
3.电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图。
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图。
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图。
D
例3 在x轴上分别固定两个点电荷Q1、Q2，Q2位于坐标原点O处。两点电荷形成的静电场中，x轴正半轴上的电势φ随x变化的图像如图4所示。下列说法正确的是( )
图4
A.x3处电势φ最高，电场强度最大
B.Q1带负电，Q2带正电
C.Q1的电荷量小于Q2的电荷量
D.电子从x1处沿x轴移动到x2处，电势能增加
C
2.(2024·安徽马鞍山模拟)在x轴上坐标为－3L和3L的两点固定电荷量不等的两点电荷，坐标为3L处电荷带正电，电荷量大小为Q。两点电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图5所示，其中x＝L处电势最低，x轴上M、N两点的横坐标分别为－2L和2L，则( )
图5
A.两点电荷为异种电荷
B.坐标为－3L处电荷的电荷量大小为2Q
C.负检验电荷在原点O处受到向左的静电力
D.负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先减小后增大
角度 电场中的 E－x图像
1.反映了电场强度随位移变化的规律。
2.判定电场强度E的方向：E＞0表示电场强度沿正方向；E＜0表示电场强度沿负方向。
3.图线与x轴围成的“面积”表示两点间电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
4.电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图。
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图。
C
例4 某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和x轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图6所示，其中x1～x3间的图线关于x2点中心对称，规定x2点为电势零点，已知x2＝2x1＝2d，将一带电荷量为＋q的粒子从坐标原点由静止释放，不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到x3点的过程，下列说法正确的是( )
图6
解析 O～x1间，电场强度沿x轴正方向且大小不变，又粒子带正电，故粒子沿x轴正方向做匀加速直线运动；x1～x2间，电场强度沿x轴正方向，且大小逐渐减小，故粒子沿x轴正方向做加速度减小的加速运动；x2～x3间，电场强度沿x轴负方向，且大小逐渐增大，故粒子沿x轴正方向做加速度增大的减速运动，故A、D错误；x1～x3间的图线关于x2点中心对称，则x1～x2间电场力对粒子做的正功数值上等于x2～x3间电场力对粒子做的负功，粒子到达x3时的动能等于粒子到达x1时的动能，即Ek＝qdE0，故B错误；由题意知x2点的电势为0，有φx1＝－φx3，φx1<φO，可知O点的电势最大，故C正确。
AC
3.(多选)如图7甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为xB＝0.06 m，若α粒子仅在静电力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15 V，下列说法正确的是( )
图7
A.x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向
B.该α粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C.B点电势是A点电势的3倍
D.图乙中E0应为2.5×103 V·m－1
解析 α粒子由A点运动到B点，静电力做功为WAB＝2eUAB＝－60 eV，解得UAB＝－30 V，因为φA＝15 V，所以φB＝45 V，B点电势是A点电势的3倍，因为B点电势高于A点电势，所以电场强度的方向沿x轴负方向，故A、C正确；图乙中电场强度随位移x均匀变化，静电力为变力，所以α粒子沿x轴正方向做变减速直线运动，故B错误；图乙中图像与横轴所围的面积表示A、B两点间的电势差的大小，则E0＝2.5×102 V·m－1，故D错误。
角度 电场中的Ep－x图像、Ek－x图像
例5 (多选)在匀强电场中，一电子从原点O由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图8所示，则( )
CD
图8
A.电场强度方向沿x轴正方向
B.电场强度大小为2.5 N/C
C.x＝5 m处的电势为0
D.电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，动能增加了8 eV
解析 根据电场力做功与电势能的变化关系可知，带负电粒子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，电势能减小，则电场力做正功，因此电场强度方向沿x轴负方向，故A错误；由题图可知，电势能的变化率不变，所以负电荷受到的电场力不变，则知该电场为匀强电场，根据公式
例6 (多选)如图9甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
图9
A.带电粒子与场源电荷带异种电荷
B.a点电势比b点电势高
C.a点场强比b点场强大
D.带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
CD
解析 粒子从a点向b点运动，Ek－x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点场强比b点场强大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确。
提升素养能力
2
C
对点练1 电场中的功能关系
1.如图1所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB＝2v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为( )
A级 基础对点练
图1
CD
2.(多选)如图2所示，在水平向右的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿绝缘斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了10 J，金属块克服摩擦力做功5 J，重力做功20 J，则以下判断正确的是( )
图2
A.电场力做功5 J B.合力做功15 J
C.金属块的机械能减少10 J D.金属块的电势能增加5 J
解析 根据动能定理W合＝WG＋Wf＋WF＝ΔEk，则合力做功为W合＝ΔEk＝10 J，故B错误；重力做正功WG＝20 J，摩擦力做负功Wf＝－5 J，故电场力做功WF＝－5 J，即电场力做功－5 J，电势能增加5 J，故A错误，D正确；除重力外电场力与摩擦力做的总功为－10 J，机械能减少10 J，故C正确。
AD
3.(多选)(2024·河南开封高三联考)如图3所示，方向竖直向上的匀强电场中，将两个带等量异种电荷且质量相同的小球A、B，从同一高度以不同速度水平向右抛出，最终以相同速率落到水平地面上，运动轨迹如图。两球之间的静电力和空气阻力均不考虑，以地面为参考平面，且电势为零，则( )
图3
A.A小球带正电，B小球带负电
B.在运动过程中，两小球的加速度大小相等
C.在运动过程中，两小球的机械能均守恒
D.两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等
解析 以相同的速率落到水平地面上，A球水平位移大于B球水平位移，只有A小球带正电，B小球带负电，落地时A球的水平速度大于B球水平速度，A球的竖直速度小于B球的竖直速度一种可能，A正确；在运动过程中，A球加速度小于g，B球加速度大于g，两小球的加速度大小不相等，B错误；因为有电场力做功，两小球的机械能不守恒，C错误；落地前瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，从抛出点到地面，只有电场力和重力对小球做功，两小球的机械能和电势能之和不变，所以两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，D正确。
BC
4.
图4
B
对点练2 电场中的图像问题
5.(2024·北京人大附中阶段检测)一带正电粒子仅在电场力作用下沿直线运动，其速度随时间变化的图像如图5乙所示。tA、tB时刻粒子分别经过A点和B点(如图甲所示)，A、B两点的场强大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB，则可以判断( )
图5
A.EA
C.φA＝φB D.φA<φB
解析 由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点运动过程中，加速度逐渐减小。根据牛顿第二定律F＝ma可知电场力F逐渐减小。结合F＝qE可知，从A点到B电场强度逐渐减小，即EA>EB，选项A错误，B正确；由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点一直做加速运动，说明电场力方向从A指向B，所以场强方向从A指向B，又由沿电场线方向电势降低，可知φA>φB，选项C、D错误。
AD
6.(多选)(2024·海南一模)在x轴上0～x0范围内，存在沿x轴正方向的电场，其电势φ随x的变化规律如图6所示。现将一质量为m、带电荷量为q的粒子自O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下沿x轴做加速运动，从x0处离开电场，下列说法正确的是( )
图6
BD
7.(多选)(2024·四川巴中模拟)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图7所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是( )
图7
解析 带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则电场力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；电场力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；由Ek－x图像斜率大小代表电场力大小，斜率正负代表电场力方向，由图可知，场强先减小后增大，方向一直为正方向，电场力F＝qE，先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x轴变化一致，B正确；由能量守恒定律有E0＝Ek＋Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。
D
8.(2023·北京北师大实验中学高三检测)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图8所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )
图8
A.x1处电场强度最小，但不为零
B.粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
C.若x1、x3处电势为φ1、φ3，则φ1<φ3
D.x2～x3段的电场强度大小、方向均不变
解析 Ep－x图像的斜率表示粒子所受静电力F，根据F＝qE可知x1处电场强度最小且为零，选项A错误；粒子在0～x2段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，做变速运动，x2～x3段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从x1到x3的过程中电势能增加，说明电势降低，即φ1>φ3，选项C错误；x2～x3段斜率不变，所以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确。
BD
C.物块在B点的速度最大
D.对于系统，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加
量之和
B级 综合提升练
图9
向向下，物块继续加速，则物块在B点的速度不是最大，故C错误；对于系统，能量守恒，根据能量守恒定律可知，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和，故D正确。
BC
10.(多选)(2024·贵州贵阳市第一中学月考)如图10所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，所形成静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是( )
图10
A.a、c两点的电场强度相同
B.q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍
C.将一负电荷从a点移到c点，静电力做功
为零
D.将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
解析 φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离
答案 (1)10.8mg (2)1.2R (3)15R
解析 (1)由几何关系知，轨道AB与水平面的夹角为37°，小物块从A点第一次到C点的过程，由动能定理知
图11
(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；
(2)小物块第一次从D点飞出后上升的最大高度；
(3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程。
联立解得FN＝10.8mg
由牛顿第三定律知此时小物块对轨道的压力大小为10.8mg。
(2)小物块从A第一次到D的过程，由动能定理知
联立解得xmax＝1.2R。
(3)分析可知小物块到达B点的速度为零后，小物块就在圆弧轨道上做往复圆周运动
由功能关系知(qE＋mg)Lsin 37°＝μ(qE＋mg)·dcos 37°，解得d＝15R。
本节内容结束
THANKS 专题强化练十四 电场中的功能关系及图像问题
A级 基础对点练
对点练1 电场中的功能关系
1.如图1所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB＝2v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为( )
图1
A. B.
C. D.
2.(多选)如图2所示，在水平向右的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿绝缘斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了10 J，金属块克服摩擦力做功5 J，重力做功20 J，则以下判断正确的是( )
图2
A.电场力做功5 J
B.合力做功15 J
C.金属块的机械能减少10 J
D.金属块的电势能增加5 J
3.(多选)(2024·河南开封高三联考)如图3所示，方向竖直向上的匀强电场中，将两个带等量异种电荷且质量相同的小球A、B，从同一高度以不同速度水平向右抛出，最终以相同速率落到水平地面上，运动轨迹如图。两球之间的静电力和空气阻力均不考虑，以地面为参考平面，且电势为零，则( )
图3
A.A小球带正电，B小球带负电
B.在运动过程中，两小球的加速度大小相等
C.在运动过程中，两小球的机械能均守恒
D.两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等
4.(多选)如图4所示，竖直平面内有a、b、c三个点，b点在a点正下方，b、c连线水平。第一次，将一质量为m的小球从a点以初动能Ek0水平抛出，经过c点时，小球的动能为5Ek0；第二次，使此小球带正电，电荷量为q，同时加一方向平行于abc所在平面、电场强度大小为的匀强电场，仍从a点以初动能Ek0沿某一方向抛出小球，小球经过c点时的动能为13Ek0。下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度大小为g)( )
图4
A.a、b两点间的距离为
B.a、b两点间的距离为
C.a、c两点间的电势差为
D.a、c两点间的电势差为
对点练2 电场中的图像问题
5.(2024·北京人大附中阶段检测)一带正电粒子仅在电场力作用下沿直线运动，其速度随时间变化的图像如图5乙所示。tA、tB时刻粒子分别经过A点和B点(如图甲所示)，A、B两点的场强大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB，则可以判断( )
图5
A.EA
C.φA＝φB D.φA<φB
6.(多选)(2024·海南一模)在x轴上0～x0范围内，存在沿x轴正方向的电场，其电势φ随x的变化规律如图6所示。现将一质量为m、带电荷量为q的粒子自O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下沿x轴做加速运动，从x0处离开电场，下列说法正确的是( )
图6
A.粒子的电势能减小了qφ0
B.粒子离开电场时的动能为2qφ0
C.粒子在电场中运动的时间为x0
D.粒子离开电场时的速度大小为
7.(多选)(2024·四川巴中模拟)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图7所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是( )
图7
8.(2023·北京北师大实验中学高三检测)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图8所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )
图8
A.x1处电场强度最小，但不为零
B.粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
C.若x1、x3处电势为φ1、φ3，则φ1<φ3
D.x2～x3段的电场强度大小、方向均不变
B级 综合提升练
9.(多选)如图9所示，在空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C。在由A运动到C的过程中(空气阻力不计)，则( )
图9
A.物块机械能减少
B.物块和弹簧组成的系统机械能减少
C.物块在B点的速度最大
D.对于系统，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和
10.(多选)(2024·贵州贵阳市第一中学月考)如图10所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，所形成静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是( )
图10
A.a、c两点的电场强度相同
B.q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍
C.将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零
D.将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
C级 培优加强练
11.(2023·黑龙江省高三检测)如图11所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C为最低点，圆心角∠BOC＝37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R，整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于轨道所在的平面且垂直于直线OD，现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，电场强度大小E＝，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力。求：
图11
(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；
(2)小物块第一次从D点飞出后上升的最大高度；
(3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程。
专题强化练十四 电场中的功能关系及图像问题
1.C [粒子在竖直方向做匀减速直线运动，则有v＝2gh，电场力做正功，重力做负功，使粒子的动能由mv变为2mv，则根据动能定理，有qU－mgh＝2mv－mv，解得A、B两点电势差应为U＝，故C正确。]
2.CD [根据动能定理W合＝WG＋Wf＋WF＝ΔEk，则合力做功为W合＝ΔEk＝10 J，故B错误；重力做正功WG＝20 J，摩擦力做负功Wf＝－5 J，故电场力做功WF＝－5 J，即电场力做功－5 J，电势能增加5 J，故A错误，D正确；除重力外电场力与摩擦力做的总功为－10 J，机械能减少10 J，故C正确。]
3.AD [以相同的速率落到水平地面上，A球水平位移大于B球水平位移，只有A小球带正电，B小球带负电，落地时A球的水平速度大于B球水平速度，A球的竖直速度小于B球的竖直速度一种可能，A正确；在运动过程中，A球加速度小于g，B球加速度大于g，两小球的加速度大小不相等，B错误；因为有电场力做功，两小球的机械能不守恒，C错误；落地前瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，从抛出点到地面，只有电场力和重力对小球做功，两小球的机械能和电势能之和不变，所以两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，D正确。]
4.BC [不加电场时根据动能定理得mghab＝5Ek0－Ek0＝4Ek0，解得hab＝，故A错误，B正确；加电场时，根据动能定理得mghab＋qUac＝13Ek0－Ek0，解得Uac＝，故C正确，D错误。]
5.B [由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点运动过程中，加速度逐渐减小。根据牛顿第二定律F＝ma可知电场力F逐渐减小。结合F＝qE可知，从A点到B电场强度逐渐减小，即EA>EB，选项A错误，B正确；由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点一直做加速运动，说明电场力方向从A指向B，所以场强方向从A指向B，又由沿电场线方向电势降低，可知φA>φB，选项C、D错误。]
6.AD [粒子做加速运动，电场力做正功，根据动能定理可得W＝qφ0＝Ek－0，又ΔEp＝－W＝－qφ0，可知粒子的电势能减小了qφ0，粒子离开电场时的动能为qφ0，故A正确，B错误；φ－x图像的斜率表示电场强度，所以粒子在电场中做匀加速直线运动，有x0＝at2，a＝＝，联立解得t＝x0，故C错误；根据动能定理有qφ0＝mv2，解得v＝，故D正确。]
7.BD [带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则电场力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；电场力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；由Ek－x图像斜率大小代表电场力大小，斜率正负代表电场力方向，由图可知，场强先减小后增大，方向一直为正方向，电场力F＝qE，先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x轴变化一致，B正确；由能量守恒定律有E0＝Ek＋Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。]
8.D [Ep－x图像的斜率表示粒子所受静电力F，根据F＝qE可知x1处电场强度最小且为零，选项A错误；粒子在0～x2段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，做变速运动，x2～x3段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从x1到x3的过程中电势能增加，说明电势降低，即φ1>φ3，选项C错误；x2～x3段斜率不变，所以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确。]
9.BD [质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，根据牛顿第二定律F电＝mg－ma＝mg，以C点为重力势能零势能面，则物块在A点机械能E＝mg(H＋h)，物块在C点机械能为零，则物块由A运动到C的过程中，物块机械能减少ΔE＝mg(H＋h)，故A错误；根据题意可知，物块由A运动到C的过程中，物块和弹簧组成的系统机械能减少量等于克服电场力做功ΔE＝－W电＝F电(H＋h)＝mg(H＋h)，故B正确；物块由A运动到C的过程中，下落到B点时，物块受电场力和重力，则加速度仍为g，方向向下，物块继续加速，则物块在B点的速度不是最大，故C错误；对于系统，能量守恒，根据能量守恒定律可知，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和，故D正确。]
10.BC [φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场强度方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。]
11.(1)10.8mg (2)1.2R (3)15R
解析 (1)由几何关系知，轨道AB与水平面的夹角为37°，小物块从A点第一次到C点的过程，由动能定理知
(qE＋mg)(Lsin 37°＋R－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)·Lcos 37°
＝mv－0
在C点由牛顿第二定律知FN－qE－mg＝m
联立解得FN＝10.8mg
由牛顿第三定律知此时小物块对轨道的压力大小为10.8mg。
(2)小物块从A第一次到D的过程，由动能定理知(qE＋mg)·(Lsin 37°－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)·Lcos 37°＝mv－0
小物块第一次到达D点后以速度vD1逆着电场线方向做匀减速直线运动
由动能定理知－(qE＋mg)xmax＝0－mv
联立解得xmax＝1.2R。
(3)分析可知小物块到达B点的速度为零后，小物块就在圆弧轨道上做往复圆周运动
由功能关系知(qE＋mg)Lsin 37°＝μ(qE＋mg)·dcos 37°，解得d＝15R。
