湟源县高级中学2023～2024学年第二学期期中考试
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是
A．24 B．36 C．64 D．81
2．一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为
A．10米/秒 B．8米/秒 C．6米/秒 D．12米/秒
3．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有
A．108种 B．90种 C．72种 D．36种
4．已知函数的导函数为，则
A． B． C．， D．，
5．的展开式中有理项的项数为
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若函数单调递增，则实数a的取值范围为
A．（，0] B．（，] C．[，4] D．（，4]
7．3600的正因数的个数是
A．55 B．50 C．45 D．40
8．已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是
A．若A，B不相邻，有72种排法 B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法 D．若A，B相邻，有24种排法
10．过点（，）且与曲线相切的直线方程可能为
A． B． C． D．
11．已知，则
A． B．
C． D．
12．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数存在极小值 B．
C．当时， D．若函数有且仅有两个零点，则且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．________．
14．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为________．（用数字作答）
15．函数（）的极大值是________．
16．已知函数，若成立，则实数t的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知有9本不同的书．
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在R上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若函数，求在[，2]上的值域．
19．（本小题满分12分）
为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
20．（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若在[，e]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，使得，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
在的展开式中．
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项；
（3）求系数最大的项．
22．（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若恰有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，，证明：．
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参考答案、提示及评分细则
1．C
．故选C．
2．C
，所以米/秒．故选C．
3．A
第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；
第二步，某谈话节目和其他剩余的个节目在第二天播出，有种播出方案，
综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案．故选A．
4．C
由函数，可得，
因为，可得，
所以，解得，．故选C．
5．C
的展开式的通项为，
当或时，为有理项，故选C．
6．D
，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“＝”），所以，故选D．
7．C
由题意，因此正因数的个数是．故选C．
8．A
由，得，当时，，所以在（0，1）上单调递增，因为，所以，所以，由函数在（0，1）上单调递增，有，所以，综上，得．故选A．
9．AC
A，B，C，D，E五个人并排站在一起，若A，B不相邻，则先让C，D，E自由排列，再让A，B去插空即可，则方法总数为（种）．则选项A判断正确；选项B判断错误；
A，B，C，D，E五个人并排站在一起，若A，B相邻，
则将A，B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C，D，E自由排列即可，
则方法总数为（种）．则选项C判断正确；选项D判断错误．故选AC．
10．BC
设切点为（，），又，所以，所以曲线在点（，）处的切线方程为，所以，整理得，解得或，所以过点（，）且与曲线相切的直线方程为或．故选BC．
11．BCD
，故A错误；
在中，令，可得 ①，故B正确；
在中，令，可得 ②，
由，可得，，故C正确；
由，可得，故D正确．故选BCD．
12．ACD
，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故函数在处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A正确；
当时，函数单调递增，且，所以，B错误；
当时，，易知C正确；
由得，若函数有两个零点，只需且，D正确．故选ACD．
13．2
．
14．144
先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的空位中，所以不同的排队方法种数为（种）．
15．
由（），则（），
令，解得或，
则当，时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
则当时，函数取得极大值，
．
16．（，0）
由题得函数的定义域为R．因为，所以函数是奇函数．又．所以函数在R上单调递增，等价于，所以，∴，∴．所以实数t的取值范围为（，0）．
17．解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为．
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为．
18．解：（1）因为，所以．
因为函数在R上单调递增，所以恒成立，
则，解得，
即实数m的取值范围是[3，）；
（2）因为，所以．
由，得或；由，得．
所以函数在（，），（1，2）上单调递增，在（，1）上单调递减．
因为，，，，
所以在[，2]上的值域为[，3]．
19．解：（1）两组都是3女2男的情况有（种）；
一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种），
所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案；
（2）丙站在左1位，共有（种）不同的排列方式；
丙站在左2位，共有（种）不同的排列方式；
丙站在左3位，共有（种）不同的排列方式；
丙站在左4位，共有（种）不同的排列方式．
综上所述，共有36种排列方式．
20．解：（1）由题意知，在[，e]上恒成立，即在[，e]上恒成立，
又在[，e]上单调递减，所以，即实数a的取值范围是（，]；
（2），使得，即，使得．
令，．令，
在（0，）上恒成立，所以在（0，）上单调递减，
又，所以当时，，即，当时，，即，
所以在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，所以，
所以，即实数a的取值范围是（，1]．
21．解：（1）的展开式的通项为，，，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，；
（3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项．
22．（1）解：在（0，）上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数a的取值范围是（4，）；
（2）证明：由（1）知，是方程的两个不同的根，所以，，
所以，，
令，，，令，在（4，）上恒成立，
所以在（4，）上单调递减，即在（4，）上单调递减，
所以，所以在（4，）上单调递减，
所以，
所以．
