2023-2024学年北京市东直门中学中考三模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为亿元亿元，亿元，合计约亿元．将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2.如图是一个由个小正方体和个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点逆时针旋转的是( )
A. B.
C. D.
4.已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温与高度的函数关系是 ( )
A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 二次函数 D. 一次函数
5.实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这个数都不相等．把和这个数组成一组新的数据，下列结论正确的是( )
A. 这两组数据的平均数一定相同 B. 这两组数据的方差一定相同
C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确
8.如图，是半圆的直径，是半圆周上的动点与，不重合，于点，连接设，，，给出下面三个结论：；；上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式在实数范围内有意义，应满足的条件是 ．
10.因式分解： ．
11.方程的解是 ．
12.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则 ．
13.已知的圆周角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 ．
14.甲、乙、丙三位同学随机站成一排，那么甲站在中间的概率是 ．
15.如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ．
16.有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
左至右，按数字从小到大的顺序排列；
黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 的位置，标注字母的卡片写有数字
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组：
19.本小题分
已知是方程的一个根，求代数式的值．
20.本小题分
如图，在菱形中，为，的交点，，，分别为，，的中点．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
21.本小题分
如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为米，宽为米，若停车位总占地面积为平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，
若点，在同一个反比例函数的图象上，求的值；
若点，在同一个一次函数的图象上，
若，求这个一次函数的解析式；
若当时，不等式 始终成立，结合函数图象，直接写出的取值范围．
23.本小题分
某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由至号的专业评委和至号的大众评委进行评分．
例如 节目演出后各个评委所给分数如下：
评委编号
评分分
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为．
回答下列问题：
小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______小乐的说法吗填“同意”或“不同意”？理由是______；
小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算至号评委所给分数的平均数，至号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且
如：当时，则该节目的得分为．
Ⅰ当按照“方案三”中评分时，节目的得分为______；
Ⅱ关于评分方案，下列说法正确的有______．
当时，节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高；
当时，节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性．
24.本小题分
如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，，连接．
求证：；
若，求和的长．
25.本小题分
中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
探究活动在同一社团活动室进行，室温；
经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为单位：，普洱茶茶水的温度为单位： ，绿茶茶水的温度为单位：记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
可以用函数刻画与、与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________结果保留小数点后一位；
探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则__________填“”“”或“”．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线．
当抛物线过点时，求抛物线的表达式；
求这个二次函数的对称轴用含的式子表示；
若抛物线上存在两点和，当，求的取值范围．
27.本小题分
在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接．
如图，当是线段的中点时，设，求的长用含的式子表示；
当点在线段的延长线上时，依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28.本小题分
对于平面直角坐标系中的点及图形，有如下定义：若图形上存在、两点，使为等腰直角三角形，且，我们则称点为图形的“东中点”．
已知点，，在点，，中，线段的“东中点”是______；
直线分别交轴、轴于、两点，若点为线段的“东中点”，求的取值范围；
已知直线分别交轴、轴于、两点，若线段上存在半径为的的“东中点”，直接写出的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：原式
．
18.
解不等式，得；
解不等式，得，
所以不等式组的解集是．
19.解：原式
，
是方程的一个根，
，
，
则原式
．
20.，，分别为，，的中点．
，．
四边形是平行四边形．
在菱形中，，相交于点，
．
四边形是矩形．
四边形是矩形，
．
四边形是菱形，
，，平分．
，，
是等边三角形．
．
，由勾股定理得：．
，．
．
在中，由勾股定理得：．
21.解：设车道宽度为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：车道的宽为米．
22.解：把代入，
把代入，
当则
把代入中，
解得：
这个一次函数的解析式为
当时，如图，由时，不等式始终成立，
所以直线过符合题意，过不符合题意，
所以：；
当如图，由
此时始终在的下方，所以，此时不符合题意，舍去，
当时， 此时
如图，即始终在的上方，
所以：当时，满足时，不等式始终成立，
综上：
23.解：同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性．
解：，，，，
，
节目的得分为：；
Ⅱ当时，节目按照“方案三”评分的结果，比“方案一”和“方案二”都高，故原说法正确；
当时，节目按照“方案三”的评分结果，与“方案一”的评分结果不一样，故原说法错误；
当时，节目按照“方案三”的评分结果，与“方案一”的评分结果一样；
当时，说明专业评委的权重占比大于大众评委的权重，即“方案三”评分更注重节目的专业性，故原说法正确；
综上所述：正确．
24.证明：，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，
，
，，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
25.解：依题意，得与的函数图象，如图所示：
解：某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象
绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为结果保留小数点后一位；
故答案为：；．
解：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，
当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则
故答案为：．
26.解：抛物线过点，
，
解得：或舍去；
；
解：抛物线的对称轴为：；
解：，
当时，，解得：；
当时：，
如图，
或
则：或
解得：或无解；
；
当时：，
如图，
或
则：或
解得：无解或；
综上：或．
27.是的中点，是线段的中点
为的中位线，且
，
四边形为矩形
则在中，；
过点作的平行线交的延长线于点，连接
，
是的中点
在和中，
，
又
是线段的垂直平分线
，
在中，由勾股定理得：
．
28.解：如图所示，由题意知，，故是等腰直角三角形，满足题意；
过作于，，均不是等腰直角三角形，则不符合题意；
过作于，则，故是等腰直角三角形，满足题意；
综上，满足题意点有；
故答案为：；
解：对于直线，令，得；令，得；
即，
，
；
显然直线经过点时，此时，即时，不满足题意；
当直线在点上方时，如图，过点作于，延长交轴于，
则，
，
为等腰直角三角形，且，
故在线段上必存在点，使得；
把代入中，得，
所以；
当直线在点下方时，如图，过点作于，延长交轴于，
则时，符合题意；
当直线过点时，，如图，
此时，即，
把点坐标代入中，得，
即；
综上，或；
解：考虑时的情况；
当直线与切于点时，如图，，，
符合题意，此时，
，
由勾股定理得：，
故；
以为直径，构造等腰直角三角形，此时为的最大值，
由题意，是线段的垂直平分线，则，
，
，
平分；
过点作于，则，，
，
，
，
即；
综上，当时，的取值范围为；
当时，不符合题意，
当时，与的情况对称，的取值范围为；
综上，的取值范围为或．
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