海南州第一民族高级中学2023~2024学年度第二学期期中考试
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡，上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第四章4.1-4.3，第五章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．数列与是相同的
B．数列2，4，6，8可以表示为{2，4，6，8}
C．数列0，1，2，3与2，3，0，1是相同的数列
D．数列的第k项为
2．已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
3．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．设，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
5．为等差数列，公差，为其前n项和．若，则的值是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
6．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a，，，b和a，，，，b分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在处取得极大值
D．在处取得极大值
11．在等比数列中，，则的公比可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极值点为
B．的最小值为
C．有两个零点
D．直线是曲线的一条切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在各项均为正数的等比数列中，，则______．
14．函数的导函数满足关系式，则______．
15．已知等差数列的前n项和为，且，，则______．
16．已知函数，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求的极值．
19．（本小题满分12分）
已知单调递减的等比数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的所有正整数n的值．
20．（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值．
21．（本小题满分12分）
已知数列的首项，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
22．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，使得，求实数a的取值范围．
海南州第一民族高级中学2023~2024学年度
第二学期期中考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 对于A．数列与是不同的，表示数列，而表示数列中的第n项，故A错误；
对于B，{2，4，6，8}是一个集合，故B错误；
对于C，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C错误；
对于D，，故D正确．故选D．
2．B 函数在处的导数为3，．故选B．
3．B 在等比数列中，，解得故选B．
4．A ，，解得．故选A．
5．B 由，得，．
6．A 的定义域为，，
令，解得，所以的单调递减区间为，故选A．
7．C 由，可得．
①当时，，此时函数单调递减，
②当时，令，可得，
此时函数的减区间为，增区间为，
只需，得．由上可知．故选C．
8．D 由含，得，
要使为整数，则需为整数，所以，2，3，5，11，共有5个．
9．AC 由，，可知选项A正确；
又由，，可得，可知选项C正确．故选AC．
10．AC 在区间上单调递减，故A正确；
在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误；
在区间上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，故C正确；
在区间上单调递增，故D错误．故选AC．
11．ABC 设公比为q，所以，
解得或或．故选ABC．
12．BD ，令，解得，
令，解得，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以的极值点为1，
又，所以的最小值为，故B正确，A错误；
当时，，当时，，所以有且仅有1个零点，故C错误；
令，解得，所以切点为，故D正确．故选BD．
13．4 ．
14． 由，得，令，
则．故．
15．16 因为等差数列的前n项和为，
所以，，，成等差数列，
所以，解得，
所以，解得．
16． ，令，解得，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的最小值为．
17．解：（1）设公差为d，由，得，，
解得，故；
（2）由得，
故．
18．解：（1）的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，
所以的极大值为，极小值为0．
19．解：（1）设公比为q，因为等比数列单调递减，所以，
有，解得，
数列的通项公式为；
（2），
由单调递增，，，
故满足的所有正整数n的值为，2，3，4，5，6，7，8，9．
20．解：（1）由，
根据题意可得，
解得，，，
所以；
（2）由（1）知，
令，
解得，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
又，，，，
所以，．
21．解：（1），等式两边同时加1整理得
又，
是首项为2，公比为2的等比数列，
，；
（2），，
记的前n项和为
则
所以，
相减得
整理得，
所以．
22．解：（1）由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
又在上单调递减，所以，即实数a的取值范围是；
（2），使得，即，使得．
令，．
令，在上恒成立，所以在（上单调递减，
又，所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即实数a的取值范围是．
