2023-2024学年四川省眉山市东坡区部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知平行四边形中，，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则为( )
A. B. C. D.
4.如图，分别取与轴，轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.在中，若，，则一定是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定
8.已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标( )
A. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变
C. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位长度
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数为偶函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上的最小值为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，且与的夹角为，则 ______．
13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
14.关于函数有下述四个结论：
是偶函数；
在区间单调递减；
在有个零点；
的最大值为．
其中所有正确结论的编号是______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且满足．
求实数的值；
设，求非零向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数．
求的值；
求函数在区间的最大值和最小值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，为边的中点，求的长．
18.本小题分
如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区如矩形所示，其中为生活区入口已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，设．
当，时，求张角的正切值；
当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此时总费用．
19.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在中，角、、的对边分别为、、，已知_____．
求角；
若，的面积，求的周长的取值范围；
若，，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，且，
所以，
所以，所以；
设，因为，所以，所以，都不等于，
设与的夹角为，，
则．
16.解：因为，
所以；
因为
，
因为，令，则，
而在上单调递增，在上上单调递减，
所以当时，即时，；当时，即时，．
17.解：因为，
所以，
化简得，因为，所以，
因为，
所以；
因为，
所以，解得，
因为为的中线，所以，
所以，
因为，，所以．
解得．
所以的长为．
18.解：设，为锐角，则，
设，则，
故；
当时，，，
故，，
设修建，的总费用为，
则，
设，则
则，
所以，
因为在上单调递增，所以，时取得等号，
所以的最小值为，此时，即，
故当时，修建，的总费用最少，最少为．
19.解：若选：，
由正弦定理得，又，
所以，又，所以，即，
又，所以；
若选：因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，又，所以；
若选：因为，
即，所以由正弦定理得，
所以，又，所以；
因为的面积，所以，
由余弦定理得，即，
所以，因为，所以，又，
所以的周长的取值范围为；
因为，所以，所以，
又，所以，，
，
又，所以，
记，在中，由正弦定理得：，
所以，
在中，由正弦定理得：，所以，
所以，所以，整理化简得，
所以，即．
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