长沙市2024年初中学业水平考试押题密卷（五）
数 学
温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在实数，，1，中，最小的数是（ ）
A． B． C．1 D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．2024年“五四”青年节到来之际，为鼓励学生“牢记使命，努力学习”，某校举办了演讲比赛，根据七位评委给小明的打分绘制了如下统计表：
平均数 中位数 众数 方差
9.3 9.2 9.2 0.2
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在的延长线上，，，，，则的大小为（ ）
A．30° B．18° C．15° D．10°
6．已知点，均在直线的图象上，则，的值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．观察如图作图痕迹，所作为的边上的（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为( )
A．6 B．9 C．12 D．15
9．如图，是的直径，弦于点E，，，则（ ）
A．6 B． C．9 D．12
10．甲、乙、丙3个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理，化学中的一个专业，且满足：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理．则（ ）
A．甲在C校学习，丙在B校学习 B．甲在B校学习，丙在C校学习
C．甲在B校学习，丙在A校学习 D．甲在C校学习，丙在A校学习
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是．
12．若，，则．
13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为，则布袋中黑球的个数为．
14．如图，菱形的对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，分别与菱形的边相交．若，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）
15．如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值：．
16．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为，宽为，,两点在网格格点上，若点也在网格格点上，以,,为顶点的三角形的面积为，则满足条件的点有个．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中，
19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，
(1)求屋顶到横梁的距离；
(2)求房屋的高．
20．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）
b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
年级统计量 平均数 中位数
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中的值为；
(2)小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．
21．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：
（1）
（2）．
22．为打造“绿色城市”降低空气中的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2017年投资1000万元，预计2019年投资1210万元，若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
(1)求平均每年投资增长的百分率；
(2)若增长率不变，请你计算一下2020年投资多少万元？
23．如图，在正方形中，、两点分别在边和上，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)如图，过作的垂线分别交、于、两点，求证：；
(3)如图，若、和三点分别为、和的中点，，求的值．
24．我们约定：若关于x的二次函数与，则称函数与函数互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数与互为“共赢”函数，则；；．
(2)对于任意非零实数r、s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“共赢”函数．
①求函数y2的图像的对称轴；
②函数y2的图像与直线交于A、B两点，且AB长为，求的函数表达式；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“共赢”函数的图像顶点分别为点A、点B．若函数，的图像交于不同两点C，D，且四边形为菱形，，请求出该菱形面积的取值范围．
25．如图，四边形内接于，对角线、相交于点M，．
(1)求证：．
(2)当时，记，记．
①当时，求t的值；
②求t的最大值．
(3)当为直径时，连接交于点E，满足以下条件：①；②；③（m，n均为正整数）；求的半径r的值．
参考答案与解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 B A B D C C B C C C
二、填空题
11．12．513．16
14．15．或或（任选一个即可）．16．4
三、解答题
17．【详解】解：
18．【详解】解：
，
当，时，原式．
19．【详解】（1）解： ，
，
该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
，，
，
答：屋顶到横梁的距离为．
（2）解：过点作于点，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，，
解得：，
，
答：房屋的高为．
20．【详解】（1）解：依题意，第和个数分别为为，
∴
（2）解：小佳是七年级的学生，
理由：他的成绩超过了一半以上的同学，七年级的成绩的中位数为，
∴小佳是七年级的学生；
（3）解：估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数为（人）
21．【详解】（1）∵
∴
即
又∵，
∴
（2）∵
∴
∴．
22．【详解】（1）解：设平均每年投资增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：平均每年投资增长率为；
（2）万元，
答：2020年投资1331万元．
23．【详解】（1）证明：过点E作于点M，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
，
，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点F作于点N，如图所示：
，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
同理可得：四边形为矩形，
∴，
，，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴．
（3）解：连接并延长交于点K，连接，过点E作于点I，如图所示：
设正方形边长为，则，，
∵点F为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M、N分别为、的中点，
∴，
∴．
24．【详解】（1）解：∵与互为“共赢”函数，
∴，，，
故答案为：，，，
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴
∴，∴对称轴为，
②联立，得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
分别代入，
∴或
（3）解：∵，
∴，， ，
同理， ，
联立，，得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：轴，
设，∵，
∴，
∴，
将，代入，得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，即：，
∴，，，
∵，
∴，
∴，∴，
25．【详解】（1），，
，
，
，
；
（2）①，
，
，
，
∴，
∵和的底边分别为，，高相等，
，
，
，
代入得：，
整理得：，
当，，
解得或（舍去），
．
②，，
，
，即，
设，则，函数图像如图，
由图像可知，当时，t可以取得最大值，令，解得，
的最大值为；
（3），
，
∵为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵m，n均为正整数，
，
，解得，
∴
，
∵，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
设，在中，，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
．
