2024年广东省广州市九年级数学三模预测试卷
全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 如图，交通锥是由一个圆台和长方体底座组成的一种临时道路标示，则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
2. 截止到2023年底，我国用户达到．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 4 5 6 5
课外书数量（本） 5 6 7 8
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．7，8 B．6，7 C．，7 D．7，7
4. 代数式有意义时，则x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，
其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．
已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
若点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，
正确的是（ ）
A. B. C. D.
8 .一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．
若，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，
则的值等于（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．分解因式：n2﹣100= ．
12 . 一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球 个．
13. 某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是________．
14．如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
15..如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，
点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，
则k的值为 ．
16．如图，将矩形沿着翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是 ．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 解分式方程．
18. 先化简再求值： 其中
19. 如图，在中，过对角线的中点O 作直线，分别交的延长线，的延长线于点E ，M，N ， F．求证：．
为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，
对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研．
【确立样本】
已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，
下列选取样本的方法中最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在每班抽取10个成绩较好学生．
②在每班按照学号随机抽取10名学生．
③在前3个班每班随机抽取20人进行调查．
【收集数据】
利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：
......39，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，75......
【整理数据】
按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：
组别 每天阅读的总时长（分钟） 频数 该组内学生每天阅读总时长的平均值（分钟）
A组 12 10
B组 15 32
C组 12 b
D组 15 70
E组 a 90
（每天阅读的总时长）各组人数分布扇形统计图
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
（2） ； ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟．
（3）C组数据的众数是 分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，
其中C组对应扇形的圆心角为 度．
（4）已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数．
21. 由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、点．
(1)求此一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图所示，请直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上存在一点P，使的周长最小，直接写出点P的坐标．
23. 图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背与座垫的夹角，座垫与脚托垂直，即，且点D恰好落在水平地面上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节和分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：，，．在电动调节过程中始终满足，且．
（1）在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离；
（2）在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离．
（参考数据：，，，，，，结果精确到）
24. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），
与y轴相交于C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最值时，求点P的坐标．
在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？
如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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25. 如图在四边形中，，，，，，点在边上，且.将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，连接.
（1）若点在上，求证：；
（2）如图2，连接，直接写出的度数；当时，请求出的长度；
（3）若点到的距离为，直接写出的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年广东省广州市九年级数学三模预测试卷解析
全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 如图，交通锥是由一个圆台和长方体底座组成的一种临时道路标示，则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三视图，根据三视图的看法即可求解，熟练掌握三视图的看法是解题的关键．
【详解】解：从上边看，是一个正方形，正方形内部有两个同心圆．
故选C．
2. 截止到2023年底，我国用户达到．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】将用科学记数法表示为．
故选：C．
4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 4 5 6 5
课外书数量（本） 5 6 7 8
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．7，8 B．6，7 C．，7 D．7，7
【答案】D
【分析】本题主要考查了求中位数和求众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：∵阅读量为7本的人数最多，
∴众数为7；
把阅读量按照从低到高排列，处在第10名和第11名的阅读量分别为7本，7本，
∴中位数为，
故选：D．
4. 代数式有意义时，则x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【详解】解： 代数式有意义，
，
．
故选：A．
5. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，
其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．
已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
若点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出，，的值，即可得出结论．
【详解】解：，，都在反比例函数的图象上，
∴，，．
∴．
故选C．
有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，
正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较，正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键．在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，再根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，即可判断答案．
【详解】在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，则a，，b按照从小到大的顺序排列为．
故选：A．
8 .一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：A．
9.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．
若，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，也考查了平行四边形的性质．过点作于点，如图，在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理得到，再根据平行四边形的性质得到，，接着根据基本作图得到，平分，然后证明得到，所以，最后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
，
，
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
∴，，
，
由作法得，平分，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
故选：C．
10. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，
则的值等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，，证明可得，根据勾股定理可求得，，由得，，通过，进而求两个正方形的面积的比．
【详解】设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故选：C．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．分解因式：n2﹣100= ．
【答案】（n-10）（n+10）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：n2-100=n2-102=（n-10）（n+10）．
故答案为：（n-10）（n+10）．
12 . 一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球 个．
【答案】8
【分析】根据共摸球30次，其中10次摸到白球，可知随机摸出一球，摸到白球的概率约为，可求出总球数，再求黄球个数即可．
【详解】解：根据共摸球30次，其中10次摸到白球，可知摸到白球的概率约为，
不透明的袋子中球的个数为：（个），黄球的个数为12-4=8（个），
故答案为：8．
13. 某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲种套票买了x张，则乙种套票买了张，根据“40名学生恰好用去2900元”列出方程并解答即可．
【详解】解：设甲种套票买了x张，则乙种套票买了张，
依题意得：，
解方程得：．
即甲种套票买了10张．
故答案为：10．
14．如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
15..如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，
点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，
则k的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．
【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴，即，
解得：CG=，
∴点G（，1），
代入可得：k=，
故答案为：．
16．如图，将矩形沿着翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是 ．
【答案】①④⑤
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为中点，点E为中点，设，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断③；利用相似三角形的判定和性质分析判断和和的数量关系，从而判断④和⑤；根据相似三角形的判定分析判断②．
【详解】解：由折叠性质可得：，，，，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
设，则，
∴，
在中，，
，
解得：，
∴，故③错误；
在中，设则，
解得：
在中，
故④⑤正确；
∵，
∴
∴不相似，故②错误；
综上，正确的是①④⑤，
故答案为：①④⑤．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 解分式方程．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法，通过去分母将分式方程转化为整式方程后求解，再将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为零，则整式方程的解是原分式方程的解，否则不是原分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题的关键．方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解．
【详解】解：，
，
，
解得，
检验：当，，
所以，是原方程的根．
18. 先化简再求值： 其中
【答案】， 6
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
19. 如图，在中，过对角线的中点O 作直线，分别交的延长线，的延长线于点E ，M，N ， F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由平行四边形ABCD,可得，，则，证明，则，由，可得．
【详解】证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，
对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研．
【确立样本】
已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，
下列选取样本的方法中最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在每班抽取10个成绩较好学生．
②在每班按照学号随机抽取10名学生．
③在前3个班每班随机抽取20人进行调查．
【收集数据】
利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：
......39，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，75......
【整理数据】
按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：
组别 每天阅读的总时长（分钟） 频数 该组内学生每天阅读总时长的平均值（分钟）
A组 12 10
B组 15 32
C组 12 b
D组 15 70
E组 a 90
（每天阅读的总时长）各组人数分布扇形统计图
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
（2） ； ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟．
（3）C组数据的众数是 分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，
其中C组对应扇形的圆心角为 度．
（4）已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数．
【答案】（1）②
（2）6；51；45
（3）53；72
（4）超过60分钟的学生人数为105人
【解析】
【分析】（1）根据抽取样本的随机性，广泛性选取即可；
（2）将样本容量减去其他四组的频数即可求出的值；由【收集数据】中所给的数据，计算出本组的平均数即可得到的值；根据中位数的确定方法即可确定本次问卷调查中阅读总时长的中位数为多少分钟；
（3）根据众数的确定方法即可确定组数据的众数；将组数据个数除以60，再乘以，即可求出组对应扇形的圆心角度数；
（4）用样本估计总体的思想即可估计出七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数．
【详解】解：（1）由随机抽样的特点可知：②在每班按照学号随机抽取10名学生最合理．
故答案为：②；
（2）；
组中的数据为：41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，
；
，，
个数据有小到大排列第30，第31个数据是组中的第3，第4个数据，即44，46，
本次问卷调查中阅读总时长的中位数为（分钟），
故答案为：6；51；45；
（3）组中53出现4次是出现次数最多的数据，
组数据的众数是：53分钟；
组对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：53，72；
（4）（人，
答：超过60分钟的学生人数为105人．
21. 由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
【答案】（1）型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元
（2）购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元
【解析】
【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，依题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，依题意列出不等式和表示出利润，然后根据一次函数的性质求解即可．
本题考查了二元一次方程组、一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【小问1详解】
设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，
解得，
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元；
【小问2详解】
设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，
依题意得：，
，
随的增大而增大，
又，
，
当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元，
此时（辆），
答：购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、点．
(1)求此一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图所示，请直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上存在一点P，使的周长最小，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)P点坐标为
【分析】（1）把点代入，可得，
从而得到B点坐标为，再由待定系数法解答，即可求解；
观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
或两函数图象相交于点、点，即可求解；
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，
求出直线A'B的表达式，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例的图象经过点，
∴，
∴反比例函数表达式为：，
∵反比例的图象经过点，
∴，解得：，
∴B点坐标为，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：∴，
∴一次函数表达式为：；
（2）解：观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
或两函数图象相交于点、点，
∴不等式的解集为；
（3）解：如图，作点A关于x轴的对称点A'，
连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，
∵点A'和A（-1，2）关于x轴对称，
∴点A'的坐标为（-1，-2），
设直线A'B的表达式为y=ax+c，
把点A'（-1，-2），，代入得：
，解得：，
∴直线A'B的表达式为，
当y=0时，，
∴P点坐标为．
23. 图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背与座垫的夹角，座垫与脚托垂直，即，且点D恰好落在水平地面上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节和分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：，，．在电动调节过程中始终满足，且．
（1）在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离；
（2）在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离．
（参考数据：，，，，，，结果精确到）
【答案】（1）靠背的最高点A到水平地面的距离为
（2）电动沙发伸展的最大水平距离为
【解析】
【分析】（1）延长至点H，过点A作，交于点Q，交于点P，由题意可得，在中，利用锐角三角函数求得，再根据平行线定理可得，再利用求解即可；
（2）l为所在直线，过点作，垂直为点S，过点作，垂足为点T，根据题意求得，在中，利用锐角三角函数求得，再根据，，求得，在中，利用锐角三角函数求得，再利用求解即可．
【小问1详解】
解：延长至点H，过点A作，交于点Q，交于点P，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵平行线之间的距离处处相等，
∴，
∵，
答：靠背的最高点A到水平地面的距离为；
【小问2详解】
解：l为所在直线，过点作，垂直为点S，过点作，垂足为点T，
当电动沙发伸展的最大水平距离时，即，
∴，，
由题意可知，，，
在中，，
又∵，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：电动沙发伸展的最大水平距离为．
24. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），
与y轴相交于C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最值时，求点P的坐标．
在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？
如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），
∴c＝3，﹣＝1，
∴b＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点M（1，4），
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），
∴0＝﹣x2+2x+3
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
∵点M（1，4），点B（3，0）
∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，
∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，
∴点P（3﹣，m），
∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，
∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），
∴0＜m≤4
∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）
②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S有最大值为，
∴点P（，3）
∵0＜m≤4时，S没有最小值，
综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；
（3）存在，
若PC＝PD＝m时，
∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），
∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，
∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，
∴点P（﹣6+3，18﹣6）；
若DC＝PD＝m时，
∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，
∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，
∴点P（4﹣，﹣2+2）；
若DC＝PC时，
∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，
∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）
综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．
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25. 如图在四边形中，，，，，，点在边上，且.将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，连接.
（1）若点在上，求证：；
（2）如图2，连接，直接写出的度数；当时，请求出的长度；
（3）若点到的距离为，直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）的值为或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出，即可得到；
（2）首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；画出图形，然后证明出，利用相似三角形的性质求出，，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分为两种情况讨论：当点在上时，过点作于点，则；当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点；利用相似三角形的判定与性质求解．
【小问1详解】
证明：将线段绕点顺时针旋转到，
，
的平分线所在直线交折线于点，
，
，
，
；
【小问2详解】
，，，
，
，，
，，
，
；
如图2，当时，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，即，
解得：；
【小问3详解】
如图所示，当点在上时，过点作于点，则，，
，，，
，，
，
，
，
，
如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，
，
，
，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述，的值为或．
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