6.3二项式定理 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
一、选择题
1．的展开式中的系数是（ ）。
A．-5 B．-10 C．5 D．15
2．的展开式的常数项为（ ）
A．210 B．252 C． D．
3．已知今天是星期日，则经过天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
4．的展开式中的系数为
A．-40 B．-10 C．40 D．30
5．的展开式中的系数是（ ）
A．10 B．-10 C．5 D．-5
6．对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C．22 D．30
7．的展开式中的常数项为（ ）
A．12 B．8 C．-12 D．-8
8．展开式中，项的系数为（ ）
A． B．70 C．90 D．110
二、多项选择题
9．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A． B．只有第4项的二项式系数最大
C．各项系数之和为1 D．的系数为560
10．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各项系数的和是1024 B．各二项式系数的和是1024
C．含x的项的系数是﹣210 D．第7项的系数是210
11．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．奇数项的二项式系数和为64 B．第6项和第7项二项式系数相等
C．第4项系数为280 D．系数最大的是第6项
12．已知二项式的展开式中，的系数为28，下列说法正确的有（ ）
A．
B．的系数为70
C．展开式中没有常数项
D．展开式中二项式系数最大的项为第4项
三、填空题
13．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则 .
14．在的展开式中，x的系数为 .
15．在的展开式中，常数项为 .
16．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 .
四、解答题
17．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.
（1）求的值：
（2）求展开式中的系数.
18．在的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等．
（1）在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率；
（2）记取到有理项的项数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
19．请从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．
①第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9；②二项式的常数项为-20．
问题：在二项式（，）展开式中， ▲ ．（注意：请在答题卡中写明所选择的条件）
（1）求奇数项的二项式系数的和；
（2）求该二项展开式中的系数．
答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
【解析】【解答】解：由
，由于能被7整除
故除以7余3，今天是星期日，则天后是星期三.
故答案为：C.
【分析】根据，利用二项式定理展开即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项公式为，
故展开式中含项的系数为.
故答案为：D.
【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可.
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，得，则展开式中的常数项为.
故答案为：D.
【分析】写出展开式的通项，求解即可.
8．【答案】D
9．【答案】A,D
【解析】【解答】解：A、由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；
B、由A 可知，因为，所以展开由8项，第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
C、令，可得各项系数之和为，故C错误；
D、因为二项展开式的通项为，
令，解得，所以的系数为，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据二项式系数之和为运算求解，即可判断A；根据二项式系数的性质分析即可判断B；令，求各项系数之和，疾控科判断C；结合二项式系数的通项分析即可判断D.
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】B,C
13．【答案】11
14．【答案】10
【解析】【解答】解：要中含有的项，则需要在5个括号中选取2个与3个相乘，故含有的项为，故的系数为10
故答案为：10.
【分析】由组合知识结合二项式定理求解即可.
15．【答案】20
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为令，解得，
则的展开式中，常数项为.
故答案为：20.
【分析】根据题意，结合二项展开式的通项求解即可.
16．【答案】10
【解析】【解答】解：因为二项式的各项系数和为32，所以，解得，
展开式的通项为，当，即时，
项的系数为.
故答案为：10.
【分析】先根据各项系数和为32求得n，再写出展开式的通项，令即可求得项的系数.
17．【答案】（1）因为，，
所以，解得；
（2）由通项公式，
令，可得，
所以展开式中的系数为.
18．【答案】（1），
令，解得．故二项展开式中有3项有理项，6项无理项．
记事件“第一次取到有理项”，事件“第二次取到无理项”
则
（2），，，
分布列为
X 0 1 2
P
19．【答案】（1）解：选择条件①
由题意可知，（，），，，
解得：，
奇数项的二项式系数的和．
（2）解：由二项式定理得展开式的通项为，
根据题意，得，，
因此，的系数是．
选择条件②
由二项式定理得展开式的通项为，
根据题意，得，，
因此，r为奇数，
当时，，，不合题意，
当时，，，符合题意．
所以．
由二项式定理得展开式的通项为，
根据题意，得，，
因此，的系数是．
【解析】【分析】本题主要考查二项式展开式的性质及通项公式，分类讨论的思想，考查考生的计算能力.
（1）选择条件①，由题意可知，解出n即可求解；
（2）利用二项式定理得展开式的通项为，然后分类进行求解即可.
