2023-2024学年度下学期期末
新洲区部分学校高中二年级质量检测
数 学 试 卷
考试用时：120分钟 试卷满分: 150分 2024.06
第一部分 (选择题 共 58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设等差数列{an}满足则
A. 80 B. 100 C. 120 D. 160
2. 若圆 与圆 的公共弦长为 则a=
A. ±4 B. ±2 C. 2 D. 4
的展开式中含 项的系数为
A. -56 B. -28 C. 28 D. 56
4.5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y (千只) 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为 =0.24x+ ，则下列说法正确的是
A. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数r≤1
B.当解释变量x每增加1个单位时，预报变量9平均增加0.24+ 个单位
高二数学期末试卷 第1页(共6页)
C. 线性回归方程y=0.24x+ 中 =0.26
D. 可以预测x=6时, 该商场5G手机销量约为1.72 (千只)
5.2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为
A. B. C. D.
6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”.甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有
A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种
7. 质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A：这两个数都是素数：事件B：这两个数不是孪生素数，则P(B|A)=
B. C.
8. 已知函数 若对任意的 都有 成立，则实数a的取值范围是
D. (e,+∞)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题6 分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则下列说法正确的是
A. n=9 B.展开式的各项系数之和为l
C.展开式的二项式系数之和为512 D. 展开式中的含x 项系数是1792
高二数学期末试卷 第 2 页 (共6 页)
10. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足 (若 则f(x)=lnx+c, c为常数), 则下列说法正确的是
A. f(x)在. 处取得极大值，极大值为
B. f(x)恰有两个零点
C. 若 在(0,+∞)上恒成立,则
11.某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则
A.若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植
B.若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大
C.从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D. 若种下10粒B类种子, 5至8天发芽的种子数记为X, 则D(X)=2
高二数学期末试卷 第3页(共6页)
第二部分 (非选择题 共92 分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若 则n= .
13. 已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(25,0.16), 其中X∈[24.6,26.2]的产品为合格产品，则在1000件该产品中合格产品件数约为 .
参考数据：
若X~N(μ,σ ),则μ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973
14.如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是C 上的一点，若双曲线一条渐近线 恰好垂直平分BF，双曲线C 的离心率为e，则
四、解答题：本题共5 小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步槩。
15.(本小题满分13分)已知数列{an}的前n项和为足
(1)求数列{ 的通项公式；
(2) 设 求数列{b }的前n项和T .
16.(本小题满分15分)如图,在四棱锥P—ABCD中, PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形, AD∥BC, AD⊥AB, AB=BC=1,PA=AD=2, AD=3AE, Q为PD的中点.
(1) 求证: 平面PCD⊥平面ABQ;
(2) 求二面角A-BQ-E的正弦值.
高二数学期末试卷 第 4 页 (共6页 )
17.(本小题满分 15分)将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份编号x 1 2 3 4 5
销量y (万台) 2 3.5 2.5 8 9
(1)求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；
(2)为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：
了解 不了解 合计
男生 25
女生 20
合计
(i)根据已知条件，填写上述2×2列联表；
(ii)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关 参考公式：
1. 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
高二数学期末试卷 第5页 (共6页)
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18.(本小题满分17分)中华茶文化源远流长，博大精深，制作复杂.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为 每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
(1)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；
(2)每盒绿茶(净重100g)原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.
19. (本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx+ax.
(1) 若a=1, 求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3) 设 求函数g(x)在(1,e)上的零点个数.
高二数学期末试卷 第 6页 (共6页)
2023-2024学年度下学期期末
新洲区部分学校高中二年级质量检测
数学试题（参考答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BD 10．ACD 11．BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．4或6 13．840 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）
解析：（1）当时，，所以；-----------------------------------1分
当时，由，则，-------------------2分
可得，
整理得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，------------------5分
故．------------------------------------------------------------6分
（2）由（1）可得：，--------------------------------------------7分
则，
，-------------------------------------9分
两式相减得：
，--------------------------------------------------12分
所以．----------------------------------------------------------------13分
16.（本小题满分15分）
解析：（1）∵平面，平面，∴----------------------------------1分
又，，且平面，平面，
∴平面，又，∴，-----------------------------------------------------3分
∵，为的中点，所以，-------------------------------------------------------4分
又，且平面，平面，
∴平面，----------------------------------------------------------------------------------------------------5分
又∵，
∴平面 ⊥平面 -----------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则----------8分
所以，---------------------9分
设平面ABQ的法向量为，
则 ，取，则，----------------------------------10分
设平面BQE的一个法向量为，
则，取，--------------------------------------11分
则------------------------------------------------------------------------13分
所以二面角的正弦值为，---------------------14分
故所求二面角的正弦值为．---------------------------------------------------------------------15分
17．（本小题满分15分）
解析：（1）年份编号的平均数，---------------------------------------------------1分
销量的平均数，---------------------------------------------------------------------2分
所以，------------------------------------------------------------------3分
又
，----------------------------------------------------------------4分
所以，----------------------------------------------------------------------------5分
于是，-----------------------------------------------------------------------------6分
所以关于的经验回归方程为，又因为年份2024对应的编号为7，
所以，
故可以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．--------------------------------------------------------8分
（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生 35 25 60
女生 20 40 60
合计 55 65 120
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分
（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得：，--------------------------------14分
依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．-----15分
18．（本小题满分17分）
解析：（1）由三道工序至少有一道工序合格的概率为，得，解得----2分
记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件A，B，C，这三道工序加工中恰有两道工序合格记为事件，则，------------------------------4分
，--------------------------------------------------------------------6分
因此，---------------------------------------------------------------------------------------------7分
所以在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为----------------------8分
由题意可知随机变量的所有可能取值为，--------------------------------------------------9分
则，---------------------------------------------------------------------------------10分
，--------------------------------------11分
，--------------------------------------12分
，--------------------------------------------------------------------------------------13分
则随机变量的分布列为：
10 30 60
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分
故的数学期望为.---------------------------------------------17分
19．（本小题满分17分）
解析：（1）当时，，，且，---------------------------------2分
所以在点处的切线斜率--------------------------------------------------------------3分
故所求切线方程为，即；---------------------------------------------------------4分
（2）由，所以，--------------------------------------------------------5分
当时，，所以函数在上单调递增；---------------------------------------------6分
当时，由，则，若，则，所以在单调递增，
在上单调递减.------------------------------------------------------------------------------------------------7分
综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减；--------------------------------------------------------------------------------------------------8分
（3）由，所以，----------------------------------9分
令，由，所以，可得，
原题意等价于与在上的交点个数，------------------------------------------------10分
令，则，----------------------------------------------11分
令，则，--------------------------------12分
由，，所以在上单调递增，，即，
故在上递增，-------------------------------------------------------------------------------------------13分
由，所以在上单调递增，所以，
即，--------------------------------------------------------------------------------------------------14分
当，即时，与在只有一个交点，此时在
上只有一个零点；-------------------------------------------------------------------------------------------------15分
当，即时，与在无交点，此时在
上没有零点；-------------------------------------------------------------------------------------------------------16分
综上所述：当时，在上只有一个零点；
当时，在上没有零点．---------------------------------------17分
