2024人教七下数学期末模拟押题卷（全国卷）
考查范围：人教版第5-10章
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·广东云浮·期中）2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列调查最适合普查的是（ ）
A．了解大运河被污染情况
B．了解一个班学生一分钟跳绳成绩
C．调查一批灯泡的使用寿命
D．了解全国中小学生书面作业总量
3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用表示小明的位置，表示小德的位置，那么小红的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）下列各式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023湖南常德·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·广西柳州·期中）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·山西朔州·期中）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足，，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
10．（21-22七年级下·福建福州·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如果一个正数的平方根是和，则a的值为 ．
12．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为 ．
13．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ．
14．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为 ．
15．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某班为奖励在数学竞赛中获奖的同学，花费32元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 种购买方案．
16．（23-24七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ．
17．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，平移线段至线段，点在线段上，当三角形的面积为时，则点的坐标为 ．
18．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）计算：
(1)
(2)
20．（23-24七年级下·云南昆明·期中）解不等式（组）．
(1)，并在数轴上表示出它的解集．
(2)，并在数轴上表示出它的解集．
21．（23-24七年级下·湖南永州·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
22．（23-24七年级下·河南南阳·期中）本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过千克的部分（元千克）
上海
北京
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
上海
北京
(1)求，的值；
(2)若小丽寄10千克的快递到北京，则小丽需要付多少钱的快递费？
23．（23-24八年级下·江苏常州·期中）某校为了了解八年级女生的体能情况，随机抽查了部分女生，测试她们1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的不完整的统计表（每个分组包括左端点，不包括右端点）和频数分布直方图．请你根据图中提供的信息，解以下问题：
(1)把统计表补充完整；
仰卧起坐次数的范围（单位：次） 15～20 20～25 25～30 30～35
频数 3 10 12
频率
(2)补全频数分布直方图；
(3)若该校八年级有女生360人，体育达标要求规定:初中阶段女生一分钟仰卧起坐的次数达 20个以上为合格，请问该校八年级女生合格的人数为多少人
24．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B．
(1)直接写出点A和点B的坐标并求出的面积．
(2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（23-24七年级下·山东滨州·期中）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作 小红：如图3，延长交于点
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
26．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，，连接．
(1)若，求线段的长；
(2)若．
①平移线段，使点，的对应点分别为点，求的值；
②连接，，记三角形的面积为，若，，时，求的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024人教七下数学期末模拟押题卷（全国卷）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·广东云浮·期中）2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的定义，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；逐项判断即可求解．
【详解】将图中的“弗里热”通过平移可以得到
故选：A．
2．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列调查最适合普查的是（ ）
A．了解大运河被污染情况
B．了解一个班学生一分钟跳绳成绩
C．调查一批灯泡的使用寿命
D．了解全国中小学生书面作业总量
【答案】B
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：、了解大运河被污染情况，最适合抽样调查，故不符合题意；
B、了解一个班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；
C、调查一批灯泡的使用寿命，最适合抽样调查，故C不符合题意；
D、了解全国中小学生书面作业总量，最适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用表示小明的位置，表示小德的位置，那么小红的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，解题的关键是找到坐标原点的位置以建立直角坐标系，除了观察小明位置以确定原点外，也可以观察小德的位置，建好后用另一个已知点坐标验证坐标系是否正确，再确定小红位置即可．
【详解】解：根据小明位置为，在图中建立平面直角坐标系，如图所示：
由图可知，小红位置可表示为.
故选：C．
4．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）下列各式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、分别根据算术平方根、立方根的性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
5．（2023·湖南常德·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，列出方程组即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意得：
，
故选：A．
6．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为a＜x＜2，据此知不等式组的最大整数解为1，根据最大整数解与最小整数解的差为2得最小整数解为 1，进一步求解即可得出答案．本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组最大整数解与最小整数解的差得出最小整数解．
【详解】解：∵
∴由，得出，
由，得出，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为1，
∵最大整数解与最小整数解的差是3，
∴最小整数解为，
∴，
故选：A．
7．（23-24七年级下·广西柳州·期中）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等、同旁内角互补成为解题的关键
先说明，再根据平行线的性质可得，再根据运用两直线平行、同旁内角互补即可解答．
【详解】解：∵、都与地面平行，，
∴，
∴，
∵，
∴，即.
故选：D．
8．（23-24七年级下·山西朔州·期中）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足，，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方根的定义，根据题意可得，，然后把，的值代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：，为整数，，，
，，
，
的平方根是，
故选：D．
9．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【分析】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键．
分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【详解】解：由，可得：，
∵关于x的不等式组最多有3个整数解，
∴或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，3，
∴，解得：；
解，得：，
∵方程的解为非正数，
∴，解得：，
综上：，
符合条件的k的整数值为：9，10，和为；
故选B．
10．（21-22七年级下·福建福州·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如果一个正数的平方根是和，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了平方根，解答本题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：．
故答案为：4．
12．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为 ．
【答案】72
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，
根据统计图中的骑车的人数与其占比两项数据可以求得本次调查的学生数，进而求得扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数．
【详解】解：由图可得，
本次抽查的学生有：（人），
扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为：，
故答案为：．
13．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的性质，解一元一次不等式，掌握不等式性质，不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向发生改变是解题关键．
【详解】解：不等式的解集为，
∴，
则．
故答案为：．
14．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某班为奖励在数学竞赛中获奖的同学，花费32元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 种购买方案．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有2种购买方案．找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，
∴．
又∵，均为正整数，
∴或，
∴共有2种购买方案．
故答案为：2．
16．（23-24七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ．
【答案】/36度
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和角的和差，根据平行线的性质、折叠的性质和角的和差解答即可．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
17．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，平移线段至线段，点在线段上，当三角形的面积为时，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，表示出面积是解题的关键．
根据平移得出和四边形是平行四边形，再表示出，列出方程解答即可求解；
【详解】∵，平移线段至线段，
，
∴四边形是平行四边形，
∵
，
当三角形的面积为时，，
解得：，
则点的坐标为．
故答案为：．
18．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ．
【答案】0或或．
【分析】根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组、结合x为非负整数即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
为非负整数，即x非负数
，
，
为非负整数，
或或，
解得或或，
故答案为：0或或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义是解答本题的关键．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据算术平方根定义，立方根定义进行求解即可；
（2）根据绝对值意义化简进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（23-24七年级下·云南昆明·期中）解不等式（组）．
(1)，并在数轴上表示出它的解集．
(2)，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】(1)，见详解
(2)，见详解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，并在数轴上表示出解集．
（1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式并在数轴上表示出解集即可．
（2）解不等式组，分别求出每个不等式的解集，再找出公共解即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
解集表示如下：
（2）
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式组的解题为：，
解集表示如下：
21．（23-24七年级下·湖南永州·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用代入消元法求解即可；
（2）用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
把①代入②，得
解得
把代入①， 解得
因此原方程组的解是；
（2）
得 ③
得 ④
得
解得
把代入①，解得
因此原方程组的解是
22．（23-24七年级下·河南南阳·期中）本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过千克的部分（元千克）
上海
北京
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
上海
北京
(1)求，的值；
(2)若小丽寄10千克的快递到北京，则小丽需要付多少钱的快递费？
【答案】(1)，
(2)64元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，解题的关键是根据题意列出方程组，求出a、b的值．
（1）根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列出算式，进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴，．
（2）解：由（1）得，，，
（元），
答：小丽需要付64元钱的快递费．
23．（23-24八年级下·江苏常州·期中）某校为了了解八年级女生的体能情况，随机抽查了部分女生，测试她们1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的不完整的统计表（每个分组包括左端点，不包括右端点）和频数分布直方图．请你根据图中提供的信息，解以下问题：
(1)把统计表补充完整；
仰卧起坐次数的范围（单位：次） 15～20 20～25 25～30 30～35
频数 3 10 12
频率
(2)补全频数分布直方图；
(3)若该校八年级有女生360人，体育达标要求规定:初中阶段女生一分钟仰卧起坐的次数达 20个以上为合格，请问该校八年级女生合格的人数为多少人
【答案】(1)5，
(2)补全频数分布直方图见解析
(3)该校八年级女生合格的人数为324人
【分析】本题考查读频数分布直方图和从统计图获取信息的能力，正确从统计图获取有用的信息是解答本题的关键．
（1）用15～20次的人数除以相应频率即可求得总人数，然后再求出30～35次的人数和25～30次的频率，即可完成统计表；
（2）根据（1）即可补全统计图．
（3）用360乘以1分钟仰卧起坐的次数达 20个以上的频率即可得解。
【详解】（1）解：抽查女生人数：（人），
∴仰卧起坐次数的范围为25～30的频率为，
仰卧起坐次数的范围为30～35的频率为，
∴补全表格如下：
仰卧起坐次数的范围（单位：次） 15～20 20～25 25～30 30～35
频数 3 10 12 5
频率
故答案为：5，；
（2）解：补全统计图如下，
（3）解：八年级女生合格的人数为（人）．
24．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B．
(1)直接写出点A和点B的坐标并求出的面积．
(2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，4
(2)45°
(3)点坐标为或
【分析】本题考查的是非负数的性质、角平分线的定义
（1）根据非负数的性质求出、，可求出点A和点B的坐标,根据三角形的面积公式计算即可；
（2）作，根据平行线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可；
（3）根据三角形中位线定理求出，设点的坐标为：，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
解得，，，
则，，
，，
∵轴于B
故
则的面积；
（2）解：如图2，作，
，
，
，
，
，
、分别平分、，
，，
，
，，
，，
；
（3）解：∵O为的中点，
∴，
设点的坐标为：，
由题意得，，
解得，或，
答：和的面积相等时，点坐标为或．
25．（23-24七年级下·山东滨州·期中）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作 小红：如图3，延长交于点
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义和三角形的外角的性质：
[探索发现]选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案．
[拓展延伸]
根据已知得出 ，由，得出，即可得证．
[拓展延伸]设，在（）的条件下，，解得： 设， ，解得：，即可求解．
【详解】探索发现解：小刚的证明如下：
过点作，
，
，
，，
，
即；
小红的证明如下：
延长交于点，
，
，
，
即；
[深入思考]
证明：，，
，
，
，
；
[拓展延伸]
解：平分，，
，
设，
，
，
在（）的条件下，
，
，
解得：，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
在（）的条件下，
，
，
即，
解得：，
．
26．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，，连接．
(1)若，求线段的长；
(2)若．
①平移线段，使点，的对应点分别为点，求的值；
②连接，，记三角形的面积为，若，，时，求的取值范围．
【答案】(1)6
(2)①；②且
【分析】（1）根据非负数的性质可求得的值，可得点的纵坐标相同，故线段轴，即可求解；
（2）①根据平移的性质可得，结合，即可求解；②根据题意可求得，，然后分当时、当且时和当时三种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∵点的纵坐标相同，
∴线段轴，
∴，
即线段的长为6；
（2）①根据题意，平移线段，使点，的对应点分别为点，
可得，
整理可得，
∵，
∴可得，解得，
∴的值为；
②∵，
∴，
∴当时，可有，，
当时，如下图，
则
，
∵，
∴，解得，
∴此时；
当且时，如下图，
∵，
∴，
∵，
∴当且时，一定成立；
当时，如下图，
则
，
∵，
∴，解得，
∴此时．
综上所述，的取值范围为且．
【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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