2023-2024学年度第二学期高一期末质量监测
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为
A． B． C． D．
3．已知向量，满足：，，，则
A． B．5 C． D．
4．如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是
A． B． C． D．
5．已知，，则
A． B． C． D．
6．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．设为锐角，若，则的值为
A． B． C． D．
8．在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是
A．，； B．，，；
C．，，； D．，，
10．已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是
A．的虚部为4； B．； C．； D．是的一个平方根
11．设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是
A． B．若，则的“仿射坐标”为
C．若，则 D．若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.
12．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱，高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .
13．将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是 .
14．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时.
（参考数据：，，，）
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题共13分）
如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
16．（本小题共15分）
在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点.
（1）若，，三点共线，求的值；
（2）若向量与的夹角为，求的值；
（3）若四边形为矩形，求点坐标.
17．（本小题共15分）
已知角，满足，，且，.
（1）求的值；
（2）求的大小.
18．（本小题共17分）
在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
①；②；
③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 .
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.
19．（本小题共17分）
已知在多面体中，，，.
（1）若，，，四点共面，求证：多面体为棱台；
（2）在（1）的条件下，平面平面，，，，且.
①求多面体的体积；
②求二面角正切值.
