数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中常数项为（ ）
A. 112 B. 56 C. 28 D. 16
4. 2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（ ）
A. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
C. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量逐年递增
D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量10倍
6. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于两点，其中在第二象限，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量，夹角为
10. 已知，下列结论正确的是（ ）
A. 若最小正周期为，则
B. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则
C. 若在上恰有4个极值点，则的取值范围为
D. 存在，使得在上单调递减
11. 正三棱柱中，，点P满足，其中，则（ ）
A. 当时，最小值为
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，平面平面
D. 若，则P的轨迹长度为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若为纯虚数，，则_______．
13. 写出函数的一条斜率为正的切线方程：______．
14. 已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15. 记为等差数列的前n项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
16. 2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：
认知情况 A类：不会读不会写 B类：会读不会写 C类：会读且会写但不理解 D类：会读、会写且理解
人数/万人 10 30 5 5
认知度分值 50 70 90 100
（1）求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；
（2）为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；
（3）若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
17. 在如图所示的几何体中，平面平面；是的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角正弦值；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
19. 已知函数，在处取得极小值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1题答案：
答案：C
2题答案：
答案：D
3题答案：
答案：A
4题答案：
答案：A
5题答案：
答案：C
6题答案：
答案：A
7题答案：
答案：C
8题答案：
答案：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9题答案：
答案：AC
10题答案：
答案：ABC
11题答案：
答案：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12题答案：
答案：
13题答案：
答案：（答案不唯一）
14题答案：
答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15题答案：
答案：（1）
（2）
16题答案：
答案：（1）71，209
（2）
（3）分布列见解析，
17题答案：
答案：（1）详见解析；
（2）；
（3）.
18题答案：
答案：（1）
（2）36
19题答案：
答案：（1）
（2）极小值；极大值
（3）．
