苏科版八年级下学期期末期末考试易错题专项练习
【考试题型1】分式的判断
1．（23-24八年级下·四川内江·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
【详解】解：、、是整式，
、、时分式．
故选：B．
【考试题型2】分式有意义、无意义、值为0的条件
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义．试求的值．
【答案】2
【分析】本题考查了分式值为0的条件以及分式有意义的条件，分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，据此可得a的值；分式无意义的条件是分母等于零，据此可得b的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：将代入，得．
∵当时，分式的值为0，
∴，，
∴，．
将代入，得．
∵当时，分式无意义，
∴，
∴．
∴．
3．（22-23八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式，求下列问题：
(1)当满足什么条件，分式无意义；
(2)当满足什么条件，分式有意义；
(3)当满足什么条件，分式的值等于0．
【答案】(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可；
（2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可；
（3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可．
【详解】（1）解：由题可得，
解得：或，
∴当或时，分式无意义；
（2）解：由题可得，
解得：且，
∴当且时，分式有意义；
（3）解：由题可得，
解得，
∴当时，分式的值等于0．
【点睛】本题考查分式有意义，无意义，值为0时的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的条件是解题的关键．
【考试题型3】分式的基本性质
4．（21-22七年级下·广西百色·期末）把分式中的x、y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案，解题关键是掌握分式的基本性质．
【详解】解： ，
把分式中的、都扩大到原来的2倍，分式的值不变，
故选：B．
5．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ）
A．是原来的100倍 B．是原来的10倍
C．不变 D．是原来的倍
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质计算即可得出答案，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】∵
∴分式的的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值是原分式值的10倍，
故选：B．
6．（22-23八年级上·内蒙古乌海·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：．
故选：D
【考试题型4】判断最简分式、最简公分母
8．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，是最简分式，故本选项符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
【详解】分式与的最简公分母是，
故选：D．
【考试题型5】分式的求值
10．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
11．（22-23八年级上·广东广州·期末）回答下列问题
(1)若，则________，________．
(2)若，则________；
(3)若，求的值．
【答案】(1)6；2
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可；
（2）根据完全平方公式的变形可知据此求解即可；
（3）先根据已知式子求出，同（2）求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：6；2；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
【考试题型6】约分、通分
12．（21-22八年级上·湖南娄底·期末）化简约分
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)6b
(2)
(3)
【分析】（1）原式约去分子与分母的公因式即可；
（2）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可；
（3）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可．
【详解】（1）=
（2）
=
=
（3）
=
=
【点睛】本题主要考查了分式的约分，能够正确进行因式分解是解答本题的关键
13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，．
【答案】，，
【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可．
【详解】解：最简公分母是，
则，
，
．
【考试题型7】整式与分式相加减
14．（23-24八年级上·山东临沂·期末）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是：
（1）先通分，再计算同分母分式的减法即可；
（2）先变形为，再利用完全平方公式展开．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
15．（20-21九年级下·浙江·期末）下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．
……①
……②
……③
上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．
【答案】错误，从第①步开始出错，正确的解题过程见解析．
【分析】根据分式的减法法则即可得．
【详解】由分式的减法法则可知，上面的解题过程错误，从第①步开始出错，正确的解题过程如下：
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
【考试题型8】分式加减乘除混合运算
16．（2024·甘肃陇南·三模）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
．
17．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括号没有变号；任务二：．
【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．
任务一：①根据通分的定义判断即可；②根据去括号法则判断即可；
任务二：根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：一，分式的基本性质；
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号，
故答案为：二，去括号没有变号；
任务二：
．
18．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
(1)第二步的依据是______；
(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
【答案】(1)分式的基本性质
(2)四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号
(3)
(4)在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）
【分析】本题考查分式的混合运算，
（1）根据分式的基本性质，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（4）根据分式的混合运算以及化简，即可解答；
掌握分式的基本性质及运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：第二步的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）亮亮从第四步开始出现错误，该步错误的原因是括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号，
故答案为：四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号；
（3）
；
（4）在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）．
【考试题型9】分式化简求值
19．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）先化简再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算进行计算后，再代值计算即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
，
，
，
由题意得，且，
∴时，
原式，
．
21．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）先化简，再求值：，其中使得分式的值为．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式值为0的条件，先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求出x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵使得分式的值为，
∴，
∴，
∴原式
【考试题型10】分式方程的定义
关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
【考试题型11】解分式方程
22．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）解分式方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式方程的解法；
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
去分母得：
解得：
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为．
（2）解：
去分母得：
解得：
经检验是原方程的解,
所以原方程的解为．
23．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）（1）当为何值时，分式 与互为相反数？
（2）解方程：．
【答案】（1）当时，分式 与互为相反数；（2）原方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，相反数的定义：
（1）根据相反数的定义可得方程，解方程即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，然后检验即可．
【详解】解：（1）由题意得，，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴当时，分式 与互为相反数；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【考试题型12】根据分式方程解的情况求值
24．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了解分式方程，先化简分式方程，得出用含的代数式表示，再结合关于x的方程的解大于，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∵关于x的方程的解大于，
∴，
解得，
∵
∴
解得
∴m的取值范围为且．
25．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程无解，求的值；
(2)若这个方程的解是非负数，求的值．
【答案】(1)3或
(2)且
【分析】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
（1）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．
（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可．
【详解】（1），
两边都乘以，得
，
∴，
当时，分式方程无解，此时．
当时，分式方程无解，此时即．
综上可知，若这个方程无解，的值为3或；
（2）∵，
∴，
由题意，得
且，
解得且．
26．（22-23八年级下·四川达州·期末）已知关于的方程．
(1)当取何值时，此方程的解为？
(2)当取何值时，此方程会产生增根？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入分式方程计算即可；
（2）将分式方程去分母转化成整式方程，将代入整式方程解出值即可．
【详解】（1）将代入分式方程得：，
，
解得；
（2），
去分母得：，
将代入整式方程得：，即．
当时，此方程会产生增根．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根问题，增根是整式方程的解，但不是分式方程的解．
【考试题型13】分式方程的实际应用
27．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？
【答案】“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元
【分析】本题考查了分式方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元.
28．（23-24八年级上·山东威海·期末）某地计划植树棵，由于志愿者的积极参与，实际每天植树的棵数比计划增加了，结果提前天完成任务．求实际每天植树多少棵．
【答案】棵
【分析】此题考查了分式方程的应用；依据题意设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，列出方程，求出，检验后，最后代入，即可得到答案．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：实际每天植树500棵．
29．（18-19八年级下·广东深圳·期末）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框 (不计材料损耗)
【答案】(1)制作甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米
(2)应安排米材料制作甲种边框
【分析】题目主要考查分式方程及一元一次方程的应用，理解题意，根据题意列出方程是解题关键．
（1）设制作一个乙种边框需用材料米，根据题意列出方程求解即可；
（2）应安排米材料制作甲种边框，根据题意列出一元一次方程求解即可得出结果；
【详解】（1）解：设制作一个乙种边框需用材料米，则制作一个甲种边框需用材料米，
由题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解，
当时，，
答：制作一个甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米；
（2）设应安排米材料制作甲种边框，由题意得：
解得：，
答：应安排米材料制作甲种边框．
【考试题型14】反比例函数的判断
30．（23-24九年级上·山东济宁·期末）下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的形式是解题的关键，
根据反比例函数的一般形式逐一判断即可．
【详解】A、不符合的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意；
B、不符合的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意；
C、符合的形式，是反比例函数，故选项符合题意；
D、不符合的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意；
故选：C
31．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
【答案】y＝（x+1）+
【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解
【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算．
32．（20-21九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值．
【答案】．
【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键．
【考试题型15】反比例函数的图象与性质
33．（23-24九年级上·山东济宁·期末）若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，据此判断出，在第二象限，在第四象限，再由增减性可得．
【详解】解：∵反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴，在第二象限，且，
∴，
∵在第四象限，
∴，
∴，
故选：B．
34．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知反比例函数则下列结论不正确的是（ ）
A．图像必过点 B．若，则
C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，把代入可判断A；根据反比例函数的性质可判断B，C，D，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
【详解】A．当代入，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意；
B．∵当时，，
∴若，则，故结论正确，选项B不符合题意；
C．∵反比例函数，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项C符合题意；
D．∵反比例函数，
∴该函数图象位于第二、四象限，故结论正确，选项D不符合题意；
故选：C．
35．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，
∴，
∴，
故选：D．
36．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可．
【详解】解：当时，，
反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故C，D错误；
当时，，
反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故B选项错误，A选项正确；
故选：A．
【考试题型16】求反比例函数解析式
37．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（ ）
A． B．1 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式．把个点分别代入，求得的值即可判断．
【详解】解：当函数的图象经过点时，；
当函数的图象经过点时，；
当函数的图象经过点时，；
当函数的图象经过点时，；
所以的最大值为6，
故选：C．
38．（23-24九年级上·山东烟台·期末）若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，函数图象点的坐标特征，先利用点的坐标求出反比例函数解析式，再把点坐标代入计算即可求解，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
又∵点也在反比例函数图象上，
∴，
故选：．
39．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，根据矩形的性质，设，由点E和点C在反比例函数上，求出a的值，得到，即可求出求出的值．
【详解】解：四边形是矩形，，点为边的中点，
，
设，
点E和点C在反比例函数上，
，
解得：，
，
，
故选：D．
【考试题型17】一次函数与反比例函数综合求三角形面积
40．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数的解析式和的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．
（1）把点代入求得的值，再求得，利用待定系数法即可求解；
（2）利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得：，即，
∵一次函数图象经过，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
∴点，
∴，
∴．
41．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，且的面积为15，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式．
（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点B的坐标，代入即可；
（2）首先求出点C的坐标为，再根据的面积为15，求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得：，
∴B的坐标为，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：把代入中，得，
∴点C的坐标为，
∵点A的纵坐标等于6，
∴，
∴，
设点，
或，
∴点M的坐标为或．
【考试题型18】利用反比例函数解决实际问题
42．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)当时，求V的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，
（1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答；
（2）将代入（1）中求得的函数解析式，即可解答，
熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为；
（2）解：当时，代入，可得，
解得：．
43．（23-24九年级上·广西北海·期末）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式为．
(1)当镜片焦距是时，近视眼镜的度数是多少度？
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少？
(3)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数下降了多少度？
【答案】(1)当镜片焦距是0.1m时，近视眼镜的度数是1000度
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是
(3)小明的眼镜度数下降了100度
【分析】本题考查了反比例函数的应用:
（1）把，代入即可得到结论；
（2）把代入即可得到结论；
（3）当时，求得，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为y，
当时，，
答：当镜片焦距是时，近视眼镜的度数是1000度；
（2）解：当时，，
答：当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是；
（3）解：当时，，
∴（度），
答：小明的眼镜度数下降了100度．
44．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值．
(1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）；
(2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式；
(3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定）
【答案】(1)反比例函数
(2)
(3)串入的滑动电阻需增加欧姆
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是：
（1）根据反比例函数的定义判断即可；
（2）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可．
【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值，
，
即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系，
故答案为：反比例函数；
（2），
，
；
（3）A，
，
解得，
，
答：滑动电阻需增加10．
【考试题型19】二次根式有意义的条件
45．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【考试题型20】利用二次根式的性质化简
46．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，化简算术平方根和绝对值，根据数轴上的数右边比左边的大，判断出实数和式子的符号，再进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式．
47．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，二次根式的性质，先由数轴判断出的符号，再根据绝对值和二次根式的性质化简后进行运算即可得到结果，由数轴判断出的符号是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，
，
．
【考试题型21】二次根式的乘除混合运算
48．（22-23八年级上·福建漳州·期末）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法和除法运算法则、零指数公式将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式将原式化简，再进行加减运算即得出答案；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
49．（22-23八年级下·山东泰安·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂进行计算，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式、完全平方公式、二次根式的性质进行计算，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
【考试题型22】已知同类二次根式求参数值
50．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知是最简二次根式，且与可以合并．
(1)求x的值；
(2)求与的乘积．
【答案】(1)9；
(2)5．
【分析】（1）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵是最简二次根式，且与可以合并，
∴，
解得；
（2）解：当时，．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
51．（22-23八年级上·福建福州·期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：．
【答案】
【分析】根据同类二次根式的定义列出方程求解，然后根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并
∴，
解得．
∵，
∴，
【点睛】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式，解题关键是熟记，准确进行计算求解．
【考试题型23】已知字母的值/条件式，化简求值
52．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，
（1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可；
（2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可；
【详解】（1）原式，
（2）∵，
∴原式
53．（23-24八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式
54．（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【详解】解：依题意得：且，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【考试题型24】判断总体、个体、样本、样本容量
55．（22-23八年级下·江苏南京·期中）昆山市今年共约有21000名考生参加体育中考，为了了解这21000名考生的体育成绩，从中抽取了2000名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查
B．每一名考生是个体
C．抽取的2000名考生的体育成绩是总体的一个样本
D．样本容量是2000名考生
【答案】C
【分析】本题考查了抽样调查、个体、样本、样本容量；
个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此结合抽样调查的定义判断即可．
【详解】解：A.该调查方式是抽样调查，原说法错误；
B.每一名考生的体育成绩是个体，原说法错误；
C.抽取的2000名考生的体育成绩是总体的一个样本，说法正确；
D.样本容量是2000，原说法错误；
故选：C．
56．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）某校从800名学生的百米测试成绩中随机抽取了100名学生的百米测试成绩进行了调查，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查 B．每名学生的百米测试成绩是个体
C．样本是800 名学生 D．100名学生的百米测试成绩是总体
【答案】B
【分析】本题考查抽样调查相关概念，解题的关键是掌握相关的定义，根据相关定义处理即可．
【详解】解：A．此调查方式为抽样调查，本选项不合题意；
B．每名学生的百米测试成绩是个体，根据定义，本选项符合题意；
C．样本是100名学生的测试成绩，本选项不合题意；
D．800名学生的百米测试成绩是总体，本选项不合题意．
故选：B．
【考试题型25】根据数据描述求频率
57．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列实数中，无理数出现的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查立方根和算术平方根，无理数的判断，频率的计算，解题关键在于掌握无理数的三种形式．首先计算立方根，然后判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，进而判断，再求频率即可．
【详解】解：，
5个实数中 ，
无理数有：，一共3个；
故无理数出现的频率为，
故选：C．
【考试题型26】判断事件发生可能性大小
58．（23-24八年级上·北京石景山·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．“在标准大气压下，将水加热到，水会沸腾”是随机事件
B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件
C．投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上
D．“事件可能发生”是指事件发生的机会很多
【答案】B
【分析】
本题考查事件发生的可能性，事件的分类，随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，根据定义逐项判断即可．
【详解】解：“在标准大气压下，将水加热到，水会沸腾”是必然事件，不是随机事件，故A选项不正确；
随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件，故B选项正确；
投掷一枚硬币10次，不一定有5次正面向上，故C选项错误；
“事件可能发生”是指事件可能发生，也可能不发生，不是指事件发生的机会很多，故D选项错误；
故选：B．
【考试题型27】频率与概率说法正误
59．（19-20七年级下·辽宁阜新·期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．事件发生的频率就是它发生的概率
B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率
C．事件发生的频率与它发生的概率无关
D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动
【答案】D
【分析】根据概率的定义，以及概率与频率的关系，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：事件发生的频率不一定是它发生的概率；故A错误；
在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率；故B错误；
事件发生的频率与它发生的概率是有关系的，故C错误；
随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动；故D正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确掌握频率与概率的关系是解题关键．
【考试题型28】用频率估计概率
60．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）一个口袋中装有分别写有“兴文”“石海”字的小球共20个，它们除此之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到“兴文”球的频率稳定在左右，则估计这个口袋中“兴文”球的个数为（ ）
A．14个 B．13个 C．7个 D．6个
【答案】B
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“兴文”球的频率稳定在左右进行求解即可．
【详解】设口袋中“兴文”球有x个，
根据题意，得：，
所以估计口袋中 “兴文”球有个．
故选：B
61．（22-23九年级上·广东珠海·期中）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有（ ）
A．15个 B．20个 C．21个 D．24个
【答案】D
【分析】用球的总个数乘以摸到黄色球的频率的稳定值即可．
【详解】解：估计箱子里黄色球有（个），
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【考试题型29】判断生活中的旋转现象
62．（22-23七年级下·广西来宾·期末）有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：
②传送带的移动，是平移，故不符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④风车的转动，是旋转，故符合要求；
⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；
⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【考试题型30】找旋转中心、旋转角、对应点
63．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，绕点P逆时针旋转一个角度得到，则下面选项中不能表示旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，关键是掌握旋转角的定义．旋转角是指旋转中心与旋转前后的对应点连线的夹角，由此即可判断．
【详解】解：由旋转角的定义知，、都是旋转角，
故B、C、D不符合题意；
∵C旋转后的对应点是F，
∴不是旋转角，
∴A符合题意．
故选：A．
64．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，
，
，的垂直平分线的交点为，
旋转中心是点，
故选：B．
【考试题型31】画两个图形的对称中心
65．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知的顶点均为格点，且点A的坐标为．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)画出将绕原点O按顺时针方向旋转，所得的；
(3)与成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴；
(4)与成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)成轴对称，见解析
(4)成中心对称，对称中心坐标为
【分析】（1）分别作出、关于x轴的对称点、，依次连线，即可求解；
（2）分别作出、、绕原点O按顺时针方向旋转的对应点、、，依次连线，即可求解；
（3）分别作线段、、的垂直平分线，由于三条直线重合，即可求解；
（4）连接，、，可得，，，，，，直线的解析式为，直线的解析式为：，直线的解析式为：，从而可求直线与直线的交点，可证直线，直线、直线交于同一点，再证，，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
为求作的三角形．
（2）解：如图，
，为求作的三角形．
（3）解，如图，
分别作线段、、的垂直平分线，三条直线重合，
直线为所求作的对称轴．
（4）解：如图，连接，、，
，，，，，，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
，
解得：，
直线与直线的交点，
同理可求直线与直线的交点，
直线与直线的交点，
直线，直线、直线交于同一点，
，
，
，
同理可证：，，
与成中心对称，对称中心坐标为．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称的性质作轴对称图形并两个判断图形是否成轴对称，利用旋转的性质作旋转对称图形，用中心对称定义判断两个图形是否成轴对称，一次函数待定系数法求解析式，求两直线交点坐标，理解轴对称、旋转、中心对称的定义及性质，掌握作法是解题的关键．
【考试题型32】根据中心对称/旋转的性质求解
66．（23-24九年级上·河南新乡·期中）是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点C B．
C． D．点D是中点
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解．
【详解】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，
∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点，
∴A、B、C结论正确．
故选：D．
67．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，点O是等边内的任一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)．见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质和勾股定理等知识点，
（1）根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可；
（2）连接，证明是等边三角形，得出，根据勾股定理可得出结论；
熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴；
（2）线段之间的数量关系是．
如图，连接．
∵绕点C按顺时针方向旋转得，
∴．
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
．
∴．
在中，，
∴．
∴．
68．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，是等腰直角的斜边上的两个动点，，将绕点A逆时针旋转后与重合，连接．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，则的长度为__________．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)8
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解；
（2）由“”可证 ，可得；
（3）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）在等腰直角三角形中，
，
绕点A逆时针旋转后与重合，
，
，
，
（2）根据旋转的性质得：
，，
，
，
在和中
，
，
（3）由（1）、（2）得，，旋转的性质得
，，
，，
，，
在中
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键．
69．（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明， 灵活运用所学知识是解题的关键．
【详解】证明：∵与关于点G中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
70．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为平方米
【分析】根据中心对称图形的性质可得阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，即可求解．
【详解】解：因为观赏鱼池是中心对称，且米，
所以阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，
所以阴影部分的面积为（平方米），
答：阴影部分的面积为平方米．
【考试题型33】已知两点关于原点中心对称求参数
71．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知点与点关于原点对称，求的值．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数列式计算即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称
∴
解得
∴．
故的值为2．
【点睛】本题考查了关于原点对称问题，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
72. （21-22九年级上·江西赣州·期末）已知点与点关于原点对称，求点P、Q两点的坐标，并直接写出PQ的长．
【答案】点P（－12，－6），点Q（12，6），PQ的长为
【分析】根据两点关于原点对称,横坐标，纵坐标分别互为序号数，建立方程组，确定a，b的值，从而确定点的坐标，利用两点间的距离公式计算PQ的长度
【详解】∵点与点关于原点对称，
∴，
解得，
∴点P（－12，－6），点Q（12，6）．
∴PQ．
【点睛】本题考查了点的对称，二元一次方程组，两点间的距离公式，熟练掌握对称的意义和距离公式是解题的关键．
【考试题型34】添加一个条件使之成为特殊四边形
73．（17-18八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．∵，，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C．当，时，
四边形可能为等腰梯形，
所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
D．∵，，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意．
故选：C．
74．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是正方形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
【答案】B
【分析】本题考查了特殊四边形的判定定理，平行四边形的性质，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，则，
A．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
B．当时，四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
C．当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【考试题型35】特殊四边形的证明
75．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
76．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形的面积为
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证；
（2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
77．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题．
【详解】（1）证明： ，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
78．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点在对角线上，点在边上（点与点、不重合），，．
(1)求的度数；
(2)求证：四边形是正方形．
【答案】(1)
(2)见解析．
【分析】（1）由余角的性质可得，，即可求解；
（2）由三角形内角和定理可求，可得，即可求解．
本题考查了正方形的判定，矩形的性质，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
矩形是正方形．
79．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E，F分别是和的中点，连接和，过点A作交的延长线于点G．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当点B是中点时，求证：四边形是菱形；
(3)在（2）的条件下，不增加辅助线，再增加一个什么条件，能使四边形是正方形？写出这个条件．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)增加条件：在中，
【分析】（1）由四边形是平行四边形得出且，然后由中点的性质得出，然后利用一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形；
（2）先由平行四边形的性质得出且，然后证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形对角相等得出，再根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可证明平行四边形是菱形；
（3）增加条件：在中，，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质，证明，得出四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴且，
∵E，F分别是和的中点，
∴，，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∵点B是中点，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴，
又∵E是中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
（3）解：增加条件：在中，，理由如下：
根据解析（2）可知，，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
∵E是中点，
∴，
∴，
∴菱形为正方形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定性质，正方形的判定，掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
80．（20-21八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，AD是△ABC的中线，过点A、B分别作BC、AD的平行线，两平行线相交于点E．
(1)求证：AE=CD；
(2)当AB、AC满足什么条件时，
①四边形AEBD是矩形？请说明理由；
②四边形AEBD是菱形？请说明理由；
③四边形AEBD是正方形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①AB=AC；理由见解析；②AB⊥AC；理由见解析；③AB=AC且AB⊥AC；理由见解析
【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再根据AD是△ABC的中线，即可证得．
（2）根据特殊四边形AEBD的性质，反推回关于AB、AC的条件，再正向证明即可．
【详解】（1）证明：∵AE//BD，AD//BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE=BD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴AE=CD．
（2）（2）①AB=AC
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ADCD，
∴∠BDA=90°．
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形，
②AB⊥AC
∵AB⊥AC，AD是△ABC的中线，
∴BD=AD．
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是菱形．
③AB=AC且AB⊥AC
∵AB=AC且AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角形
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=AD，BD⊥AD，
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是正方形．
【点睛】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定等知识点的应用．
苏科版八年级下学期期末期末考试易错题专项练习
【考试题型1】分式的判断
1．（23-24八年级下·四川内江·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考试题型2】分式有意义、无意义、值为0的条件
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义．试求的值．
3．（22-23八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式，求下列问题：
(1)当满足什么条件，分式无意义；
(2)当满足什么条件，分式有意义；
(3)当满足什么条件，分式的值等于0．
【考试题型3】分式的基本性质
4．（21-22七年级下·广西百色·期末）把分式中的x、y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍
5．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ）
A．是原来的100倍 B．是原来的10倍
C．不变 D．是原来的倍
6．（22-23八年级上·内蒙古乌海·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考试题型4】判断最简分式、最简公分母
8．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【考试题型5】分式的求值
10．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？
11．（22-23八年级上·广东广州·期末）回答下列问题
(1)若，则________，________．
(2)若，则________；
(3)若，求的值．
【考试题型6】约分、通分
12．（21-22八年级上·湖南娄底·期末）化简约分
(1)
(2)
(3)
13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，．
【考试题型7】整式与分式相加减
14．（23-24八年级上·山东临沂·期末）计算
(1)；
(2)．
15．（20-21九年级下·浙江·期末）下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．
……①
……②
……③
上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．
【考试题型8】分式加减乘除混合运算
16．（2024·甘肃陇南·三模）化简：．
17．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
18．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
(1)第二步的依据是______；
(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
【考试题型9】分式化简求值
19．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）先化简再求值：，其中．
20．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．
21．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）先化简，再求值：，其中使得分式的值为．
【考试题型10】分式方程的定义
关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【考试题型11】解分式方程
22．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）解分式方程
(1)
(2)
23．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）（1）当为何值时，分式 与互为相反数？
（2）解方程：．
【考试题型12】根据分式方程解的情况求值
24．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围．
25．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程无解，求的值；
(2)若这个方程的解是非负数，求的值．
26．（22-23八年级下·四川达州·期末）已知关于的方程．
(1)当取何值时，此方程的解为？
(2)当取何值时，此方程会产生增根？
【考试题型13】分式方程的实际应用
27．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？
28．（23-24八年级上·山东威海·期末）某地计划植树棵，由于志愿者的积极参与，实际每天植树的棵数比计划增加了，结果提前天完成任务．求实际每天植树多少棵．
29．（18-19八年级下·广东深圳·期末）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框 (不计材料损耗)
【考试题型14】反比例函数的判断
30．（23-24九年级上·山东济宁·期末）下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
31．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
32．（20-21九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值．
【考试题型15】反比例函数的图象与性质
33．（23-24九年级上·山东济宁·期末）若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
34．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知反比例函数则下列结论不正确的是（ ）
A．图像必过点 B．若，则
C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内
35．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考试题型16】求反比例函数解析式
37．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（ ）
A． B．1 C．6 D．8
38．（23-24九年级上·山东烟台·期末）若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
39．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考试题型17】一次函数与反比例函数综合求三角形面积
40．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数的解析式和的值；
(2)求的面积．
41．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，且的面积为15，求点的坐标．
【考试题型18】利用反比例函数解决实际问题
42．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)当时，求V的值．
43．（23-24九年级上·广西北海·期末）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式为．
(1)当镜片焦距是时，近视眼镜的度数是多少度？
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少？
(3)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数下降了多少度？
44．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值．
(1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）；
(2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式；
(3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定）
【考试题型19】二次根式有意义的条件
45．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
【考试题型20】利用二次根式的性质化简
46．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
47．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
【考试题型21】二次根式的乘除混合运算
48．（22-23八年级上·福建漳州·期末）计算：
(1)．
(2)．
49．（22-23八年级下·山东泰安·期末）计算：
(1)；
(2)．
【考试题型22】已知同类二次根式求参数值
50．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知是最简二次根式，且与可以合并．
(1)求x的值；
(2)求与的乘积．
51．（22-23八年级上·福建福州·期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：．
【考试题型23】已知字母的值/条件式，化简求值
52．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
53．（23-24八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，．
54．（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值．
【考试题型24】判断总体、个体、样本、样本容量
55．（22-23八年级下·江苏南京·期中）昆山市今年共约有21000名考生参加体育中考，为了了解这21000名考生的体育成绩，从中抽取了2000名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查
B．每一名考生是个体
C．抽取的2000名考生的体育成绩是总体的一个样本
D．样本容量是2000名考生
56．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）某校从800名学生的百米测试成绩中随机抽取了100名学生的百米测试成绩进行了调查，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查 B．每名学生的百米测试成绩是个体
C．样本是800 名学生 D．100名学生的百米测试成绩是总体
【考试题型25】根据数据描述求频率
57．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列实数中，无理数出现的频率为（ ）
A． B． C． D．
【考试题型26】判断事件发生可能性大小
58．（23-24八年级上·北京石景山·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．“在标准大气压下，将水加热到，水会沸腾”是随机事件
B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件
C．投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上
D．“事件可能发生”是指事件发生的机会很多
【考试题型27】频率与概率说法正误
59．（19-20七年级下·辽宁阜新·期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．事件发生的频率就是它发生的概率
B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率
C．事件发生的频率与它发生的概率无关
D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动
【考试题型28】用频率估计概率
60．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）一个口袋中装有分别写有“兴文”“石海”字的小球共20个，它们除此之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到“兴文”球的频率稳定在左右，则估计这个口袋中“兴文”球的个数为（ ）
A．14个 B．13个 C．7个 D．6个
61．（22-23九年级上·广东珠海·期中）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有（ ）
A．15个 B．20个 C．21个 D．24个
【考试题型29】判断生活中的旋转现象
62．（22-23七年级下·广西来宾·期末）有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考试题型30】找旋转中心、旋转角、对应点
63．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，绕点P逆时针旋转一个角度得到，则下面选项中不能表示旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
64．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【考试题型31】画两个图形的对称中心
65．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知的顶点均为格点，且点A的坐标为．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)画出将绕原点O按顺时针方向旋转，所得的；
(3)与成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴；
(4)与成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
【考试题型32】根据中心对称/旋转的性质求解
66．（23-24九年级上·河南新乡·期中）是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点C B．
C． D．点D是中点
67．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，点O是等边内的任一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
68．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，是等腰直角的斜边上的两个动点，，将绕点A逆时针旋转后与重合，连接．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，则的长度为__________．
69．（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：．
70．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．
【考试题型33】已知两点关于原点中心对称求参数
71．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知点与点关于原点对称，求的值．
72. （21-22九年级上·江西赣州·期末）已知点与点关于原点对称，求点P、Q两点的坐标，并直接写出PQ的长．
【考试题型34】添加一个条件使之成为特殊四边形
73．（17-18八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
74．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是正方形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
【考试题型35】特殊四边形的证明
75．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
76．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
77．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
78．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点在对角线上，点在边上（点与点、不重合），，．
(1)求的度数；
(2)求证：四边形是正方形．
79．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E，F分别是和的中点，连接和，过点A作交的延长线于点G．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当点B是中点时，求证：四边形是菱形；
(3)在（2）的条件下，不增加辅助线，再增加一个什么条件，能使四边形是正方形？写出这个条件．
80．（20-21八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，AD是△ABC的中线，过点A、B分别作BC、AD的平行线，两平行线相交于点E．
(1)求证：AE=CD；
(2)当AB、AC满足什么条件时，
①四边形AEBD是矩形？请说明理由；
②四边形AEBD是菱形？请说明理由；
③四边形AEBD是正方形？请说明理由．
