吉林省实验繁荣高级中学
2023—2024学年度下学期高一年级期中考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的加减乘除四则运算法则计算化简即得.
【详解】，虚部为．
故选：C.
2. 设D为ABC所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
故选：C
3. 已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若l与不平行，则l与m一定是异面直线
B. 若，则l与m可能垂直
C. 若，且，则l与m可能平行
D. 若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中线、面位置关系分析逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若l与不平行，则l与的位置关系有：相交或直线在平面内，
且，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；
对于选项B：若，则l与m可能垂直，
如图所示：，可知：，故B正确；
对于选项C：若，且，，则l与m异面，故C错误；
对于选项D：若，且l与不垂直，则l与m可能垂直，
如图，取为平面，，
符合题意，但，故D错误；
故选：B.
4. 在边长为1的菱形ABCD中，，将菱形沿对角线AC折起，使折起后，则二面角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合已知条件利用二面角定义求出二面角，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】设菱形对角线AC与BD交于O点，将菱形沿对角线AC折起，如下图所示：
由菱形性质可知，，
故将菱形沿对角线AC折起后，，，
从而为二面角的平面角，
由菱形ABCD边长为1，，易得，
由余弦定理可得．
故选：A.
5. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理得，进一步有，由此即可得解.
【详解】由正弦定理及，得，
所以，
得，
因为，，
所以，，所以，
因为，所以，为直角三角形．
故选：C.
6. 已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，取中点，连接，可得为异面直线与所成的角，再结合余弦定理，即可得到结果.
【详解】
取中点，连接，
在直三棱柱中，，
因为分别为，的中点，
所以，，即四边形为平行四边形，
所以，为异面直线与所成的角，
因为，，
所以，，，
在直三棱柱中，，所以，
，在中，由余弦定理可得，
.
故选：B
7. 圆锥中，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，底面圆半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点，则面积的最大值为（ ）
A 4 B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥轴截面顶角即可求解得答案.
【详解】令圆锥母线长为，显然圆锥侧面展开图扇形弧长为，
由侧面展开图面积为，得，解得，
又圆锥轴截面等腰三角形底边长为6，底角满足，即，
因此圆锥轴截面等腰三角形顶角为，等腰的顶角，
则面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为6.
故选：D
8. 已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值.
【详解】设，则，，
所以.易得，
，
当时，取得最小值，取得最大值，
此时.故选C.
【点睛】本题考查平面向量有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求解可得，再逐个选项判断即可.
【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知，
则（与顺序无关），故A正确；
对B，因为，所以，故B正确；
对C，由A，，故C错误；
对D，由韦达定理可得，故D正确．
故选：ABD
10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有唯一解，则或
D. 若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9.
【答案】BCD
【解析】
分析】用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；根据边角的关系与解的数量判断C的真假；根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假．
【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：，
所以有，整理可得，
所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，所以，故，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确．
对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确．
选项D，的平分线交于点，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D正确．
故选：BCD．
11. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则点P的轨迹长为
B. 在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线
C. 若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等
D. 过点P可以作4条直线与，AC均成角
【答案】AC
【解析】
【分析】对于选项A，建立空间直角坐标系，令，根据，建立关于的方程，从而得到动点P的轨迹方程，即可求出点P轨迹长；
对于选项B，根据四点共面，即可判断直线与直线不是异面直线；
对于选项C，直接求出，根据，构造三棱柱，利用即可求解，；
对于选项D，根据直线与，AC均成角，只要过点P作直线与平行即可满足题意.
【详解】对于选项A，建立如图所示空间直角坐标系，,
，因为，所以，
所以，即，
又因为点P在正方形内部（含边界）运动，所以，所以点P的轨迹长为，故A正确；
对于选项B，如图，连接，，由正方体的性质知，，
所以四点共面，平面，故B不正确；
对于选项C，如图，取的中点F，连接，设，
连接，则几何体为斜三棱柱，
从而，
在三棱柱中，,
其中,
,
∴,
又，故C正确；
对于选项D，通过平移直线可知，直线与，AC均成角，那么只要过点P作直线与平行即可满足与，AC均成角，这样的直线有无数条，故D不正确,
故选：AC.
【点睛】思路点睛：对于选项A，由轨迹可以想到，是否可以把动点的轨迹方程求出，在根据方程得到轨迹，从而求出轨迹长度；对于选项B，判断异面，只需要证明共平面就可以反证出不异面；对于选项C，在求解三棱锥的体积时一般可以通过转换顶点，更换几何体的底面和高求解，也可以将三棱锥的体积转化为几个容易求解的几何体的体积差求解；对于选项D，通过平移找到和，AC均成角直线即可解决问题.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的夹角为钝角，得出两向量的数量积小于0，且不共线；由此求出的取值范围．
【详解】向量，，且与的夹角为钝角，
所以，且与不共线；
所以，解得且，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
13. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解.
【详解】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，
由四边形是菱形，可得，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故答案为：3.
14. 已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角余弦值最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据面面平行，结合线线垂直可证明平面,即可根据线面角的定义求解为与平面所成的角，由三角形的边角关系即可求解.
【详解】设过的一个平面,（不与平面重合）与正方体相交于,
取的中点，过作,过作，连接,
故平面平面，
过作于，由于平面，平面，故,
平面，故平面,
所以为与平面所成的角，故也为为与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则，
,
要使最小，则需要最大即可，
由于,
故当时，此时取最大值，
此时的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角大小；
（2）若，的面积，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由，求得，结合余弦定理，得到，进而求得的周长.
【小问1详解】
解：因为，可得，
即，
由正弦定理得，即，
又因为，可得，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
解：因为的面积，可得，可得，
又因为，由余弦定理，
可得，所以，
则，所以，
所以的周长为.
16. 如图，已知在长方体中，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明；
(2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出的值，结合余弦定理计算即可.
【小问1详解】
连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点，
又因为E为的中点，连接，则，
∵平面EBD，平面EBD，
平面EBD；
【小问2详解】
由(1)知，，
所以为异面直线与所成角的平面角，
在中，，
，
由余弦定理，得
，
故异面直线与所成角的余弦值为.
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面
（1）求的长；
（2）求三棱锥.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质可得,进而可得是的中点，即可利用面面垂直的性质得平面，由勾股定理即可求解长度，
（2）利用等体积法即可求解.
【小问1详解】
由于平面，平面，平面平面，
所以，由于是中点，所以是的中点，
平面平面，且两平面交线为，
又，，故，平面，
由面面垂直的性质知平面，平面，故，
由于底面是菱形，，，故,
所以,
因此.
【小问2详解】
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
所以.
18. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
（1）若，求的面积；
（2）证明：；
（3）若，求的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解；
（2）在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解，
（3）利用余弦定理得，正弦定理得，结合（2）的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解．
【小问1详解】
在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；
【小问2详解】
在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得证，
【小问3详解】
在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
结合
，
又因为，所以，
所以，
即的面积的取值范围为．
19. 如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，.
（ⅰ）求二面角的余弦值；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）,（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质易知，，即可证明出平面，由面面垂直的判定定理即可证出；
（2）利用二面角的定义可得即为二面角的平面角，即可由余弦定理求解，利用等体积法求三棱锥的体积，可得到点到平面的距离，再根据直线与平面所成角的正弦值等于，即可知当时，最短，此时正弦值最大．
【小问1详解】
在四面体中，，，为的中点，则，，
而，,平面，得平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
（ⅰ）依题意，，，为的中点，则，，故即为二面角的平面角，
由于，又，则，
又，则，
在中，，所以，
故二面角的余弦值为
（ⅱ）由于，故，
，
由（1）得，，
因，即，
则，
设点到平面的距离为，则，解得，
即点到平面的距离为，
设直线与平面所成角为，所以，
因为，所以，
故当时，最短，
此时，正弦值最大为．吉林省实验繁荣高级中学
2023—2024学年度下学期高一年级期中考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. 设D为ABC所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若l与不平行，则l与m一定是异面直线
B. 若，则l与m可能垂直
C. 若，且，则l与m可能平行
D. 若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直
4. 在边长为1的菱形ABCD中，，将菱形沿对角线AC折起，使折起后，则二面角的余弦值为（ ）．
A B. C. D.
5. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
6. 已知直三棱柱中，，，，D是中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 圆锥中，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，底面圆半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点，则面积的最大值为（ ）
A. 4 B. C. D. 6
8. 已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有唯一解，则或
D. 若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则点P的轨迹长为
B. 在线段上存在点P，使得直线PM与直线异面直线
C. 若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等
D. 过点P可以作4条直线与，AC均成角
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________.
13. 如图，已知四棱锥底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为__________.
14. 已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的周长.
16. 如图，已知在长方体中，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面
（1）求的长；
（2）求三棱锥.
18. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
（1）若，求的面积；
（2）证明：；
（3）若，求的面积的取值范围.
19. 如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，.
（ⅰ）求二面角的余弦值；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
