6.2平面向量的运算 练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2． 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3． 已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
6．已知向量不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
7．已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．A、 B．C三点共线B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
8．如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．欧拉线定理指出三角形的外心 垂心 重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心 垂心和重心，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．可以作为一个基底
C． D．与方向相同
11．下列结论不正确的是（ ）
A．且是的充要条件
B．对于任意向量，都有
C．若，则与中至少有一个为
D．两个非零向量与夹角的范围是
三、填空题
12．如图，在中，已知，为线段上一动点，则的最小值为 ．
13．已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则 ．
14．设，是两个不共线向量，，，.若A，C，D三点共线，则实数 .
四、解答题
15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求xy的取值范围．
16． 在平行四边形中，，，，是线段中点，，．
（1）若，与交于点，，求的值；
（2）求的最小值．
17． 已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.
18． 已知平面向量，
（1）若与垂直，求k；
（2）若向量，若与共线，求.
19． 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
（1）以为基底表示；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】【解答】解：在等腰中，记底边的中点，作，，交点即为垂心，以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，故，，，
故，，，
故，
设，故，则，故，
又，故，而，则，解得，
故，故，解得，可得，
易得，，可得，可得，解得，
则平分，故，，
则，故.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、因为向量，，，
所以，则，即，
则，，三点共线，故A正确；
B、因为，，所以不存在实数，使得，
故与不共线，即，，三点不共线，故B错误；
C、因为，，，
所以，
所以不存在实数，使得，则与不共线，即，，三点不共线，故C错误；
D、因为，，所以不存在实数，使得，
故与不共线，即，，三点不共线，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据平面向量基本定理以及向量共线定理逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以三点共线，
又因为为上任意一点，，
所以三点共线，所以，
则，
当且仅当且，即时等号成立，故的最小值是12．
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量共线定理求得，再利用基本不等式求最值即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：点在的内部 ，如图所示，
因为，所以，即，取中点为点，
则，即，所以在中线上，且，过，分别作边上的高，垂足为，
则，所以，，所以，所以，
故答案为：C.
【分析】利用向量的平行四边形法则可知点在的中线上，且，从而可得，根据即可求解.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：因为向量与共线，
所以设，即，因为，不共线，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】根据向量共线的条件设，代入化简求值即可.
7．【答案】C
8．【答案】C
【解析】【解答】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故答案为：C.
【分析】利用向量共线定理、三角形法则即可求解.
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,C
【解析】【解答】易知，故A正确.
共线向量不能作为基底向量，故B错误.
由得，故C正确.
=(3，-6)与方向相反，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据坐标表示的向量运算规则可一一验证各个选项，即可得到正确结果.
11．【答案】A,C
【解析】【解答】解：A、 且 ，则或，故A错误；
B、零向量与任意向量平行，故B正确；
C、 若 ，则与中至少有一个为 或，故C错误；
D、 两个非零向量与夹角的范围是 ，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】根据向量共线定理以及向量数量积性质和向量夹角的取值范围逐项分析判断即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系如图所示：
因为，，所以，
设，因为为线段上一动点，所以A，D，C三点共线，所以，
解得，则，
故，当，即时，取小值.
故答案为：.
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用平面向量的数量积以及二次函数的性质求解即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：因为，且不共线，所以，故.
故答案为：.
【分析】先根据向量的线性运算法则转化为，再由平面向量的基本定理，即可求解.
14．【答案】-7
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
因为三点共线，所以，解得.
故答案为：-7.
【分析】由题意求得，根据三点共线得两向量共线，列式求解即可.
15．【答案】（1）解：由平面向量的加法法则，可得①，，②
因为M为线段BC中点，所以，
①②相加，结合，化简得，即．
（2）解：由AM与BD交于点N，可知存在实数t，使，
根据B、N、D三点共线，得，解得，即，所以．
（3）解：由题意，设，
代入并整理，可得．
又，根据平面向量基本定理，得，所以x＝y﹣1，可得．
因为，所以，
可得xy＝y（1﹣y）＝y2﹣y，相应二次函数的图象是开口向上的抛物线，关于直线对称，
因此函数F（y）＝y2﹣y在区间单调为增函数，当y＝1时，（xy）min＝0，当时，，
综上所述，xy的取值范围为．
16．【答案】（1）解：当时，即为的中点，
因为、、三点共线，
设，则
，
因为、、三点共线，
设，则，
又、不共线，
根据平面向量基本定理得，解得，
所以，又，则，
所以.
（2）解：因为，
，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
【解析】【分析】（1）设、，用基底表示向量，再根据平面向量基本定理列方程组，求出、，即可得到，从而求出、，求解即可；
（2）用基底、表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算即可.
17．【答案】（1）解：向量，，
.
（2）解：，
，
，，，
所以的取值范围为.
（3）解：由（1）（2）可知，函数，
令，则，
，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
当，即时，最小值为，解得（舍去）；
当，即时，最小值为，解得或（舍去）；
当，即时，最小值为.
综上可知，.
【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积的运算，向量的模长，二次函数的基本性质等基础知识.
（1）根据向量的数量积计算公式进行计算即可求解；
（2）根据向量的模长公式求得，然后再根据x的取值范围，即可求解；
（3）由（1）（2）可知，函数，然后运用换元法令，则，然后运用二次函数的性质及分类讨论的思想进行求解即可.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以，，
因为与垂直，所以，
整理得，解得；
（2）解：因为，，，
所以，，
因为与共线，故，
所以，解得，
所以，，
所以.
【解析】【分析】(1)先求出，坐标，然后根据两个向量垂直它们的数量积为0，解方程即可.
(2)先分别求出和，根据共线向量条件，得，据此得到方程组，求解求出，再利用模的定义求出 即可.
19．【答案】（1）解：．
（2）解：连接如图所示：
则，
因为，，
所以，，
因为三点共线，三点共线，
所以，解得．
（3）解：设，，
则，
，
所以，解得，
所以，
，
又因为，
所以，即，
所以．
【解析】【分析】（1）根据中点的定义可得：，再理由平面向量的线性运算进行计算可求出答案；
（2）先利用表示出，再利用表示出，根据三点共线及三点共线，再结合平面向量共线定理可列出方程组，解方程组可求出的值；
（3）设，，再用表示出，可列出关于和的方程组，解方程组可求出和，利用平面向量的数量积计算可得：，再结合可求出．
